当前位置：文档之家 › 高中数学求轨迹方程的六种常用技法

高中数学求轨迹方程的六种常用技法

  • 格式：doc
  • 大小：984.50 KB
  • 文档页数：8

1 求轨迹方程的六种常用技法 轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1．直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

例1．已知线段6AB，直线BMAM,相交于M，且它们的斜率之积是49，求点M 的轨迹方程。

解：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)AB，设点M的坐标为(,)xy，则直线AM的斜率(3)3AMykxx，直线BM的斜率(3)3AMykxx 由已知有4(3)339yyxxx•



化简，整理得点M的轨迹方程为221(3)94xyx 练习：1．平面内动点P到点(10,0)F的距离与到直线4x的距离之比为2，则点P的轨迹方程是 。

2．设动直线l垂直于x轴，且与椭圆2224xy交于A、B两点，P是l上满足1PAPB的点，求点P的轨迹方程。

3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 2．定义法 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。

例2．若(8,0),(8,0)BC为ABC的两顶点，AC和AB两边上的中线长之和是30，则ABC的重心轨迹方程是_______________。 解：设ABC的重心为(,)Gxy，则由AC和AB两边上的中线长之和是30可得 230203BGCG，而点(8,0),(8,0)BC为定点，所以点G的轨迹为以,BC 为焦点的椭圆。 所

以由220,8ac可得2210,6abac 2

故ABC的重心轨迹方程是221(0)10036xyy 练习：4．方程222(1)(1)|2|xyxy表示的曲线是 （ ） A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．抛物线 3．点差法

圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)AxyBxy的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12xx，12yy，12xx，12yy等关系式，由于弦AB的中点(,)Pxy的坐标满足122xxx，

122yyy且直线AB的斜率为2121yyxx，由此可求得弦AB中点的轨迹方程。

例3．椭圆22142xy中,过(1,1)P的弦恰被P点平分,则该弦所在直线方程为_________________。 解：设过点(1,1)P的直线交椭圆于11(,)Axy、22(,)Bxy，则有 2211142xy ① 2222142xy

②

①②可得12121212()()()()042xxxxyyyy 而(1,1)P为线段AB的中点，故有12122,2xxyy 所以12121212()2()210422xxyyyyxx，即12ABk

所以所求直线方程为11(1)2yx化简可得230xy 练习：5．已知以(2,2)P为圆心的圆与椭圆222xym交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。

6．已知双曲线2212yx，过点(1,1)P能否作一条直线l与双曲线交于,AB两点，使P 为线段AB的中点？ 4．转移法 转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。 当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程： ①某个动点P在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点M随P的变化而变化； ③在变化过程中P和M满足一定的规律。

例4． 已知P是以12,FF为焦点的双曲线221169xy上的动点，求12FFP的重心G 的轨迹方程。 3

解：设 重心(,)Gxy，点 00(,)Pxy，因为12(4,0),(4,0)FF 则有30003044yyxx， 故yyxx3030代入19201620yx 得所求轨迹方程 2291(0)16xyy 例5．抛物线24xy的焦点为F,过点(0,1)作直线l交抛物线A、B两点,再以AF、BF为邻边作平行四边形AFBR，试求动点R的轨迹方程。 解法一：（转移法）设(,)Rxy，∵(0,1)F，∴平行四边形AFBR的中心为1(,)22xyP，

将1ykx，代入抛物线方程,得2440xkx， 设1122(,),(,)AxyBxy，则 212121212

16160||14444kkxxkxxkxxxx











①

∴222212121212()24244xxxxxxyyk， ∵P为AB的中点.∴1222122222121kyyykxxx3442kykx，消去k得 24(3)xy

，由①得，||4x，故动点R的轨迹方程为24(3)(||4)xyx。

解法二：（点差法）设(,)Rxy，∵(0,1)F，∴平行四边形AFBR的中心为1(,)22xyP， 设1122(,),(,)AxyBxy，则有 2114xy

① 2224xy ②

由①②得12121212()()4()4lxxxxyyxxk ③

而P为AB的中点且直线l过点(0,1)，所以1211322,22lyxyxxxkxx代入③可得

34yxx，化简可得22124124xxyy④

由点1(,)22xyP在抛物线口内，可得221()48(1)22xyxy⑤ 4

将④式代入⑤可得222128(1)16||44xxxx 故动点R的轨迹方程为24(3)(||4)xyx。 练习：7．已知(1,0),(1,4)AB，在平面上动点Q满足4QAQB，点P是点Q关于直线2(4)yx的对称点，求动点P的轨迹方程。

5．参数法 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。 例6．过点(2,0)M作直线l交双曲线221xy于A、B两点，已知OPOAOB。 （1）求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线； （2）是否存在这样的直线l，使OAPB矩形？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。 解：当直线l的斜率存在时，设l的方程为(2)(0)ykxk，代入方程221xy， 得2222(1)4410kxkxk 因为直线l与双曲线有两个交点，所以210k，设1122(,),(,)AxyBxy，则

