线性代数教学建议

线性代数教学教案第3章 向量与向量空间授课序号01 教 学 基 本 指 标教学课题 第3章 第1节 维向量及其线性运算课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 维向量的概念、向量的线性运算的性质教学难点 向量的线性运算的性质 参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 理解维向量的概念 教 学 基 本 内 容一． 维向量的概念1．维向量：由个数组成的有序数组称为维向量.2．称为维行向量，称为维列向量. 二．维向量的线性运算1．定义：（1）分量全为0的向量称为零向量；（2）对于，称为的负向量； （3）对于，，当且仅当时，称与相等；（4）对于，，称为与的和；（5）对于，，称为与的差； （6）对于，为实数，称为的数乘，记为.2．向量的线性运算的性质：对任意的维向量和数，有：n n n n n n n a a a ,,,21 n ),,,(21n a a a n 12⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n a a a n n ()12T n αa ,a ,,a = ()12---Tn a ,a ,,a αT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β),,2,1(n i b a i i ==αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =βT n n b a b a b a ),,,(2211+++ αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β()1122---Tn n a b ,a b ,,a b αβT n a a a ),,,(21 =αk T n ka ka ka ),,,(21 ααk n γβα，，l k ,（1）;（2）;（3）;（4）;（5）;（6）;（7）；（8）.三．例题讲解例1． 某工厂两天的产量(单位:吨)按照产品顺序用向量表示,第一天为第二天为求两天各产品的产量和.αββα+=+)()(γβαγβα++=++αα=+00-αα=αα=⋅1αα)()(kl l k =βαβαk k k +=+)((k l )αk αl α+=+1(15,20,17,8),=T α2(16,22,18,9),=T α授课序号02 教 学 基 本 指 标教学课题 第3章 第2节 向量组的线性关系 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关的定义，向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法教学难点 有关线性相关、线性无关的证明 参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 1．理解向量的线性组合与线性表示。

《线性代数》教学大纲一、课程概述1. 课程研究对象和研究内容《线性代数》是数学中的一个重要分支，是高等工科院校的重要基础理论课。

其不仅在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，而且在计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术中无不是理论和算法的基础内容。

本课程教学内容主要有：行列式；矩阵；n维向量空间；线性方程组；特征值与特征向量；二次型。

通过本课程的学习，能够培养学生对研究对象进行有序化、代数化、可解化的处理方法，并且为其他后续课程打好基础。

因此，本课程对学生今后专业的发展具有非常重要的意义。

2. 课程在整个课程体系中的地位《线性代数》是计算机专业的基础课。

《线性代数》的后续课是《离散数学》，《计算方法》等。

二、课程目标1．知道《线性代数》这门学科的理论和方法及其在专业教育体系中的位置；2．理解这门学科的基本概念、基本定理和基本方法；3．熟练掌握行列式、矩阵的运算；会用行列式与矩阵的方法求解齐次线性方程组、非齐次线性方程组的解；学会矩阵的特征值、特征向量及二次型的相关应用；4．突出计算能力的培养，引导学生进行归纳、对比和思考，培养学生的创造性能力；5．学会用线性代数的方法处理离散对象；6．培养运用本学科的基本知识与基本技能分析问题、解决问题的能力；逐步培养学生抽象思维和逻辑推理的能力；7．通过本课程的学习，协助学生逐步树立辩证唯物主义的观点。

三、课程内容和要求这门学科的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次。

这四个层次的一般涵义表述如下：知道———是指对这门学科和教学现象的认知。

理解———是指对这门学科涉及到的概念、原理、策略与技术的说明和解释，能提示所涉及到的教学现象演变过程的特征、形成原因以及教学要素之间的相互关系。

掌握———是指运用已理解的教学概念和原理说明、解释、类推同类教学事件和现象。

学会———是指能模仿或在教师指导下独立地完成某些教学知识和技能的操作任务，或能识别操作中的一般差错。

《线性代数》课程教学大纲课程编号：课程类别：学分数：学时数：适用专业：应修基础课程：一、本课程的地位和作用《线性代数》在高等学校的教学计划中是一门必修的基础理论课，是计算机专业的重要基础课之一，它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性，特别是在计算机日益普及的今天，使求解大型线性方程组成为可能，因此本课程所介绍的方法，广泛地应用与各个学科。

