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精选高中数学竞赛切比雪夫(Chebyshev)多项式知识整理文档

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高中数学 方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余弦的n倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现cosn都是关于2cos的首项系数为1的、次数等于的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到cosn的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式．

在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cosn是众所周知的偶函数，它的倍角公式如：

2cos22cos1 ，(1)

3cos34cos3cos． (2)

它们都是由余弦cos的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的n倍角能否用余弦cos的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得

42cos48cos8cos1 ，(3)

53cos516cos20cos5cos ．(4)

观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cos的首系数为1的、次数等于公式左边的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测2cosn也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明．

猜想

2,02cos(1)(2cos)mnmnmmna，(;nNmN) (5)

(5)式可改写为：

n/312112cos(2cos)(1)(2cos)entnmmnmnmmnnCm ，(9)

(9)式称为n倍角余弦公式．

12424cos2(cos)(cos)(cos)nnnnnnn…，其中i为正整数．

因为余弦cos在0,上单调，对应值为1降到1，即cos1,1，0, ．因此存在反函数，若令cosx，则arccosx，1,1x，0,．因此，在余弦n倍角公式中令arccosx，0,，1,1x，则倍角公式为

高中数学 于是cos(arccos)nx首项系数为12n的多项式，各项系数是整数，符号依次变化，x的幂依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零．

若记cos(arccos)nx=()nTx，则()nTx满足，12()2()()nnnTxxTxTx，()nTx称为切比雪夫多项式．从递推关系可以得到：

第一类切比雪夫多项式有许多良好的性质，例如：

1．(cos)cos(),,nTnRnN．(分析：令cosx，arccosx)

2．()(1)()nnnTxTx，,xCnN．这表明()nTx当n为奇(偶)数时是奇(偶)函数．

3．()1,,1nTxxRx．

4．21(0)0mT，2(0)(1),mmTmN．

5．函数列()nTx的生成函数为

（分析：生成函数又叫母函数，在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息．使用母函数解决问题的方法称为母函数方法．母函数的思想就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造．母函数是解决组合计数问题的有效工具之一，其思想方法是把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．）

6．函数列()nTx满足2阶递推关系

（分析：由三角恒等式cos(1)cos(1)2coscosnnn）

最小偏差

切比雪夫在1857年提出这样一个问题：在最高项系数为1的n次多项式

中，寻求在区间1,1上与零的偏差最小的多项式．换句话说，就是寻求1,1nxC在1nH中的最佳一致逼近多项式1()nPx，这里

定理 在区间1,1上所有最高项系数为1的多项式中，

与零的偏差最小，其偏差为112n．

高中数学 ()nUx称为第n个第二类切比雪夫多项式，前7个第二类切比雪夫多项式为：

第二类切比雪夫多项式也有许多良好的性质，例如：

1．()(1)(),,nnnUxUxxCnN．即当以为奇(偶)数时是奇(偶)函数．

2．21(0)0mU，2(0)(1)mmU，(1)1nUn,(1)(1)(1)nnUn，mN．

3．函数列()nUx的生成函数为

4．()1,,1nUxnxRx．

5．函数列()nUx满足2阶递推关系

两类切比雪夫多项式的关系

定理1设()nTx和()nUx分别为第一类和第二类切比雪夫多项式，0n为整数，则

证明 由两类切比雪夫多项式的定义得

而

则

比较式在子两边nt项的系数，即有

4切比雪夫多项式的应用

4.1切比雪夫多项式插值

切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用．这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值．相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近．

切比雪夫多项式插值法：

定理：设01,,xx…,nx为区间,ab上1n个互不相同的点，1(),nfxCab，则对任何,xab,存在01,,,xnxxxL，使得拉格朗日插值余nRxfxLx，

满足

其中

高中数学 插值多项式的余项极小化：

要使拉格朗日插值多项式nLx尽量逼近fx，就要使余项nRx 尽量小．在 nRx中，fx是固定的，而 x又是未知数，所以要减小nRx ，只有恰当选择节点集，使得在插值区间内余项的最大值为极小值．为了应用切比雪夫多项式，首先应将插值区间,ab,通过简单变换归一化到区间[−1,1],做变换12kkzbaxba 所以插值节点应取为121cos222kkzbaban.

