江苏省历年高等数学竞赛试题(打印版)

2014年江苏省高等数学竞赛试题（专科）一.填空（每题4分，共40分）1、设()x h x e =则极限24ln[(1)(4)...(31)]lim 1x h h h n n →+=+2、求极限201cot lim x x x x →-= 3、若当0x →时，2()231x f x e ax bx =-+-是2x 的高阶无穷小，则a = b =4、求极限20302sin lim x x t dt x →=⎰5、函数()f x =的间断点是 ，它们的类型是 （请用A 、B 、C 分别表示“可去”、“跳跃”、“第二类”间断点）6()()f x f x '=的一个原函数，则 7、设||||1,,,4a b a b →→→→==<>=π则以,a b a b →→→→+-为邻边的平行四边形的面积是8、过直线111135x y z --+==--，且平行于z 轴的平面方程为9、点（1，2，3）关于平面x+y+z=0的对称点是 10、直线341213x y z ---==-到z 轴的距离为二. （每题6分，共12分）1、求2()ln(1)x f x x e =+-在[0，2]上的最大值和最小值。

2、设函数()[0,)()0g x g x +∞>在上连续，且，试证00t ()()0+()xxg t dt F x g t dt =∞⎰⎰在（，） 上单调增加。

三. （每题6分，共12分）1、20()[0,]()2()cos d ()2f x f x x f x x x f x =+⎰设函数在上连续，且，求ππ。

2、设()=(11)(12)(13)(14)g x x x x x ----，试证g ()0x '=在（11，14）内恰有三个根。

四、（12分）作曲线2y=x 的切线，求该曲线和切线围成的图形的面积，并求所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积。

五、（4分+8分）1、判别级数11n n +∞=的敛散性，若收敛，要区分是绝对收敛还是条件收敛。

2010年江苏省普通高等学校第十届高等数学竞赛试题(专科)一填空题(每小题4分，共32分) 1.=-→30)sin(sin sin lim xx x x 。

2.,,tan )arctan(2x e x y x +=则='y 。

3.设x y y x =确定),(x y y =则=dxdy 。

4.,cos 2x y =则=)(n y。

5.⎰=-dx e xx x 21 。

6.⎰+10421)arctan(dx xx x 7.圆⎩⎨⎧≤+--++=+-+192240222222z y x z y x z y x 的面积为 。

8.级数∑∞=-+1!2!)1(1n n n n n 的和为 。

二、(10分)设a 为正常数，使得ax ex ≤2对一切正数x 成立，求常数a 的最小值。

三、(10分)设)(x f 在]1,0[上连续，且⎰⎰=1010)()(dx x xf dx x f ， 求证：存在)1,0(∈ξ，使得⎰=ξ00)(dx x f四、(12分)求广义积分dx x ⎰∞+-2411五、(12分)过原点)0,0(作曲线x y ln -=的切线。

求该切线、曲线x y ln -=与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

六、(12分) 已知正方体1111D C B A ABCD -的边长为2，E 为11C D 的中点，F 为侧面正 方形11B BCC 的中点，(1)试求过点F E A ,,1的平面与底面ABCD 所成的二面角的值。

(2)试求点D 到过点F E A ,,1的平面的距离。

七、(12分)已知数列}{n a 单调增加，满足： ,,5,2,1321 ===a a a),3,2(311=-=-+n a a a n n n ，记a x n 1=，判别级数∑∞=1n n x 的敛散性。

江苏省高校第十一届本一高等数学竞赛试题2012年江苏省普通高等学校第十一届高等数学竞赛试题(本科一级)一填空题(每小题4分，共32分) 1.=----→3431)1()1)(1)(1(lim x x x x x 。

2.),1ln(2x y -=则=)(n y 。

3.=?208sin πxdx 。

4.=?∞+dx xx 131arccos 1。

5.函数),(),(),(y x f x x ψ?皆可微，设)),(),((xy y x f z ψ?+=则=??-??y z x z 。

6.设,:222z z y x ≤++Ω则=++Ωdxdydz z y x 2)( 。

7.点)3,1,2(-到直线22311z y x =-+=-的距离为。

8.级数∑∞=-+-1)1()1(n n k n n n 为条件收敛，则常数k 的取值范围是。

二、(每小题6分，共12分)(1)求n nn n 1)1(321lim +∞→-+-+- 。

(2)设)(x f 在0=x 处三阶可导，且,3)0(,0)0(=''='f f 求30)()1(lim xx f e f x x --→。

三、(每小题6分，共12分)在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，并证明满足条件；若不存在，请给出证明。

