2019年高考数学试题分项版——解析几何（解析版）
一、选择题
1．(2019·全国Ⅰ文，10)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()
A．2sin 40°B．2cos 40° C. D.
答案 D
解析由题意可得－＝tan 130°，
所以e＝＝
＝
＝＝.
2．(2019·全国Ⅰ文，12)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()
A.＋y2＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 B
解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.
3．(2019·全国Ⅱ文，9)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于()
A．2 B．3 C．4 D．8
答案 D
解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.
4．(2019·全国Ⅱ文，12)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为() A. B.C．2 D.
答案 A
解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x ＝，所以|PQ|＝2.
由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e ＝，故选A.
5．(2019·全国Ⅲ文，10)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为()
A. B. C. D.
答案 B
解析由F是双曲线－＝1的一个焦点，
知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.
不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，
则解得
所以P，
所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.
6．(2019·北京文，5已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a等于()
A.B．4 C．2 D.
答案 D
解析由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，
∴c2＝a2＋1.
∴5＝e2＝＝＝1＋.
结合a>0，解得a＝.
7．(2019·天津文，6)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()
A. B.C．2 D.
答案 D
解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x
＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.
8．(2019·浙江，2)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()
A.B．1
C.D．2
答案 C
解析因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.
9．(2019·全国Ⅰ理，10)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()
A.＋y2＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 B
解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.
10．(2019·全国Ⅱ理，8)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p 等于()
A．2 B．3 C．4 D．8
答案 D
解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.
11．(2019·全国Ⅱ理，11)设F 为双曲线C ：
－
＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，
以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( ) A. B. C ．2 D. 答案 A 解析 如图，
由题意知，以OF 为直径的圆的方程为
2＋y 2＝
①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②
得x ＝ ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝
，所以|PQ |
＝2
.
由|PQ |＝|OF |，得2
＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e
＝ ，故选A.
12．(2019·全国Ⅲ理，10)双曲线C ：
－
＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( ) A.
B.
C ．2
D ．3
答案 A
解析 不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6， 所以|OF |＝ .
又tan ∠POF ＝
＝
，所以等腰△POF 的高h ＝ ×
＝
，所以S △PFO ＝
× ×
＝
. 13．(2019·北京理，4)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
2
，则( )
A ．222a b =
B ．2234a b =
C ．2a b =
D ．34a b =
【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件222a b c =+得答案．
【解析】：由题意，1
2
c a =，得2214c a =，则22214a b a -=，
22244a b a ∴-=，即2234a b =．
故选：B ．
【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题．
14．(2019·北京理，8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
