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浅析多元函数的最值问题

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1 浅析多元函数最值问题 作 者-欧金秀

宜宾学院数学学院数学与应用数学学院2008级2班 四川 宜宾 644000

指导老师-张 玲

摘要 ： 最值问题是数学永恒的话题，也是历年各类考试的热门考点。而在最值求解中，尤以多元函

数的最值问题因其技巧性强、难度大、方法多、灵活性多变而具有挑战性，本文主要通过消元法、不等式法以及数形结合的方法结合典型的例子阐述求多元函数最值问题的方法技巧与创新思维。

关键词： 多元函数 最值 消元 不等式 数形结合

目录

1、引言及相关定义………………………………………………………………………………2 2、求最值的方法 ………………………………………………………………………………3 2.1消元法 ………………………………………………………………………3 2.1.1 直接消元 ………………………………………………………………………3 2.1.2 拉格朗日乘数法 ……………………………………………………………… 5

2.2 不等式法 ………………………………………………………………………6 2.2.1均值不等式 …………………………………………………………………6 2.2.2琴生不等式 ………………………………………………………………9 2.2.3幂平均不等式 ……………………………………………………………11 2.2.4柯西不等式 ……………………………………………………………12

2.3 数形结合法 …………………………………………………………………13 结束语 ……………………………………………………………………………15 致谢词 ………………………………………………………………………16

参考文献 ………………………………………………………………………………16 2

1、引言及相关定义

函数是数学最重要的内容之一，同时又是解决数学问题的重要理论之一。在科技生产、经济管理等诸多领域中，常常需要解决在一定条件下怎样使得投入最小，产出最多、效益最高等问题。而这些问题即为函数的最值问题，故函数最值的研究也具有重要的价值。如何用最简单高效的方法求函数是最值问题，仍需要不断的探索与创新。

定义1【竞赛数学】： 设函数xf的定义域为D。如果存在0x∈D。使得任意实数x

∈D，都有f(x) ≤0xf，则称0xf为函数xf在D上的最大值。可以简记为maxf 如果存在0y∈D，使得任意实数x∈D，都有f(x) ≥0yf，则称为0yf函数xf

在D上的最小值。可以简记为minf 一元函数最值的概念可以类似的推广到多元函数的情形。 对于定义域在Ｄ上的ｎ元函数ｕ＝nxxxf...,21

设（0201,xx...0nx）∈D，若对一切（nxxx...,21），总有nnxxxfxxxf,,...,2100201， [或者00201...,nxxxf≤nxxxf...,21]称nxxxf...,21在点（0201,xx...0nx）达到最大（小）值，而点（0201,xx...0nx）为最值点。

定义2【竞赛数学】： 若有n个变量nxxx,,21满足方程（不等式）组 0,,21nixxxF mi,2,1， ○1 其中m＜n。求出变量nix

i,2,1

的一组值，使得函数

y=nxxxf...,21 ○2 取得最大值（最小值）。也就是说，如果（0201,xx...0nx）满足方程○1，且对满足○1的一切（nxxx...,21），总有 00201...,nxxxf≥nxxxf...,21 或0020

1...,nxxxf

≤nxxxf...,21 3

则分别称00201...,nxxxf为函数○2在条件下○1的最大值（最小值）。这种最值称为条件最值，条件○1中的等号也可以部分或全部改为不等号，并称为约束条件，而称○2为目标函数。

最值定理： 若函数在闭区间上连续，则该区间上一定有最值。 注：相关定义及定理在此不做证明，可参考《数学分析》及《竞赛数学》等。

2、求函数最值的方法

2.1消元法求函数最值 消元法是指通过消去变量(或未知数) 从而达到解题目的的方法。如果能先消去一些变

量(或未知数) 使其减少到一个,使数量关系单一化,则便于找到解题途径。多元函数最值难求,关键在于变量较多。如果能够采取合理的手段消元,使变量减少甚至只剩下一个变量,则问题往往迎刃而解。消元法是求多元函数最值的最基本方法。 2.1.1直接消元法 有的函数很容易根据约束条件消去一些变元，就可直接消元。

