勾股定理的几种证明方法.doc
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几种简单证明勾股定理的方法 ——拼图法、定理法 据说 对社会有重大影响的 10 大科学发现， 勾股定理就是其中之
一。早在 4000 多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定 理来测量两地的地势差。 迄今为止， 关于勾股定理的证明方法已有 500
余种，各种证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结 合的魅力。让我们动起手来，拼一拼，想一想，娱乐几种，去感悟数 图 1 学的神奇和妙趣吧！
一、拼图法证明（举例 12 种） 拼法一 ：用四个相同的直角三角形（直角边为 a、 b，斜边为 c） 按图 2 拼法。 问题：你能用两种方法表示左图的面积吗？对比两种不同的表示 方法，你发现了什么？
分析图 2： S 2 2 + 4 × 21 ab 图 2 正方形 =（ a+b）= c 化简可得： a2+b2 = c2
a b b a 拼法二 ：做 8 个全等的直角三
a c a a 角形，设它们的两条直角边长分别为 a c b a b c a、b，斜边长为 c，再做三个边长分
别为 a、b、 c 的正方形，把它们像左 b cb b b c c 图那样拼成两个正方形 。
a
a b a b 从图上可以看到， 这两个正方形
的边长都是 a + b，所以面积相等 . 即 a2+b2+4× 21 ab = c2+4× 21 ab 整理得 a
2+b 2 = c2
拼法三： 用四个相同的直角三角形（直角边为 a、 b，斜边为 c）按图 3 拼法。 问题：图 3 是由三国时期的数学家赵爽在为 《周
髀算经》 作注时给出的。 在图 3 中用同样的办法研
图 4 究，你有什么发现？你能验证 a2+b2=c 2 吗？
图 3 2 2 分析图 3： S 正方形 = c =（ a-b） + 4× 2
1 ab
化简可得： a2 +b 2 = c 2
观察图 2、图 3 与图 4 的关系，并用一句话表示你的观点。
图 4 为图 2 与图 3 面积之和。 A 拼法四 ：用两个完全相同的直角三角形 （直角边为 a、 D b，斜边为 c）按图 5 拼法。 背景：在 1876 年一个周末的傍晚，在美国首都华盛 顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就
B E C 是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德（ Garfield ）．他发 图 5 现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在谈论着什么．由于
好奇心的驱使，伽菲尔德向两个小孩走去，想搞清楚两个小 孩到底在干什么． 只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形． 于是伽菲 尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说： “请问先生，如果直角三角形的两 条直角边分别为 3 和 4，那么斜边长为多少呢？” 伽菲尔德答到：“是 5 呀．”小男孩又问道： “如果两条直角边分别为 5 和 7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加 思索地回答到： “那斜边的平方一定等于 5 的平方加上 7 的平方．”小男孩又说道： “先生， 你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。 于是伽菲尔德不再散步， 立即回家， 潜心探讨小男孩给他留下的难题。 他经过反复的思 考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 问题： 图 5 就是伽菲尔德总统的拼法，你知道他是如何验证的吗？你能用两种方法表 示图 5 的面积吗？ 伽菲尔德总统是这样分析的： S 梯形 ABCD = 12 (a+b)2
S 梯形 ABCD =S△ABE + S△ECD+ S△AED = 12 ab+ 12 ab+ 12 c2 则有： 1 (a+b) 2= 1 ab+ 1 ab+ 1 c2 2 2 2 2 2 2 2
化简可得： a +b = c
比较图 5 与图 2，你有什么发现？ 图 5 面积为图 2 之半。
拼法五 ：用四个相同的直角三角形（直角边为 a、 b，斜边为 c），
