第三章 三角函数解三角形第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2018届高考数学(理)总复习检测(含答案)

1 第五节 两角和与差及二倍角的三角函数

[考纲传真] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；

(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；

(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin2α＝2sinαcosα；

(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

(3)tan2α＝2tan α1－tan2α.

3．有关公式的变形和逆用

(1)公式T(α±β)的变形：

①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；

②tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．

(2)公式C2α的变形：

①sin2α＝12(1－cos2α)；

②cos2α＝12(1＋cos2α)．

(3)公式的逆用：

①1±sin2α＝(sinα±cosα)2；

②sinα±cosα＝2sinα±π4.

4．辅助角公式 2 asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tan φ＝ba.

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．( )

(2)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．( )

(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．( )

两角和与差的正弦、余弦和正切公式【学习目标】1．能以两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.【要点梳理】要点一：两角和的余弦函数两角和的余弦公式： 要点诠释：(1)公式中的都是任意角；(2)和差角的余弦公式不能按分配律展开，即；(3)公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由能迅速地想到；(4)第一章所学的部分诱导公式可通过本节公式验证；(5)记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反.要点二：两角和与差的正弦函数两角和正弦函数 在公式中用代替，就得到：两角差的正弦函数 要点诠释：(1)公式中的都是任意角；(2)与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即；(3)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；(4)使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形：cos()coscossinsinC、coscoscoscos50cos20sin50sin203cos50cos20sin50sin20cos5020cos302sin()sincoscossin()S()Ssin()sincoscossin()S、sinsinsinsin2sin2coscos2sin0cos1sinsin2sincoscossinsincos这也体现了数学中的整体原则.(5)记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同.要点三：两角和与差的正切函数利用已有的和(差)角的正弦、余弦以及同角关系式推导. 要点诠释：(1)公式成立的条件是：；(2)公式的变形： (3)两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.(4)公式对分配律不成立，即.要点四：理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系 sincoscossinsinsinsin()sincoscossintantantan()cos()coscossinsin1tantansin()sincoscossintantantan()cos()coscossinsin1tantantan()tantan1tantanTtan()tantan1tantanT,,Z2222kkkkk或，其中tantantan()1tantantantantan()1tantantantantan()1tantantan25tan20tan25tan20tantantan（1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键。（2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况。中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开。2．重视角的变换三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视。常见的角的变换有：；；等，常见的三角变换有：切化弦、等。要点五：辅助角公式【高清课堂：两角和与差的三角公式401863 例1（1） 】1．形如的三角函数式的变形：=令，则= =（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定。）2．辅助角公式在解题中的应用,2();()(2)()1()()2221sincossincosaxbxsincosaxbx222222sincosababxxabab2222cos,sinabababsincosaxbx22sincoscossinabxx22sin()abx,abtanba22sinbab22cosaab通过应用公式=（或=），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）。这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等。【典型例题】类型一：两角和与差的三角函数公式的正用例1．已知，，且、均为第二象限角，求、和。【思路点拨】利用同角三角函数关系式确定、的值，然后利用两角和与差的正弦、正切公式求值。【答案】 【解析】 ∵，，且、均在第二象限，故，，故。。 =sincosaxbx22sin()abxsincosaxbx22cos()absincosaxbx,ab22sin()abx22cos()ab1sin32cos3sin()sin()tan()coscos22109221095231sin32cos322222cos1sin1332tan42225sin1cos1335tan2sin()sincoscossin12225221033339sin()sincoscossin12225221033339tantantan()1tantan5224521()()24 =【总结升华】已知，的某种三角函数值，求的正弦和正切，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值。求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值。举一反三：【变式1】已知，，，是第三象限角，求、的值。【答案】 【解析】 由，得，又由，为第三象限角得，∴，。例2．（2015秋 重庆期末）已知，．（1）求的值；（2）求的值．【思路点拨】（1）由题意可得，，代入，计算可得；5234sin5,25cos13cos()cos()336563654sin5,22243cos1sin1555cos1322512sin1cos11313cos()coscossinsin354123351351365cos()coscossinsin354126351351365tan()23tan()2tansin()sin()2cos2sintan()23tan2tan()tantantan[()]1tan()tan（2）由诱导公式和弦化切，可得原式，代值计算可得【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵，，∴，，∴；（2）化简可得 举一反三：【变式1】（2016 天津南开区模拟）（1）已知．求的值．（2）已知求的值。【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意，∵ ∴ ，∴ ，所以．（2）,又1tan12tan74310tan()23tan()2tan()23tan2tan()tantantan[()]1tan()tan32723412()2sin()sin()cossin2cos2sincos2sin1tan312tan103sin,(,)5223tan()43312,,,sin(),sin(),45413cos()41756653sin,(,)52224cos1sin5sin3tancos433tantan13144tan()33471tantan144333,,,,2,(,)4242434sin(),cos();55125sin(),cos().413413 = =【变式2】如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，已知的横坐标分别为。（1）求的值；（2）求的值。【答案】（1）（2）【解析】由三角函数定义可得，又因为为锐角，所以因此（1）；（2）所以，为锐角，类型二：两角和与差的三角函数公式的逆用及变形应用例3。计算下列各式的值：（1）sin163°sin223°+sin253°sin313°；（2）；（3）。【思路点拨】注意两角和差公式的逆用和变形。【解析】（1）sin163°sin223°+sin253°sin313°=sin163°sin223

三角函数一共有6个:

直角三角形中:

正弦:sin 对边比斜边

余弦:cos 邻边比斜边

正切:tan 对边比邻边

余切:cot 邻边比对边

正割:csc 斜边比对边

余割:sec 斜边比邻边

设三角形三个内角分别为A,B,C;对边分别为a,b,c

正弦定理:

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,(R为该三角形外接圆半径)

余弦定理:

c2=a2+b2-2abcosC

b2=a2+c2-2accosB

a2=b2+c2-2bccosA

由余弦定理可推导出:

a=bcosC+ccosB

b=ccosA+acosC

c=acosB+bcosA

海仑公式:

SΔABC=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],而公式里的p为半周长:

p=(a+b+c)/2

1 三角函数公式大全

一,诱导公式

口诀:(分子)奇变偶不变,符号看象限.

1. sin (α+k·360)=sin α

cos (α+k·360)=cos a

tan (α+k·360)=tan α

2. sin(180°+β)=-sinα

cos(180°+β)=-cosa

3. sin(-α)=-sina

cos(-a)=cosα

4*. tan(180°+α)=tanα

tan(-α)=tanα

5. sin(180°-α)=sinα

cos(180°-α)=-cosα

6. sin(360°-α)=-sinα

cos(360°-α)=cosα

7. sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

8*. Sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

9*. Sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+a)=-sinα

10*.sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

二,两角和与差的三角函数

1 第23课两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[最新考纲]

内容 要求

A B

C

两角和(差)的正弦、余弦及正切

√

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；

(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；

(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.

2．有关公式的变形和逆用

(1)公式T(α±β)的变形：

①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；

②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．

3．辅助角公式

asin α＋bcos α＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tan φ＝ba.

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )

(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．( )

(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan 2 αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )

(4)公式asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( )

[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×

2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________.

12 [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.]

3．(2017·苏州模拟)若α∈(0，π)，cos α＝－45，则tan α＋π4＝________.