所以该课程的地位与作用也更为重要。

通过该课程的学习，使学生掌握该课程的理论与方法，可以培养和提高学生的抽象思维能力、创新能力和解决实际问题的能力，并为为后续课程的学习及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

二、本课程的教学目标通过该课程的学习，要求学生把握线性代数的基本内容。

如：行列式、矩阵、线性方程组、线性空间等。

把握线性代数的体系结构。

从知识的扩充层面上，发展自身的创新思维。

并且要求学生掌握线性代数的基本计算方法，较好地理解线性代数这门课的抽象理论,具有严谨逻辑推理能力,空间想象能力,运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

三、课程内容和基本要求按教学顺序提出课程各部分教学内容，并具体到知识点，用“*”明确难点内容，用“Δ”明确重点。

“*”或“Δ”一律写在课程内容的前面。

“*”与“Δ”可以并用，表明此内容既是重点又是难点。

在各部分课程内容的前面，首先写明该部分内容须要了解、理解、熟练掌握、应用等层次的教学基本要求。

其格式为：第一章预备知识1、教学基本要求（1）了解集合与映射的基本概念及有理系数多项系的有理根的求法（2）理解数域的概念及排列与对换2、教学内容（1）集合与映射（2）数域（3）Δ排列与对换（4）*有理系数多项系的有理根第二章n阶行列式1、教学基本要求（1）了解全排列、行列式、代数余子式概念（2）理解n阶行列式的定义；（3）掌握行列式性质，会应用行列式的性质计算行列式；（4）理解行列式按行（列）展开定理并应用于行列式计算与证明；（5）掌握克莱姆法则。

《线性代数》课程教学大纲Linear Algebra—、课程基本信息二、教学目标本课程以应用型人才的培养计划为LI标，以提高学生的数学素质、掌握线性代数的基本思想方法、基本讣算方法与培养学生的数学应用创新能力为教学LI标。

同时为学习后继课程和自我更新奠定必要的数学基础。

（一）知识LI标线性代数将使学生获得行列式、n维向量、矩阵、线性方程组、特征值和特征向量、二次型等相关的基本知识，同时接受基本运算技能的训练，为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

（二）能力LI标线性代数培养学生抽象思维能力和逻辑推理的理性思维能力，综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力，进而培养学生的创新意识和能力。

（三）素质□标随着社会的发展，线性代数的内容更为丰富、方法更为综合、应用更为广泛。

线性代数不仅是一种工具，而且是一种思维模式；它不仅是一种知识, 而且是一种素养；它不仅是一种科学，而且是一种文化。

本课程将培养学生的思维能力、数学素养及数学文化，在应用型高素质人才培养中起到不可替代的作用。

培养学生科学思维的能力。

为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

三、基本要求本课程是理工等学科各专业的一门重要基础理论课程。

要求学生掌握行列式、n 维向量、矩阵、线性方程组、特征值和特征向量、二次型等基本知识和基本计算方法, 并能利用所学知识解决一些实际问题。

（-）了解克莱姆法则及应用；向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法; 初等矩阵的性质和矩阵等价的概念；线性方程组的基本概念；二次型秩的概念、二次型的标准型的概念及惯性定理。

（二）理解矩阵的等价、相似与合同，矩阵的初等变换和秩；向量的线性相关性, 极大无关组与向量组的秩；齐次线性方程组的基础解系，线性方程组的通解：矩阵的特征值与特征向量，矩阵的相似对角化；二次型与标准形。

（三）掌握矩阵与行列式的运算；向量组线性相关性的判定，向量组的极大无关组和秩的计算；线性方程组的解法；矩阵的特征值与特征向量的计算，矩阵的相似对角化的判定；化二次型为标准形的方法。

《线性代数A》教学大纲contents •课程目标与要求•教学内容与计划•线性方程组•矩阵及其运算•向量空间与线性变换•特征值与特征向量•二次型与矩阵合同•课程复习与考试指导目录01课程目标与要求010204知识与技能目标掌握线性代数的基本概念、基本理论和基本方法。