例1. 已知21,xx是方程053222kkxkxRk的两个实数根，问当k

为何值时，2221xx有最大值，并求出其最大值。 分析： 根据方程有根的条件得出关于k的范围，再由根与系数的关系得到约束条件，进而根据目标函数求其最值。 解： 由于所给二次方程有实数根，故判别式

05314222kkk，

即 0161632kk ○1 韦达定理，有 221kxx ○2 53221kkxx ○3 因此，本题实际上就是求在约束条件○1○2 ○3下，求目标函数 2221xxy ○4

的最大值。这里包含的变元有21,xx，k。为了消去21,xx，将○2○3代入○4，得 2122122212xxxxxxy

6102kk1952k 记 kf1952k 4

而由○1可知 344k 于是问题转化求kf在区间34,4上的最大值，由xf在I的单调性可知 当4k时，2221xx有最大值18. 例2]1[. 在约束条件04422yx下，求函数 yxyxyxyxf242,22 的最大值。 分析：约束条件很显然是个椭圆方程，我们可以利用其参数方程将二元转化为一元，达到消元的目的，从而利用一元函数求最值的方法求其最值

解：约束条件 04422yx 可化为 1422yx

令 sincos2yx， 则 yxyxyxyxf242,22 有 sincos2sinsincoscos422f sincos2sincos44 ○1

令sincos，24sin2，由○1转化为讨论函数 21242g122， 当取得最大值2时，yxf,取得最大值232

此时 4， 解得 22,2yx 注： 如果约束条件符合某些特征，根据解析几何的有关知识，将其化为参数（或极坐标）方程（或不等式），从而达到消元的目的。

例3 设1922yxyx，求22yx的最值。

解： 设 sin,cosryrx （为参数），则 22222sinsincoscosryxyx 192sin2112r 5

从而 22yx2sin211192r ，因12sin1，故当 12sin 即 319yx时，338min22yx， 当 12sin（即19,19yx或19,19yx）时，38max22yx 本题实际上是在极坐标下，求原点到椭圆1922yxyx上各点的最大和最小距离。一般来说，对于一个条件最值问题，若条件式（等式或不等式）及目标函数都是二元二次的，在极坐标下求解会比较简单。

综上述： 值得注意是，消元后，留下的元（变量或未知数）的取值范围往往并不是任意的，而要根据题设条件挖掘出来，而这往往成为解题的关键。

2.1.2 Lagrange乘数法 当有些函数很难消元，或者消元后反而使函数变得更复杂，则可利用拉格朗日乘数法求最值。

拉格朗日乘数法 如求二元函数 yxfz, 在条件yx,=0下的极值，设拉格朗日函数,,yxL=yxyxf,,

解方程组 000LxfLxfLyyxx 注意：此法求最值的必要条件，不充分。但是在某些实际问题中，若驻点存在且唯一又在区域的内部，则唯一驻点一定为最值点。

求出的驻点是可能的极值点，比较驻点与边界点函数值大小可得最值。 例1]2[. 要设计一个容量为0V的长方体开口水箱, 试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 解：设 x , y , z 分别表示长、宽、高， 则有0Vxyz，所求表面积为 xyyzxzS2

令02,,VxyzxyyzxzzyxL 6

解方程组 00202020VxyzLxzyxLxzxzLyzyzLzyx 得唯一驻点3022Vzyx 即最值点为2232,203030VVV， 此时xyyzxzS2=32043V  mins

=32043V

例2]3[. 求表面积为2a而体积为最大的长方体的体积. 分析：这是一个有关函数最值的实际问题，先找到目标函数，确定定义域即约束条件，求其极值点，进而确定最值。

解： 设长方体的三棱长为zyx,, ，则有 2xy+2yz+2xz=2a

即(,,)xyz=2xy+2yz+2xz-2a=0 (1) 作拉格朗日函数 L(x,y,z,)=xyz+(2xy+2yz+2xz-2a), 由 XL=yz+2(y+z)=0

YL=xz+2(x+z)=0 得zyzxyx， xzxyzy，

ZL=xy+2(x+y)=0

得 x=y=z (2)