22121222

441,11kkxxxxkk

 ①

212121222

44(2)(2)()4411kkkyykxkxkxxkkkk



设(,)Pxy，由OPOAOB 得212122244(,)(,)(,)11kkxyxxyykk

∴2224141kxkkyk 所以xky，代入241kyk可得241()xyyxy，化简得 2240xyx即22(2)4xy

②

当直线l的斜率不存在时，易求得(4,0)P满足方程②，故所求轨迹方程为22(2)4(0)xyy，其轨迹为双曲线。（也可考虑用点差法求解曲线方程） （2）平行四边OPAB为矩形的充要条件是0OAOB即12120xxyy ③ 当k不存在时，A、B坐标分别为(2,3)、(2,3)，不满足③式 当k存在时，222121212121212(2)(2)(1)2()4xxyyxxkxkxkxxkxxk

2222222(1)(14)244011kkkkkkk化简得22101kk

，

此方程无实数解，故不存在直线l使OPAB为矩形。

合集下载

解析几何求轨迹方程的常用方法

解析几何求轨迹方程的常用方法

解析几何求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线〔如圆、椭圆、双曲线、抛物线〕的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标〔x ，y 〕表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f 〔t 〕， y ＝g 〔t 〕，进而通过消参化为轨迹的普通方程F 〔x ，y 〕＝0。

4. 代入法〔相关点法〕：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，〔该点坐标满足某已知曲线方程〕，则可以设出P 〔x ，y 〕，用〔x ，y 〕表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点〔含参数〕的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程〔假设能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程〕，该法经常与参数法并用。

一：用定义法求轨迹方程例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为〔-4，0〕，〔4，0〕，C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。

例2： 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，假设b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

曲线的轨迹方程的求法

曲线的轨迹方程的求法

圆锥曲线的轨迹方程的求法高考要求求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点重难点归纳一、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念 二、跟踪应用（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法： ①直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(,)0F x y =；如已知动点P 到定点F(1,0)和直线3=x 的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．（答：212(4)(34)y x x =--≤≤或24(03)y x x =≤<）；②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

如线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）)0(>m ，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答：22y x =）；③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1)由动点P 向圆221x y +=作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600，则动点P 的轨迹方程为（答：224x y +=）；（2）点M 与点F(4,0)的距离比它到直线05=+x l ：的距离小于1，则点M 的轨迹方程是_______ （答：216y x =）；(3) 一动圆与两圆⊙M ：122=+y x 和⊙N ：012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；④代入转移法：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，再将00,x y 代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点P 是抛物线122+=x y 上任一点，定点为)1,0(-A ,点M 分−→−PA 所成的比为2，则M 的轨迹方程为__________（答：3162-=x y ）；⑤参数法：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,x y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。

高中数学-求轨迹方程的方法

高中数学-求轨迹方程的方法

专题：求轨迹方程
1.轨迹和轨迹方程的概念：平面上一动点M 按一定规则运动形成的曲线叫做动点M 的轨迹，在平面直角坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就叫点M 的轨迹方程 注：求轨迹方程与求轨迹的区别：
求轨迹方程：轨迹方程指的是轨迹的方程，求轨迹方程就是求轨迹的方程
求轨迹：指的是图形，求轨迹要先求出轨迹方程，再根据轨迹方程指出轨迹的形状，位置等特征
2.坐标法求轨迹方程的步骤：
①建系：建立恰当的平面直角坐标系
②设点：设点),(y x M 为所求轨迹上任意一点
③列方程：列出点M 的横坐标x 和纵坐标y 之间的方程
④化简：把方程化成最简形式
⑤证明：证明以化简后方程的解为坐标的点都在曲线上
建系设点--------列方程--------化简--------审查
3.求轨迹方程的常用方法：①直接法（直译法）；②定义法；③相关点法（代入法）；④参数法；⑤交轨法
例1.已知一曲线是与两定点)0,0(O ，)0,3(A 距离之比为
2
1的点的轨迹，求此曲线的方程
例2.已知圆O ：42
2=+y x 和定点)0,6(A ，点B 为圆C 上一动点，求线段AB 的中点P 的轨迹方程
例3.自点)0,4(A 引圆422=+y x 的割线ABC ，求弦AB 的中点P 的轨迹
作业
1.求与两定点)0,0(O ，)0,2(A 的距离之比为)0(>k k 的点的轨迹方程，并指出轨迹的形状
2.设点)4,3(-M ，动点N 在圆42
2=+y x 上运动，以ON OM ,为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程
3.已知圆422=+y x 和定点)0,4(Q ，P 为圆上一动点，POQ ∠的角平分线交PQ 于R ，求点R 的轨迹方程。

高考数学辅导：轨迹方程的求解

高考数学辅导：轨迹方程的求解

高考数学辅导：轨迹方程的求解轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也确实是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】确实是与几何轨迹对应的代数描述。

一、求动点的轨迹方程的差不多步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直截了当将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：假如能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直截了当关系难以找到时，往往先查找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

*直译法：求动点轨迹方程的一样步骤①建系——建立适当的坐标系;②设点——设轨迹上的任一点P(x，y);③列式——列出动点p所满足的关系式;④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

至元明清之县学一律循之不变。

明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。

到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。

事实上“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。