熟练掌握矩阵的运算、行列式的计算以及线性方程组的解法。

理解向量空间、线性变换以及特征值和特征向量的概念。

能够运用所学知识解决一些实际问题，如线性规划、数据分析等。

03培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。

提高学生分析问题和解决问题的能力。

培养学生的自主学习能力和团队协作精神。

教授学生如何将线性代数知识应用于其他学科和实际生活中。

01020304过程与方法目标02030401情感态度与价值观目标激发学生对线性代数学习的兴趣和热情。

培养学生的数学素养和严谨的科学态度。

帮助学生认识到线性代数在现代科技和社会发展中的重要作用。

培养学生的创新思维和实践精神。

学生需要按时完成作业和练习，积极参与课堂讨论。

平时成绩主要包括作业完成情况、课堂表现、小组讨论等。

考核方式包括平时成绩、期中考试和期末考试，其中平时成绩占总评的30%，期中考试占总评的30%，期末考试占总评的40%。

期中和期末考试主要考察学生对课程内容的掌握程度和应用能力。

课程要求与考核方式02教学内容与计划教学内容概述向量空间与线性变换特征值与特征向量线性方程组矩阵与行列式介绍向量空间的基本概念、线性变换及其性质，为后续的线性方程组、特征值与特征向量等内容打下基础。

