第一讲 函数、极限、连续
1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。
2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。 偶函数：
)()(x f x f =-，图像关于y 轴对称
3、无穷小量、无穷大量、阶的比较
设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则
（1）若0=β
α
lim ，则α是比β高阶的无穷小量。
（2）若c β
α
=lim
（不为0）
，则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=β
α
lim ，则α与β是等价无穷小量
（3）若∞=β
α
lim
，则α与β是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 （1）100==→→x
x
x x x x sin lim sin lim
使用方法：拼凑[][
][][][][]
000
==→→sin lim sin lim
，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 （2）e x x x x x
x =+=⎪⎭⎫
⎝
⎛+→∞→1
0111)(lim lim
[][][]e =+→1
1)(lim
使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。
5、()() ⎝
⎛>∞<==∞→m n m n m n b
a X Q x P m
n x ,,,lim
00
()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度
快。m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大；m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限
左极限：A x f x x =-
→)(lim 0
右极限：A x f x x =+
→)(lim 0
A x f x f A x f x x x x x
x ===+
-
→→→)(lim )(lim )(lim 000
充分必要条件是 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义：
[]0)()(lim lim 000
=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x 或)()(lim
00
x f x f x x =→
间断：使得连续定义)()(lim
00
x f x f x x =→无法成立的三种情况
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≠→→)()(lim )(lim )()(00
00
0x f x f x f x f x f x x x
x 不存在无意义
不存在， 记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等
9、间断点类型
（1）、第二类间断点：)(lim 0
x f x x -
→、)(lim 0x f x x +
→至少有一个不存在
（2）、第一类间断点：)(lim 0
x f x x -
→、)(lim 0x f x x +
→都存在
⎪⎩
⎪⎨⎧≠=+
-
+
-
→→→→)(lim )(lim )(lim )(lim 000
x f x f x f x f x x x x x
x x x 跳跃间断点：可去间断点： 注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第
一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质
（1） 最值定理：如果)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上必有最大值最小值。
（2）
ξ零点定理：如果)(x f 在[]b a ,上连续，且0)()(<⋅b f a f ，则)(x f 在()b a ,内至少存在一点
ξ，使得0)(=ξf
ξ
第三讲 中值定理及导数的应用
1、 罗尔定理
如果函数)(x f y
=满足：（1）在闭区间[]b a ,上连续；（2）在开区间（a,b ）内可导；（3）)()(b f a f =，
则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf
2、 拉格朗日定理
如果)(x f y
=满足（1）在闭区间[]b a ,上连续
（2）在开区间（a,b ）内可导； 则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得a
b a f b f f --=
')
()()(ξ
（*）推论1 ：如果函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上连续，在开区间（a,b ）内可导，且0)(≡'x f ，那么
在),(b a 内
)(x f =C 恒为常数。
记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。 （*）推论2：如果
)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，在开区间),(b a 内可导，且),(),()(b a x x g x f ∈'≡'，
那么
c x g x f +=)()(
3、 驻点
