高中数学必修2--圆与方程知识点归纳总结

圆与方程知识点

1.圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是

222)()(r b y a x =-+-.

特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.

2.点与圆的位置关系：

(1).设点到圆心的距离为d，圆半径为r：a.点在圆内

d＜r；

b.点在圆上

d=r；

c.点在圆外

d＞r

(2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内2

2020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔

（③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔（3）涉及最值：

1

圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值

min PB BN BC r ==-max PB BM BC r

==+2

圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值

min PA AN r AC

==-

max PA AM r AC

==+思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）

3.圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .

(1)当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭

⎫

⎝⎛--2,2

E D C ，半径

2

422F

E D r -+=

.

(2)当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝

⎛--

2,2E D .(3)当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.

注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且

0422 AF E D -+.

4.直线与圆的位置关系：

直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-圆心到直线的距离2

2B A C Bb Aa d +++=

1）无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ；2）只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ；

3）有两个交点直线与圆相交⇔⇔

2d r -

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++0

2

2F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断：

（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；（2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；（3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；

5.两圆的位置关系

（1）设两圆2

121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2

222222)()(:r b y a x C =-+-，

圆心距2

21221)()(b b a a d -+-=1条公切线外离421⇔⇔+>r r d ；

2条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；3条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ；

4条公切线内切121⇔⇔-=r r d ；

5

无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ；

外离外切相交内切

（2）两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，

则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明：

1若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程；2

若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程.

（3）圆系问题

过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）补充：

1上述圆系不包括2C ；

22）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）

3

过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为

()220

x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=6.过一点作圆的切线的方程：(1)过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立

②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即

⎪

⎩

⎪

⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y 求解k，得到切线方程【一定两解】

例1.经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线，则切线方程为

。

(2)过圆上一点的切线方程：圆(x—a )2+(y—b )2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0—a )(x—a )+(y 0—b )(y—b )=r 2

特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+.

例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线，则切线方程为

。

7．切点弦

(1)过⊙C ：222)()(r b y a x =-+-外一点),(00y x P 作⊙C 的两条切线，切点分别为

B A 、，则切点弦AB 所在直线方程为：2

00))(())((r b y b y a x a x =--+--8.切线长：

若圆的方程为(x -a )2

(y -b )2=r 2，则过圆外一点P (x 0,y 0)的切线长为

d =22020b)(+)(r y a x ---．

9.圆心的三个重要几何性质：

1圆心在过切点且与切线垂直的直线上；2圆心在某一条弦的中垂线上；

3

两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。

10.两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法

例.已知圆C 1：x 2+y 2—2x =0和圆C 2：x 2+y 2+4y =0，试判断圆和位置关系，

若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB 的方程及公共弦长。