其中0,1,2,,1knL，所以下面我们只需要讨论区间[−1,1]上的函数的切比雪夫插值法：

当取定第一类切比雪夫点21cos,0,1,2,,22kkxknnL后，

令1111maxnnxMfx，则有11max1max(1)!2(1)!nnnnxRxMMnn，故切比雪夫插值法可以使得余项的最大值极小化，得到较佳逼近多项式.

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高一年级竞赛数学：4.排序不等式与切比雪夫不等式

高一年级竞赛数学：4.排序不等式与切比雪夫不等式

A4.排序不等式与切比雪夫不等式

一、基础知识

排序不等式：设12naaa,12.nbbb12,,,njjj是1,2,,n的任意一个排列.

则1111knnnknkkjkkkkkababab当且仅当12naaa或12nbbb时取等.

可简记为反序和乱序和同序和.

切比雪夫不等式：设12naaa,12.nbbb则111()().nnniiiiiiiabnab

设12naaa,12.nbbb则111()().nnniiiiiiiabnab

当且仅当12naaa或12nbbb时取等.

二、典型例题与基本方法

1.用排序不等式证明：设12,,,naaa是正数,则11,nininiiaan当且仅当12naaa取等.

2.用切比雪夫不等式证明：设12,,,naaa是正数,则11,1niiniianna当且仅当12naaa取等.

3.已知,,0abc,证明：888333111.abcabcabc

4.设,,abc是ABC的三边长,证明：222()()()0.ababbcbccaca

5.设,,,0,abcd且22224,abcd证明：22224+.3abcdbcdcdadababc

6.设0(1,2,,),iain且11.niia

求122313121111nnnnaaaSaaaaaaaaa的最小值.

7.设,,1,abc且满足2221111.111abc证明：1111.111abc

8.设,,0,abc证明：2().abbccaabcbccaababbcca

B4.练习 姓名：

切比雪夫函数

切比雪夫函数

切比雪夫函数

,以段落形式开始

《切比雪夫函数》

一、出现历史

切比雪夫函数（Chebyshev Function，又称切比雪夫多项式，Also named Tchebycheff

Polynomials）由俄国数学家Pafnuty Lvovich Chebychev于十九世纪40年代著名数学家莱布尼茨夫提出，表征其在数学和物理学领域的特殊性质及历史价值。

他最初的想法，是在众多二次型方程的根都是不真实的情况下，建立一种方法，能够在复数方程中获得接近实数解的近似值。事实上，他的想法被概括为"最大值与最小值的问题"，这也从另一个角度定义了切比雪夫函数。他的研究也涉及一些物理学问题，比如分析静电场、磁力场及雷诺条件。

二、函数特性

切比雪夫函数是一类二次多项式函数，由Pafnuty Lvovich Chebychev发现。它是一种特殊的多项式，具有正则边界上的“匹配现象”，即由于具有相关系数，能够和正则线性群进行匹配。它表示为T(n)(x)，n为多项式的次数，x为多项式的变量，可以看出，T(1)(x) =

-1到1之间的最大值或最小值。

此外，它也具有永久的一致性。它的周期性是指，如果把它带入一个参数，则对对象多项式的每一次进行匹配，它都能产生相同的结果。换句话说，它具有许多固有性质，比如函数的收敛性和连续性，不受参数的变化而变化。