讲解线性方程组的解法，包括高斯消元法、矩阵的秩与线性方程组解的关系等，培养学生解决实际问题的能力。

系统介绍矩阵的基本运算、矩阵的逆、转置以及行列式的定义和性质，为后续的线性代数知识提供必要的数学工具。

深入讲解特征值与特征向量的概念、性质以及计算方法，为理解线性变换的几何意义和应用奠定基础。

教学重点与难点教学重点向量空间的基本概念、线性变换及其性质、线性方程组的解法、矩阵的基本运算以及特征值与特征向量的概念和应用。

在线性代数课堂中，趣味渗透法是一种有效的教学方法，旨在通过趣味性和互动性来吸引学生的注意力，让学生更容易理解和掌握线性代数中的概念和技巧。

具体来说，趣味渗透法可以通过以下几种方式实现：
1、利用生活中的例子来解释概念：例如，通过观察生活中的事物（如人脸、物品等）的变换来理解矩阵的作用。

2、利用游戏和竞赛的形式来练习线性代数技巧：例如，可以设计一个游戏，让学生在短时间内解决尽可能多的线性方程组。

3、利用视频、图片和动画来帮助学生理解概念：例如，可以利用视频或动画来展示矩阵的乘法过程。

4、利用问答环节来检验学生对概念的理解程度：例如，可以设置一些提问，让学生回答后进行讨论。

通过这些方式，趣味渗透法可以使学生在轻松愉悦的氛围中学习线性代数，并在此基础上更好地掌握知识。

线性代数教学教案行列式21⋅.如果一对数的排列顺序与自然顺序相反，即排在左边的数比排在它右边的数大，i的逆序数记为那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，排列n )i.n3.定义：逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列二．二阶、三阶行列式1.引例：解方程组1,2,3,n )排成123132333123nnn n n n nn a a a a a a a 2323331123(1)n n n n nna a a a a a =-+21222,12123231323,13133312112,1131)+(1)n n n n nn n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a --++-+-阶行列式（递归定义）.余子式与代数余子式：由行列式D 中划去ij a 所在的第i 行和第j 列后，余下的元素按照原来的顺序构ij M ，称为元素ij a 的余子式，(1)i j ij A M +-称为元素ij a 的代数余子式D 11=n n a A a A =na ∑1,2,3,n )组成的阶行列式定义为 123132333123n nn n n n nna a a a a a a 1212)12=n n nj j j j nj j j j a a a ∑nj ∑表示对所有的列标排列12n j j j 求和.四．例题讲解1.求解二元线性方程组122321221x x x x -=⎧⎨+=.1233300n nn nn a a a a . 11121,121222,111,11,210000n n n n n a a a a a a D a a ----=，112122313233123000000n n n nn a a a a a a a a a a ， 1122330000000000nna a a a .授课序号02in jn a A =,n ，i ≠0ni nj a A =,n ，i ≠综合上一节和该推论，对于行列式和代数余子式的关系有如下重要结论：, ,0, .i j i j =≠ , =0, kj D i A ⎧⎨⎩授课序号030000000000x y yx.(Vandermonde)行列式1221231111112311n n n i j nn n n n nx x D x x x x x ≤<≤----==∏31111111n a +12(0)n a a a ≠.3434340a a x x a a a a a ++=的根.0000000003200013.12211000100000001nn n x x x a a a a x a -----+.00000000000000000000000a b a b a b c d c dc d.22231112342344，证明：()0f x '=有且仅有两个实根授课序号041222222n n n n nn n a x a x x a x +=+++=1112121222120n n n n nna a a a a a a a a ≠，122n n D D Dx x D D D==，，，, 列换成常数项所得的n 阶行列式1,111,11212,122,121,1,1j j n j j n n n j nn j nna b a a a b a a a a b a a -+-+-+112222222n n n n nn n na xb a x b x a x b +=+=++=当12,,,n b b b 全为0时，得到11112121122221122n n n n n n nn n a x a a x a x a a x a x a x a x ++⎧⎪++⎪⎨⎪⎪+++⎩335111x x =-=-=211311213313n n n n n n n n n a x a x a x a x x a x ----+=+==+=,n ).互相关联，X 公司持有股份，持有Z 股份，持有Z 公司20%持有Y 公司20%，Z 公司各自的净收入分别为万元，每家公司的联合收入是净收入加上其他公司的股份按比例的提成收入，试求各公司的联合收入及实际收入《市场营销》是商业和经贸专业学生的一门核心课程，商经类学校的所有专业都开设本课程，是一门公共基础课。

课程简介课程基本信息：1．课程中文名称：线性代数2．课程英文名称：Linear Algebra3．课程编号：025810024．适用专业：金融学专业、财务管理专业、风险管理与保险学专业、国际经济与贸易专业、市场营销专业等经济类各专业5．适用层次：专科起点升本科6．课程类别：专业必修课7．课程学时：授课课时45课时，自学学时135学时课程性质：《线性代数（经管类）》是经济管理类各专业、本科段必修的专业基础课。

本课程是在实数域上的有限维空间nR里讨论线性理论；为解决实际问题提供基本的思想和算法；也为深入学习数学和经济应用数学打下必要的基础。

内容说明：学习线性代数要先学会算行列式（第一章）。

一般线性代数包括：⑴线性空间；⑵线性变换；⑶矩阵论；⑷代数型。

根据经管类需要⑴中只学nR空间（第三章）；⑵只学相似变换（第五章），合同变换（第六章）；⑶学矩阵论；⑷只学二次型。

解线性方程组（第二章）是解决实际问题（例如投入产出、线性规划）的基本方法。

参考教材《线性代数》教材书名：线性代数著作责任者：杨荫华编著责任编辑：刘艳云梁鸿飞标准书号：ISBN 7-301-06954-5/F﹒0781出版发行：北京大学出版社内容提要：本书是高等成人教育、继续教育经济与管理类本科“线性代数”课程教材。

本书按照教育部颁布的《线性代数自学考试大纲》，并结合作者多年从事教学实践的经验编写而成。

全书共分七章。

内容包括行列式、线性方程组、n维向量空间、矩阵、矩阵的相似、二次型，以及线性空间与线性交换等。

每节后配有适量练习题，书末有习题参考答案与提示，供教师和学生参考。

本书叙述深入浅出、通俗易懂、论证严谨、便于自学，也可以作为参加经济与管理类自学考试本科段考生的自学教材或参考书。

书名：线性代数（经管类）作者：刘吉佑、徐诚浩编著出版发行：武汉大学出版社内容提要：本书是根据《线性代数（经管类）自学考试大纲》的精神和要求编写的，章节安排、自学要求、重点和难点都符合大纲要求。

同济版《线性代数》[1][2][3][4][5]各版本比较分析和教学建议作者：胡京爽来源：《学习导刊》2013年第11期【摘要】本文对同济版《线性代数》第一版到第五版各个版本进行了比较分析，给出了各个版本一些突出特征分析。

