【试吧大考卷】16-17学年高中人教数学B版必修2第二章平面解析几何初步第24课时2.3.2圆的一般方程
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第24课时 2.3.2 圆的一般方程
课时目标
1.理解二元二次方程表示圆的条件，并能用待定系数法求圆的一般方程．
2．掌握圆的一般方程，并理解两种圆的方程在形式上的不同，能根据题目给出的条件选择适当形式求圆的方程．
3．能把圆的两种方程互相转化．
识记强化
1．对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若D2＋E2－4F＝0，则它表示一个点；若D2＋E2－4F＞0，则表示一个圆，圆心为(－D2，－E2)，半径为12D2＋E2－4F；若D2＋E2－4F＜0，则它不表示任何图形．
2．圆的标准方程明确指出了圆的圆心和半径，而圆的一般方程表明了方程形式上的特点，要给出圆的一般方程需要确定方程中的三个系数D，E，F.
课时作业
一、选择题(每个5分，共30分)
1．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是( )
A.－∞，12 B．(－∞，0)
C.12，＋∞ D.－∞，12
答案：A
解析：由x2＋y2－x＋y＋m＝0，得x－122＋y＋122＝12－m.∵该方程表示圆，∴12－m＞0，即m＜12.
2．已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0＜a＜1)，则原点O在( )
A．圆内 B．圆外
C．圆上 D．圆上或圆外
答案：B
解析：先化成标准方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，因为0＜a＜1，所以(0－a)2＋(0－1)2＝a2＋1＞2a，即原点在圆外．
3．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )
A．2 B.22
C．1 D.2
答案：D
解析：因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x－y＝1的距离d＝|1＋2－1|2＝2.
4．下列四条直线中，将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0 2
C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
答案：C
解析：由题意，知圆心是(1,2)，将圆平分的直线必过圆心，所以将圆心的坐标代入各选项验证知选C.
5．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为( )
A．(－1,1) B．(1，－1)
C．(－1,0) D．(0，－1)
答案：D
解析：r＝12k2＋4－4k2＝124－3k2，当k＝0时，r最大．
6．圆x2＋y2－4x－5＝0上的点到直线3x－4y＋k＝0的最大距离是4，则k的值是( )
A．－1 B．－11
C．1或－11 D．－1或－11
答案：D
解析：∵d＝|6＋k|5，∴d＋r＝4，又r＝3.
∴k＝－1或－11.
二、填空题(每个5分，共15分)
7．圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，－2)，则此圆的方程是________．
答案：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0
解析：解法一：圆心坐标为(2，－1)，半径为12 2－22＋0＋22＝1
所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，
即x2＋y2－4x＋2y＋4＝0.
解法二：以(2,0)，(2，－2)为直径端点的圆的方程为(x－2)(x－2)＋(y－0)(y＋2)＝0，
即x2＋y2－4x＋2y＋4＝0.
8．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3,1)，则直线AB的方程是________．
答案：x＋y－4＝0
解析：直线AB的方程与点P和圆心所确定的直线垂直，由点斜式可得．
9．圆x2＋y2＝4上的点到点A(3,4)的距离的最大值是________，最小值是________．
答案：7 3
解析：由题意，知圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，半径r＝2.圆心O(0,0)到点A(3,4)的距离d＝0－32＋0－42＝5，直线OA与圆相交于两点，显然这两点中的其中一个与点A的距离最近，另一个与点A的距离最远，所以距离的最大值为d＋r＝5＋2＝7，最小值为d－r＝5－2＝3.
三、解答题
10．(12分)圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，求圆C的方程．
解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
又圆心C－D2，－E2在直线2x－y－7＝0上，
∴2×－D2－－E2－7＝0，
即D－E2＋7＝0.①
又点A(0，－4)，B(0，－2)在圆C上，
∴ 16－4E＋F＝04－2E＋F＝0，②
由①②，解得D＝－4，E＝6，F＝8.
∴圆C的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.
11．(13分)已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，O为坐标原点，求线段3
OP的中点M的轨迹方程．
解：设点M(x，y)，点P(x0，y0)，则 x＝x02y＝y02，∴ x0＝2xy0＝2y.
∵点P(x0，y0)在圆C上，∴x20＋y20－8x0－6y0＋21＝0.
∴(2x)2＋(2y)2－8×(2x)－6×(2y)＋21＝0，
即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋214＝0.
能力提升
12．(5分)已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的是圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程．
解：(1)方程即(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝－7t2＋6t＋1，由r2＝－7t2＋6t＋1＞0，得－17＜t＜1.
(2)由(1)知r2＝－7t2＋6t＋1＝－7(t－37)2＋167，
∴当t＝37时，rmax＝477，此时圆的面积最大，对应的圆的方程为(x－247)2＋(y＋1349)2＝167.
13．(15分)求经过两点A(4,2)，B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．
解：设圆的一般方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，
所以圆在x轴上的截距之和为
x1＋x2＝－D；
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E，
所以x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，
所以D＋E＝－2①
又因为A(4,2)，B(－1,3)两点在圆上，
所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0②
1＋9－D＋3E＋F＝0③
由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