三、应用领域

因为切比雪夫函数在一定范围内的最大值或最小值性质，所以它应用于各种场合，主要是优化结果的近似算法和实际结果分析模型。

在数值分析方面，它被用于求解数学和物理方程的数值解。例如，它被用于建模和求解城市规划，建筑规划，飞行器静态飞行，机械运动和物理建模方面的问题。

此外，它也被用于统计学中的估计最佳参数模型和最小二乘模型。

另外，它还被用于信号处理，比如提取图像，滤波器设计，加窗技术和自适应滤波等应用中，用于减少噪声和其他因素影响，减少数据失真。

总之，切比雪夫函数在数学，物理，统计学，和信号处理等领域，有广泛的实际应用，其优势表现在快速准确的求解和近似结果，并提供更多的操作空间。

chebyshev多项式的由来

chebyshev多项式的由来

chebyshev多项式的由来

切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomials），也叫作切比雪夫混沌映射（Chebyshev Chaotic Map），是计算数学中一类特殊的函数。它起源于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是计算数学中一类特殊的函数，对于注入连续函数逼近问题、阻抗变换问题等等的数学、物理学、技术科学中的近似计算有着非常重要的作用。

此外，切比雪夫多项式还有两个重要的等价定义：一是设n,x为变量且满足n阶切比雪夫多项式的余弦式定义为Tn(x)=cos⁡(narccos⁡x)，当x=±1时，等价的递归迭代定义为Tn(x)=2xTn−1(x)−Tn−2(x)，其中T0(x)=1,T1(x)=x。二是设n,x为变量且满足n阶扩展切比雪夫多项式的余弦式定义为Tn(x)=cos⁡(narccos⁡x)，当x=±1时，等价的递归迭代定义为Tn(x)=2xTn−1(x)−Tn−2(x)，其中T0(x)=1,T1(x)=x。

切比雪夫多项式有广泛的数学、物理学、技术科学的应用，例如在逼近理论中有重要的应用。同时，扩展切比雪夫多项式（Extended

Chebyshev Polynomials）也有重要应用，特别是当参数x在区间[-1,1]之外时，仍然具有半群性质并且可以有效抵抗Bergamo攻击。

切比雪夫多项式的三角函数表示

切比雪夫多项式的三角函数表示

切比雪夫多项式的三角函数表示

切比雪夫多项式是一类重要的数学函数，它可以通过三角函数来表示。在本文中，我们将介绍切比雪夫多项式的定义、性质以及如何使用三角函数来表示它。

让我们来了解一下切比雪夫多项式的定义。切比雪夫多项式是由切比雪夫多项式方程所定义的一组多项式。切比雪夫多项式方程可以表示为T_n(x) = cos(n\arccos(x))，其中n是多项式的阶数，x是自变量。切比雪夫多项式是一个在区间[-1, 1]上定义的函数，它具有一些特殊的性质。

切比雪夫多项式具有递推关系，即T_n(x) = 2xT_{n-1}(x) -

T_{n-2}(x)，其中T_0(x) = 1，T_1(x) = x。这个递推关系可以用来计算高阶切比雪夫多项式。

切比雪夫多项式的性质非常丰富。首先，切比雪夫多项式是一个奇函数，即T_n(-x) = -T_n(x)。其次，切比雪夫多项式在区间[-1,

1]上具有n个不同的实根，这些实根被称为切比雪夫节点，可以用来进行数值计算和插值。

现在让我们来看一下如何使用三角函数来表示切比雪夫多项式。我们知道，三角函数是一个周期函数，可以用来表示周期性的现象。而切比雪夫多项式是一个在区间[-1, 1]上定义的函数，因此可以通过三角函数来表示。

具体来说，我们可以使用余弦函数来表示切比雪夫多项式。根据切比雪夫多项式的定义，可以将cos(n\arccos(x))展开为cos(n\theta)，其中\theta = \arccos(x)。然后，利用三角函数的和差化积公式，可以将cos(n\theta)表示为余弦函数的线性组合。

例如，切比雪夫多项式T_2(x) = 2x^2 - 1可以表示为cos(2\arccos(x)) = 2\cos^2(\arccos(x)) - 1。进一步化简，可以得到T_2(x) = 2\cos^2(\arccos(x)) - 1 = 2x^2 - 1。这就是切比雪夫多项式T_2(x)的三角函数表示形式。