恒成立问题常见类型及解法课件

恒成立问题的几种常见解法　

张月欣　

（深圳市福田中学，广东深圳５１８０００）　

导数是研究函数的有力工具。函数与导数不仅是高中数　

学的核心内容。还是学习高等数学的基础．函数的观点及其思　

想方法贯穿于整个高中数学教学的全过程，最常见的是解含　

有参数的不等式恒成立问题．恒成立的不等式问题的综合性　较强，方法很独特，学生初次接触此类问题会感到很头痛，甚　

至觉得无所适从．揭示本类题目内在规律，探讨特有的解题方　

法很有现实意义．　

对于含参变量的某些与函数、数列、方程和不等式有关的　

恒成立问题，如果能将变量分离出来，问题就会化难为易，化繁　为简．从而迎刃而解．现我就高中阶段常见的一些问题做总结．　

一、符合由浅入深的认识规律。区别对待各种题型是掌握　

恒成立问题的基础．　

题型一：一次函数ｆ（ｘ）＝ｋｘ＋ｂ对Ｘ∈（ｍ，ｎ）恒成立问题．　

例１：ｆ（ｘ）＝ａｘ＋２ａ＋ｌ　Ｉ＞０对Ｘ∈［一１，２］恒成立，求ａ的取值范　

围．　

解法１：（１）｛　０）≥０　｛：　＋１≥０　ａＩ＞０　

（２）｛　≥　ｉｆ２ａ＜　＋２ａ０　０　｝≤ａ＜０　

综上所述，ａ的取值范围为ｆａｌａ￣＞一　。１．　４　

解法２．　０　｛　ａ＋ｌ≥Ｉ＞０　ａ≥一丢　

总结：一次函数　ｘ）＿ｋｘ＋ｂ≥０对ｘ　（ｍ，ｎ）恒成立铮　ｍ））　

变形一：若函数ｆ（ｘ）＝ａｘ＋２ａ＋５对ａ∈［一ｌ，２］恒成立，求实数　

ｘ的取值范围．　

解：令ｇ（ａ）＝ｆ（ｘ）＝ａｘ＋２ａ＋５＝（ｘ＋２）ａ＋５Ｉ＞０对ａＥ［一１，２］恒成　

立　

．ｇ（，－、１　≥ｏ　｛一　一２　≥０ｊ一　≤ｘ≤３综上所述，ｘ取值范　【ｇ（２）≥０一ｌ２ｘ４＋５≥０一　…　一　。　

围为ｆｘｌ一二≤ｘ≤３１．　２　

要观察变量情况，灵活应对不同情况，做到可以随时转化　变量。千万不能钻牛角尖．　

题型二：二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ　＋ｈｘ＋ｃ对ｘ∈Ｒ恒成立问题．　

例２：ｆ（ｘ）＝ａｘ＇－２ａｘ＋３≥０对ｘ∈Ｒ恒成立，求ａ的取值范围．　

不等式恒成立问题基本类型及常用解法

类型1：设f(x)=ax+b

f(x) ＞0在x∈nm,上恒成立 0)(0)(nfmf

f(x) ＜0在x∈nm,上恒成立0)(0)(nfmf.

例1. 设y=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1,若t在[-2,2]上变化，y恒取正值，求实数x的取值范围。

解：设f(t)=y=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1， t∈[-2,2]

问题转化为：f(t)＞0对t∈[-2,2]恒成立

0)2(0)2(ff

01)(log03log4)(log22222xxx

0＜x＜21或x＞8。

故实数x的取值范围是（0，21）∪（8，+∞）。

例2. 对于 -1≤a≤1,求使不等式(21)axx2<(21)12ax恒成立的x的取值范围。

解：原不等式等价于x2+ax<2x+a-1在a∈[-1,1]上恒成立.

设f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,则f(a)是a的一次函数或常数函数，

要使f(a)>0在a∈[-1,1]上恒成立,则须满足

0)1(0)1(ff023022xxxxx>2或x<0

故实数的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).