将(2)代入 (1)，得唯一可能极值点x=y=z=66a。 由该问题的实际意义可知，此点就为所求最大值点。 即正方形的体积最大，最大体积为V=3366a。 综上述：应用拉格朗日求函数的最值要先找到目标函数，确定定义域即约束条件，求其可能最值点，进而确定最值。

2.2 不等式法 不等式与函数的最值问题是密切相关。由一个最值问题的解，可以得到一个不等式。例如，

若xf在ba,上的最大值及最小值是A,B则有bxaAxfB。而由

zxy

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多元函数的极值分析

多元函数的极值分析

多元函数的极值分析在数学中，多元函数的极值分析是研究多元函数在特定范围内的最大值和最小值的问题。

它是微积分的重要内容，有着广泛的应用。

本文将介绍多元函数的极值分析方法和应用。

一、多元函数的定义多元函数是含有多个自变量的函数，通常用 f(x1, x2, ..., xn) 表示。

其中，x1, x2, ..., xn 是自变量，f 是函数的取值。

多元函数可以表示为在多维空间中的曲面。

二、局部极值点的判定1. 梯度为零的点对于一个具有连续偏导数的多元函数，其极值点通常出现在梯度为零的点上。

梯度是一个向量，其方向指向函数增长最快的方向。

当梯度为零时，函数在该点上可能是极大值、极小值或鞍点。

2. 黑塞矩阵的判别黑塞矩阵是多元函数的二阶偏导数构成的方阵。

通过计算黑塞矩阵的特征值，可以判断一个点是极大值点、极小值点还是鞍点。

三、全局极值点的判定当一个多元函数在特定范围内的所有局部极值点被找到后，还需要判定是否存在全局极值点。

1. 边界点的判定当多元函数在一个有界区域内进行极值分析时，需要考虑边界点。

边界点通常是通过检查给定区域的边界条件来判断的。

2. 偏导数的判别对于一个有界区域内的多元函数，可以通过计算边界点处的偏导数，来判定是否存在全局极值点。

四、应用案例多元函数的极值分析在实际问题中有着广泛的应用。

以下是几个应用案例。

1. 经济学中的效用函数在经济学中，效用函数描述了人们对商品或服务的偏好程度。

通过分析效用函数的极值，可以确定最大化消费者的满意程度。

2. 物理学中的能量函数在物理学中，能量函数描述了物体的能量随时间的变化。

通过分析能量函数的极值，可以确定物体的平衡位置和运动方程。

3. 工程学中的优化问题在工程学中，常常需要解决各种优化问题，如资源分配、路径规划等。

多元函数的极值分析可以为工程师提供最优解决方案。

五、总结多元函数的极值分析是数学中重要的内容，可以通过梯度为零的点和黑塞矩阵的判别来确定局部极值点。

多元函数极值和最值知乎

多元函数极值和最值知乎

多元函数极值和最值
多元函数的极值和最值是在数学中研究多元函数的重要概念。

在多元函数中，有多个自变量，因此需要使用多元微积分的方法来求解极值和最值。

以下是对多元函数极值和最值的基本概念和求解方法的解释：
1.极值：在多元函数中，极值是指函数取得的最大值或最小
值。

极大值是函数取得的最大值，极小值是函数取得的最
小值。

极值点是函数极值所对应的自变量的取值。

在数学
中，通过求解函数的偏导数或海森矩阵，可以找到函数的
极值点。

2.最值：最大值是函数取得的最大值，最小值是函数取得的
最小值。

最值点是函数最值所对应的自变量的取值。

在多
元函数中，求解最值需要考虑函数的取值范围和约束条件。

求解多元函数的极值和最值通常需要以下步骤：
a. 求解函数的偏导数：对于多变量函数，需要求取每个自变量的偏导数，然后令其等于零，得到极值点的一组可能解。

b. 检查偏导数的零点：对于求得的极值点，需要检查哪些是临界点，即是否是真正的极值点。

这可以通过进行二阶偏导数测试或观察局部整体性质进行判断。

c. 检查边界条件：如果多元函数的定义域是有界的，需要检查定义域的边界上是否存在可能的极值点。

d. 比较和确定最大值和最小值：通过比较各个候选的极值
点的函数值，确定多元函数的最大值和最小值。

需要注意的是，求解多元函数的极值和最值是一个复杂的过程，并且在实践中可能会遇到各种难题。

合理使用数学工具和技巧，以及仔细分析问题的特性和约束条件，能够有效地求解多元函数的极值和最值。

多元函数的极值问题

多元函数的极值问题

多元函数的极值问题在数学中，多元函数的极值问题是一个重要的研究领域。