并结合教学实际，提出了教学建议。

【关键词】线性代数矩阵的秩向量组相关性线性方程组1 引言同济大学编写的《线性代数》教材在我国工科院校被广泛使用，自1982年至今已经使用32年了，现在用的已经是第五版。

在教学过程中，不少老师反映现在的版本（三、四、五版）好像不如以前的版本（第二版）容易进行教学，本人也从事了二十多年的线代课程教学，针对老师们的一些意见，进行了细致的分析对比，做了一些思考总结。

本文就是针对这个问题的一些想法，希望能对从事该课程教学的老师有一定的参考作用。

2 第一版和第二版的比较分析第一版和第二版的主要差异在于矩阵的秩与向量组的秩的定义以及相互之间关系的论述上。

2.1 在第一版中首先根据向量组的线性相关性定义了向量组的秩，然后利用向量组的秩定义矩阵的秩，即用矩阵的列向量组的秩作为矩阵的秩。

而体现这两个秩之间关系的是下面的定理：这个定理体现的是向量组的相关性与向量组形成的矩阵的非0子式的阶数的关系，就是说，如果A中最高阶非0子式的阶数为r，则该矩阵A的列向量形成的向量组的秩为r，即：最大无关组中的向量的个数为r。

但是这里并没有证明：如果一个矩阵的列向量组的秩为r，则该矩阵的最高阶非0子式的阶数也是r，这是第一版中的一个缺陷。

另外，实际上第一版中没有证明矩阵的列向量组秩和行向量组秩的相等关系。

第一版中从定理6只是表明：如果一个矩阵的最高阶非0子式的阶数为r，则该矩阵的行向量组和列向量组的秩都是r，但是如果矩阵的列向量组的秩为r，从该定理得不到矩阵的最高阶非0子式的阶数也为r，从而也就无法得到矩阵的行向量组的秩为r。

因此，只是在表面上好像看似乎体现出三个秩相等，但是本质上没有论证清楚。

线性代数教与学方法的探讨【摘要】本文结合自身的教学经验，阐述了教学中应该注意的几点问题，以便于提高线性代数的教学效果，同时针对学生在线性代数学习过程中，面对大量概念、定理及计算时不知如何学习等状况，提出几点学习方法，使学生学习变得容易，提高学生的学习兴趣。

【关键词】线性代数教学方法学习方法【中图分类号】g64 【文献标识码】a 【文章编号】2095-3089（2013）03-0154-01一、线性代数课程体系分析线性代数这门课程具有理论上的抽象性、逻辑推理的严密性、工程应用的广泛性，是代数学中最初等最基础的部分，是理工科各专业重要基础课之一。

学好线性代数，对于学生优化数学知识结构，掌握数学思维方法，提高应用数学知识，解决实际问题的能力都有十分重要的意义。

二、线性代数的教学方法（一）强调线性代数课程中概念的教学数学概念一般较为抽象，学生在学习线性代数最大的感受是抽象概念多，对相当一部分同学来讲，线性代数始终是概念和结论的“堆砌”，一时难以接受，即使勉强接受也理解不透，难以应用。

《线性代数》中的一些概念，往往是由若干特殊情况，通过不完全归纳法在一般性定义得出的，它注重具体，淡化抽象。

概念都有严格的定义，而定义的叙述或易或难。

在教学中，为了让学生弄清某些定义，叙述较为抽象的概念时可以用大量的实例将概念具体化。

例如，在讲授行列式概念时，从解简单二元和三元线性方程组例子入手引入二阶和三阶行列式概念，先明确告诉行列式就是在解方程组时为简化书写而用的记号，在此基础上通过分析项数及每项符号的变化规律引入n阶行列式的概念并讨论行列式的性质。

（二）注重习题课作用在线性代数的学习中，学生会普遍感到“做题困难”、“做题没有思路”等问题，原因是由于这门课程的研究对象和基本思想方法与学生的原有认知结构之间不相匹配产生的，是非常正常的。

解决这一问题的最好教学策略就是尽量多上习题课。

上好习题课，发挥习题课的作用，便于学生对概念的理解。