(1)函数)(x f 在0=x 处可导，但在0=x 的某去心邻域内处处不可导。

(2)函数)(x f 在),(δδ-上一阶可导)0(>δ，)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。

四、(10分)设函数),(y x f 在平面区域D 上可微，线段PQ 位于D 内，点Q P ,的坐标分别为),(b a P ，),(y x Q ，求证：在线段PQ 上存在点),(ηξM ，使得))(,())(,(),(),(b y f a x f b a f y x f y x-'+-'+=ηξηξ。

2000年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题3分，共15分）1.设()f x =()f f x =⎡⎤⎣⎦0x x ≥<⎪⎩ 2. 1limln 1x x x xx x →-=-+ 2- 3. ()14451x dx x =+⎰10553(331)15(1)x x C x -++++ 4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+⎧⎧⎪⎪=+=-⎨⎨⎪⎪=-=+⎩⎩的平面方程为20x z --=5..设(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定（F 为任意可微函数），则z zxy x y∂∂+=∂∂z 二选择题（每题3分，共15分）1.对于函数112121xx y -=+，点0x =是 B .A. 连续点；B. 第一类间断点；C. 第二类间断点；D 可去间断点2.设()f x 可导，()()()1sin F x f x x =+，若欲使()F x 在0x =可导，则必有（ B ）A. ()00f '=；B. ()00f =；C. ()()000f f '+=；D ()()000f f '-=3. ()00sin limx y x y x y →→+=-（ D ） A. 等于1； B. 等于0；C. 等于1-；D 不存在 4.若()()0000,,,x y x y f f xy∂∂∂∂都存在，则(),f x y 在()00,x y ( D )A. 极限存在，但不一定连续；B. 极限存在且连续；C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续5.设α为常数，则级数21sin n n n α∞=⎛ ⎝∑ ( C ) A. 绝对收敛 B. 条件收敛； C. 发散； D 收敛性与α取值有关三（6分）设()f x 有连续导数，()()00,00f f '=≠，求()()2002limx xx f t dtxf t dt→⎰⎰解：()()()2222000022()4()4()lim=limlim lim 1()3()()2()3()x xxx x x x f t dtf x xf x f x f x f x xf x xf t dtf t dt xf x f x x→→→→''==='++'+⎰⎰⎰四（6分）已知函数()y y x =由参数方程(1)010y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩确定，求202t d ydx =解：21x t '=-，2x ''=，得(0)1x '=-，(0)2x ''=，易知01t y ==-时,(1)0y y e te y '++=，得1(0)y e'=-，22()(1)0yy y e y te y te y ''''+++=，得22(0)y e''=20023222=t t d y x y y x edx x e==''''''--=' 五（6分）设()(),f x g x 在[],a b 上可微，且()0g x '≠，证明存在一点()c a c b <<，使得()()()()()()f a f c f cg c g b g c '-='-。

江苏省第九届（2008年）高等数学竞赛本科三级竞赛试题一、 填空题（每小题5分，共40分）1、若2arctan 2lim x ax x x bx x π→∞+=--，则=a ________________；=b ________________.2、()=+∑=∞→n k n k k 131lim ________________. 3、()()()()10021---=x x x x x f ，则()=100'f ________________.4、常数=a ______,=b ______时，()bxx x ax x f +++=12在0→x 时，关于x 的无穷小的阶数最高.5、=⋅⎰2032cos sin πxdx x ________________. 6、()⎰∞=+12221dx x x ________________.7、设y x x z -=，则()=∂∂1,2n n yz ________________. 8、 设D ：由0,==x x y ，1=y 所围，则⎰⎰=Dydxdy arctan ________________.二、（8分）设数列{}n x 为：n n x x x +==+6,111 ；求证：数列{}n x 收敛，并求极限。

三、（8分）设()x f 在区间[]b a ,上连续，()⎰=ba dx x f 0. 证明：存在()b a ,∈ξ,使得()()ξξξf dx x f a =⎰。

四、（8分）将xoy 平面上的曲线()()b a a y b x <<=+-0,222绕直线b x 3= 旋转一周所得立体的体积。

五、（8分）设()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+++=0,0,00,0,,24222y x y x y x y x y x y x f 讨论()y x f ,在()0,0处的连续性，可偏导性，可微性。

六、（10分）已知曲面144222=-+z y x 与平面0=--y x z 的交线在xoy 面上的投影曲线为一椭圆，求该椭圆的面积.七、（8分）在平面∏：202=-+z y x 内作直线Γ，使Γ过另一直线L ：⎩⎨⎧=-+=+-343122z y x z y x 与平面∏的交点，且Γ垂直于L .求直线Γ的参数方程.八、（10分）设D 为,222x y x ≤+x y ≤≤0，求⎰⎰-+D dxdy y x 122。