拼成图 6，得边长分别为 a、 b、 c 正方形。
问题：观察图 6，你能发现边长分别为 a、b、 c 的正方形吗？你能 通验证到： a2+b2 = c2 吗？
图 6 分析：其实，图 6 可以转化为下面两图：
图 a 的面积可表示为： a2+b2+2 × 21 ab
图 b 的面积可表示为： c2+2× 21 ab
比较 a、 b 两图，你发现了什么？ a2+b 2+2× 21 ab = c2+2× 12 ab 图 a 图 b 2 2 2
化简可得： a +b = c A b aD b a 拼法六 ：设直角三角形两直 A D 角边的长分别为 a、b，斜边 1 ab 1
ab
a a 2 a ab a 2c 2 b 的长为 c. 作边长是 a+b 的正
c
c 2 方形 ABCD 把正方形 ABCD
b b2 ab b b c 1 ab
2
B b a C B a
c 1 ab
2 b
划分成左图所示的几个部 a 分，则该正方形 ABCD 的面 2 2 2 C 积为（ a＋ b）＝ a ＋b ＋ 2ab；
再把正方形 ABCD 划分成右
图所示的几个部分，则正方形 2 2 ab ABCD 的面积为（ a＋ b）＝ c +4× 2
1
由两正方形面积相等得 a2＋ b2＋ 2ab＝ c2+4 × 21 ab 整理得 a2+b2 = c
2
拼法七 ：用四个相同的直角三角形 （直角边为 a、 b，斜边为 c）拼成图 7。 问题：你能把图 7 转化为图 c 吗？通过位置变换， 你发现了什么？你能发现边长分别为 a、b、c 的正方
图 c 形吗？能否验证到： 2 2 2 呢？
图 7 a +b = c
分析：图 7 的面积可表示为： c2+4 × 21 ab
图 c 的面积可表示为： a
2+b 2+4× 1 ab
2
a2+b 2+4× 12 ab = c2 +4× 12 ab
④ ⑤ ③
① ②
图 8 a2+b2 = c2 呢？你还有其它的拼法吗？
② ⑤ ① ③
④
图 d ④ ⑤ ③
① ②
图 f 化简可得： a2+b2 = c2 拼法八、九、十、十一、十二 ：制作一个五巧板，如图 8。
方法：先作一个直角三角形，直角边为 a、 b，斜边为 c，以斜边为边长向内作正方形， 并把正方形按图中实线分割为五个部分，这就是一个五巧板。
问题：运用五巧板，拼出图 d、图 e、图 f、图
g，并仔细观察、 比较，你发现了什么？能否验证到：
④ ⑤ ③
① ① ③ ②
④ ① ② ② ⑤
图 e ⑤
③ ④
图 g 二、定理法证明（举例 3 种） C 利用切割线定理证明
a b 在 Rt ABC 中，设直角边 BC = a，AC = b ，斜边 AB
EaBa c DA
= c . 如图，以 B 为圆心 a 为半径作圆，交 AB 及 AB 的延
长线分别于 D 、E，则 BD = BE = BC = a . 因为∠ BCA = 90 o，点 C 在⊙ B 上，所以 AC 是⊙ B 的切线 . 由切割线定 理，得 AC 2=AE · AD ＝ (AB ＋ BE) (AB － BD) ＝（ c＋a）（ c－ a）＝ c2－ a2 从而可得 a2+b2 = c2
利用托勒密定理证明 D b B
a c c a
A b C
在 Rt ABC 中，设直角边 BC = a ，AC = b ，斜边 AB = c （如图） . 过点 A 作 AD ∥ CB，过点 B 作 BD ∥ CA，则 ACBD 为矩形，矩形 ACBD 内接于一个圆 . 根据托勒密定理，圆内 接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有 AB · DC ＝ AD · BC＋ AC · BD 从而可得 a2+b2 = c2
利用射影定理证明 C
如图，在 Rt ABC 中，设直角边 AC、BC 的长度
a b 分别为 a、 b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CD⊥ AB ， 垂足是 D.
A D c 根据射影定理，得 B AC
2＝ AD · AB ， BC2
＝ BD · BA
即 AC 2 ＋BC2＝ AD · AB ＋BD · BA ＝ AB （ AD ＋ BD ）＝ AB 2 从而得 a2+b2 = c2
品味各种拼图，方法各异，妙趣横生，证明思路别具匠心，极富创新。它们充分运用了 几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，深刻 体现了形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特魅力。
