必修四平面向量知识点梳理

一、平面向量概念
2.向量的减法运算
B
1）减法法则： OA－OB = BA
2）坐标运算:
O
A
若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ) 则a － b= (x1 － x2 , y1 － y2)
3.加法减法运算律
1）交换律： a+b=b+a 2）结合律： （a+b)+c=a+(b+c)
练习
（3）两个向量相等的充要条件是两个向量的
坐标相等 .
即: a 那么 a
(x1, b
y1),
x1
b
(x2, y2 )
x2且y1
y2
三、平面向量的基本定理
如果 e1, e2是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量a，有且只有一对实数1, 2 ,使 a 1e1 2 e2
(四) 数量积
其实质就是向量的伸长或缩短！ 坐标运算： 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)
= (λ x , λ y)
一、平面向量概念
定理1:两个非零向量 a与b平行 (方向相同或相反)
存在唯一实数，使得
a
b.
结论:
设 则
a
表示与非零向量
a
a
a
同向的单位向量.
|a|
二、平面向量之间关系
C
O
D b
`
120o
a
B
A
解：以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，
由于 | AD || AB | 3，故此四边形为菱形
由向量的加减法知
AC 故|
a AC
b，DB || a b
ab |，| DB ||
a
b
|
D
因为DAB 120O，所以DAC 60O b
C
O
12`0o
a
B
A
所以ADC是正三角形，则 | AC | 3
1、平面向量数量积的定义：a b | a | | b | cos
2、数量积的几何意义： 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 方向上的投影 | b | cos 的乘积.
3、数量积的坐标运算
B
a b x1x2 y1 y2
θ
4、运算律: （1） ab ba O
B
A
（2）（ a）b （a b） a（ b）1
a AB x1 x2 2 y1 y2 2
一、平面向量概念
1.向量的加法运算 三角形法则
平行四边形法则
CB
C
AB+BC= AC
OA+OB= OC
A
BO
A
重要结论：AB+BC+CA= 0
坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)
则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
ab
x12 y12
x22
y
2 2
(a, b是两个非零向量)
5a b a b
例1.证明对任意a、b有：a b a b a b
证明: (1)若a，b有一个为0,结论显然成立。
B
(2)若a，b都不为0,作OA a, AB b,则OB a b
① 当a，b不共线时，由三角形一边小于 其 他 两 边 之 和 ， 大 于 其他 两 边 之 差 ，O
向量平行(共线)充要条件的两种形式:
(1)a // b(b 0) a b;
(2)a // b(a (x1, y1),b (x2, y2 ),b 0) x1 y2 x2 y1 0
向量垂直充要条件的两种形式:
(1)a b a • b 0
(2)a b a • b x1x2 y1 y2 0
向 量 几何表示 : 有向线段
的 表
字母表示 : a 、AB 等
示 坐标表示 : (x，y)
若 A(x1,y1), B(x2,y2) 则 AB = (x2 － x1 , y2 － y1)
一、平面向量概念 向量的模（长度）
1. 设 a = ( x , y ), 则 a x2 y2
2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
一、平面向量概念
向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
重要概念：
（1）零向量： 长度为0的向量，记作0. （2）单位向量：长度为1个单位长度的向量. （3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反
的非零向量. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量. （5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
一、平面向量概念
由于菱形对角线互相垂直平分,所以AOD是直角三角形，
| OD || AD | sin 60o 3 3 3 3
所以
|
a
b
|
3，| a
b
2 |
3
2 3
return
一、平面向量概念 4.实数λ与向量 a 的积
定义：λa是一个 向量.
它的长度 |λa| = |λ| |a|；
它的方向 (1) 当λ≥0时,λa 的方向 与a方向相同； (2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反.
必修四 平面向量
知识点梳理
知 识
向量的概念
零向量、单位向量、 共线向量、相等向量
解决
网
图形
络
平 面
加法、减法
向量平行的充要条件
的平 行和 比例
向 量
数乘向量
平面向量基本定理
问题 的
初
向 量
坐标表示
两向量的夹角公式
解决 步 图形 应
的垂 用
两向量数量积
向量垂直的充要条件 直和 角度,
两点的距离公式
长度 问题
b aA
OA AB OB OA AB a b a b a b
②若a，b同向，则OB OA AB 若a，b反向，则OB OA AB
a、b共线时，a b a b 或 a b a b
综上所述：原命题成立
例 2. 已知平行四边形OADB中，OA a,OB b，
AB与OD交于C.且 | BM | 1 | BC |， 3
| CN | 1 | CD |，用a 、b表示OM，ON，MN.
（3）（a b）c ac b c
5、数量积的主要性质及其坐标表示：
1a b a b 0 x1x2 y1y2 0
2.当a
Hale Waihona Puke Baidu
//
b时，a b
a
b，当a，b同向时
a b，当a，b反向时
2
(3)a a a , a a a x12 y12
4cos a b x1x2 y1 y2
填空：
AB BD __A_D__;
BA BC __C__A__; BC CA __B_A___; OD OA __A_D___;
OA OB __B_A___ .
练习、如图,已知向量AB a, AD b，DAB 120o， 且 | a || b | 3，求 | a b | 和 | a b |