2010年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题4分，共32分）1.()()30sin sin lim sin x x x x →-=2.设函数,f ϕ可导，()()arctan tan y f x x ϕ=+，则y '=3. 2cos y x =，则()n y =4.21x x dx x e+=⎰5. 4211dx x +∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩的面积为 7.设2,,x f x y f y ⎛⎫- ⎪⎝⎭可微，()()123,22,3,23f f ''==，则()(),2,1x y dz == 8.级数()()1111!2!nn n n n ∞=+--∑的和为 二．（10分）设()f x 在[]0,c 上二阶可导，证明：存在()0,c ξ∈， 使得()()()()()300212cc c f x dx f f c f ξ''=+-⎰ 三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1D x y +≤六．（12分）应用高斯公式计算()222ax by cz dS ∑++⎰⎰，（,,a b c 为常数）其中222:2x y y z ∑++=.七.（12分）已知数列{}n a ，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n = 记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性. 2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )lim sin x x x x→-=2.1y x=+/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=⎰ 5.4211dx x +∞=-⎰ 6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)x z f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz ==8.级数11(1)!2!n n n n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()b ba ab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0a f x dx ξ=⎰. 三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

江苏省第七届（2004年）高等数学竞赛本科三级、民办本科竞赛试题一、 填空题（每小题5分，共40分）4．=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→22224116141lim n n n n n ________________. 2. 21arctan lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→________________. 3. 若0→x 时，x x x x 2cos cos sin -与k cx 为等价无穷小，则=c ________________.4. ()()x x x f -=1ln 4，则4>n 时，()()=0n f ________________.5. 设函数yxz arctan =，则()=-1,1dz ________________. 6. ()=-+⎰dx x x x x x x 2sin cos cos sin ________________ . 7. ()()[]=+-⎰-aa xdx x f x f sin ________________.8. 设D ：+∞<<∞-x ，+∞<<∞-y ，()⎩⎨⎧≤≤=其他010x x x f 则()()⎰⎰=+Ddxdy y x f y f ________________.二、（10分）设()x f 在[]b a ,连续，在()b a ,可导；()()()2221,a b dx x f a a f b a -==⎰，求证：在()b a ,内至少存在一点u ，使得()()1'+-=u u f u f 。

三、（10分）设.4,2,,4:22≤+≥+≥≤-y x y x x y x y D 在D 的边界x y =上任意取点P ，设P 到原点的距离为t ，作PQ 垂直于x y =交D 的边界422=-x y 于Q 。

求：1）将Q P ,的距离PQ 用t 表示；2）将D 绕x y =旋转一周所得立体的体积。

2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科）一.填空（每题5分，共40分） 1.22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ 2. ()23001lim 1x t x e dt x -→-=⎰3. )lim 0x ax b →+∞+=，则,a b = 4.()()()2sin 1,0x f x x x e f ''=++=5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则(),0e dz =6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，()1,0f -为其极大值.7.交换二次积分的次序()211,x e e x dx f x y dy -=⎰⎰ .8.设22:2,02D x x y y x ≤+≤≤≤，则D= 二.（8分）设()()2sin 0ln 10ax b x c x f x x x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩，试问,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在.三.（9分）过点()1,5作曲线3:y x Γ=的切线L ，（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围成平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的函数，()00f =，()()1f x f x '-≤， 求证：()[)1.0,x f x e x ≤-∈+∞五（8分）求()120arctan 1xdx x +⎰六（9分）本科三级做：设()()()()()()2222tan ,0,0,0,0,0x y x y x y x yf x y x y -⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩，证明(),f x y 在点()0,0处可微，并求()()0,0,df x y民办本科做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积.七（9分）本科一级考生做：用拉格朗日乘数法求函数()22,2f x y x y =++在区域2224x y +≤上的最大值与最小值.八（9分）设D 为,,02y x x y π===所围成的平面图形，求()cos D x y dxdy +⎰⎰。

江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.1y x =+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21xx e dx x-=⎰ 5.4211dx x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上持续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -边长为2，E 为11D C 中点，F 为侧面正方形11BCC B 中点，（1）试求过点1,,A E F 平面与底面ABCD 所成二面角值。

（2）试求过点1,,A E F 平面截正方体所得到截面面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增长，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n =记1n nx a =，鉴别级数1n n x ∞=∑敛散性.江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =拟定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x-=⎰6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=拟定(),z z x y =，则z zx y∂∂+=∂∂8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D=二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上持续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四.（12分）求广义积分4211dx x +∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体体积最大。