与一元函数的极值类似，多元函数的极值问题也是求函数在一定范围内取得最大值或最小值的问题。

在实际问题中，多元函数的极值问题有着广泛的应用，例如在经济学、物理学、工程学等领域都有着重要的作用。

本文将介绍多元函数的极值问题的基本概念、求解方法以及相关定理。

一、多元函数的定义首先，我们来回顾一下多元函数的定义。

在数学中，多元函数是指自变量不止一个的函数，通常表示为$z=f(x,y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。

多元函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

二、多元函数的极值定义对于多元函数$z=f(x,y)$，极值的定义与一元函数类似，分为最大值和最小值。

具体定义如下：1. 最大值：如果存在点$(x_0,y_0)$，使得在$(x_0,y_0)$的某个邻域内，对于任意$(x,y)$，都有$f(x,y)\leq f(x_0,y_0)$，则称$f(x_0,y_0)$是函数$f(x,y)$的最大值，点$(x_0,y_0)$是最大值点。

2. 最小值：如果存在点$(x_0,y_0)$，使得在$(x_0,y_0)$的某个邻域内，对于任意$(x,y)$，都有$f(x,y)\geq f(x_0,y_0)$，则称$f(x_0,y_0)$是函数$f(x,y)$的最小值，点$(x_0,y_0)$是最小值点。

三、多元函数的极值求解方法求解多元函数的极值问题，通常可以通过以下步骤进行：1. 求偏导数：对多元函数$z=f(x,y)$，分别对$x$和$y$求偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$。

2. 解方程组：令$\frac{\partial f}{\partial x}=0$和$\frac{\partial f}{\partial y}=0$，解出方程组$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}=0 \end{cases}$，得到极值点$(x_0,y_0)$。

多元函数微分学求最值,直接建立拉格朗日乘数法

多元函数微分学求最值,直接建立拉格朗日乘数法

多元函数微分学求最值，直接建立拉格朗日乘数法【多元函数微分学求最值，直接建立拉格朗日乘数法】引言在高等数学中，多元函数微分学是一个重要的分支，它研究多元函数的极值与最值问题。

其中一种常见的求最值的方法是通过建立拉格朗日乘数法。

本文将从简单到复杂的角度，逐步探讨多元函数微分学求最值的方法，并结合拉格朗日乘数法来解决实际问题。

一、多元函数的极值1.1 极值概念在单变量函数中，我们通过求导数，令导数为零来判断函数的极值点。

而在多元函数中，我们需要通过求偏导数来判断函数的极值点。

对于一个n元函数$f(x_1,x_2,…,x_n)$，偏导数用$\frac{\partial f}{\partial x_i}$表示。

1.2 极值的判断条件多元函数的极值点与一元函数类似，也需要满足导数为零的条件。

对于一个n元函数$f(x_1,x_2,…,x_n)$，如果在某一点$(a_1,a_2,…,a_n)$处，满足以下条件：$\frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2,…,a_n)=0\\\frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,a_2,…,a_n)=0\\……\\\frac{\partial f}{\partial x_n}(a_1,a_2,…,a_n)=0$那么该点就是函数的极值点。

但这仅仅是极值的必要条件，并不一定是充分条件。

二、最值问题的解决方法2.1 直接法在一元函数中，我们通过求导数来解决最值问题，而在多元函数中，我们也可以直接计算偏导数，并令其为零来解决最值问题。

举例说明：设有一个二元函数$f(x,y)=2x^2+3y^2$，我们要求在$x^2+y^2=1$的条件下，函数$f(x,y)$的最小值。

解法：根据条件$x^2+y^2=1$，我们可以得到一个方程组：$2x-λ\cdot2x=0\\2y-λ\cdot2y=0\\x^2+y^2-1=0$其中，λ为拉格朗日乘子。