类型2：设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)

f(x) ＞0在x∈R上恒成立a＞0 且△＜0;

f(x) ＜0在x∈R上恒成立a＜0 且△＜0.

说明：①.只适用于一元二次不等式

②.若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论.

例3.不等式3642222xxmmxx＜1对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

解：由4x2+6x+3=(2x+23)2+43＞0,对一切实数x恒成立，从而，原不等式等价于

基本不等式的恒成立问题

一、基本不等式

1. 基本不等式的形式

- 对于正实数a，b，有a + b≥2√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。

- 变形形式：ab≤((a + b)/(2))^2。

2. 基本不等式成立的条件

- a>0，b>0。

二、基本不等式恒成立问题的常见类型及解法

1. 类型一：求参数的取值范围使得不等式恒成立

- 例1：已知x>0，y>0，若x + y+ (1)/(x)+(1)/(y)≥ m恒成立，求m的取值范围。

- 解析：

- 因为x>0，y>0，根据基本不等式x+(1)/(x)≥2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时等号成立；同理y+(1)/(y)≥2，当且仅当y = 1时等号成立。

- 所以x + y+(1)/(x)+(1)/(y)=(x+(1)/(x))+(y+(1)/(y))≥2 + 2=4。

- 因为x + y+(1)/(x)+(1)/(y)≥ m恒成立，所以m≤4。

2. 类型二：已知不等式恒成立，求代数式的最值

- 例2：若对于任意x>0，(x)/(x^2)+3x + 1≤ a恒成立，求a的最小值。

- 解析：

- 因为x>0，则(x)/(x^2)+3x + 1=(1)/(x+frac{1){x}+3}。 - 根据基本不等式x+(1)/(x)≥2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x

= 1时等号成立。

- 所以x+(1)/(x)+3≥2 + 3=5，则0<(1)/(x+frac{1){x}+3}≤(1)/(5)，即0<(x)/(x^2)+3x + 1≤(1)/(5)。

- 因为(x)/(x^2)+3x + 1≤ a恒成立，所以a≥(1)/(5)，a的最小值为(1)/(5)。

1 八种解法解决不等式恒成立问题

1最值法

例1．已知函数)0(ln)(44xcbxxaxxf在1x处取得极值c3，其中cba,,为常数．（I）试确定ba,的值；（II）讨论函数)(xf的单调区间；（III）若对于任意0x，不等式22)(cxf恒成立，求c的取值范围．

分析：不等式22)(cxf恒成立，可以转化为2min2)(cxf

解：（I）（过程略）3,12ba．

（II）（过程略）函数)(xf的单调减区间为)1,0(，函数)(xf的单调增区间为),1(．

（III）由（II）可知，函数)(xf在1x处取得极小值cf3)1(，此极小值也是最小值．要使22)(cxf（0x）恒成立，只需223cc，解得23c或1c．

所以c的取值范围为),23[]1,(．

评注：最值法是我们这里最常用的方法．axf)(恒成立axf)(min；axf)(恒成立axf)(max．

2分离参数法

例2．已知函数xxxxf1)1(ln)(22

（I）求函数)(xf的单调区间；

（II）若不等式enan)11(对于任意Nn都成立（其中e是自然对数的底数），求a的最大值．

分析：对于（II）不等式enan)11(中只有指数含有a，故可以将函数进行分离考虑．

解：（I）（过程略）函数)(xf的单调增区间为)0,1(，)(xf的单调减区间为),0(

1 （II）不等式enan)11(等价于不等式1)11ln()(nan，由于111n，知1)11ln()(nannna)11ln(1；设xxxg1)1ln(1)( ]1,0(x，则221)1(ln)1(1)(xxxxg)1(ln)1()1(ln)1(2222xxxxxx．

由（I）知，01)1(ln22xxx，即0)1(ln)1(22xxx；于是，0)(xg