2024年湖北省八市高三（3月）联考数学试卷命题单位：随州市教学研究室2024.3本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}{}1,2,2,3,1,2,3,4A B C ===，则（）A ．AB =∅B ．A B C= C ．A C C = D ．A C B= 2．若()()2,3,1,2a b =-=-，则()2a a b ⋅+= （）A ．5-B ．3-C ．3D ．53．设复数1i +是关于x 的方程()220,ax ax b a b R -+=∈的一个根，则（）A ．20a b +=B ．20a b -=C ．20a b +=D ．20a b -=4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,P M N 分别为11,,AB BB DD 的中点，则与平面MNP 垂直的直线可以是（）A ．1AB B ．1A DC ．1ACD ．1AC5．已知今天是星期三，则761-天后是（）A ．星期一B ．星期二C ．星期三D ．星期五6．已知函数()f x 为偶函数，其图像在点()()1,1f 处的切线方程为210x y -+=，记()f x 的导函数为()f x '，则()1f '-=（）A ．12-B ．12C ．2-D ．27．设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为（）A ．35B ．45C ．55D ．2558．设直线:10l x y +-=，一束光线从原点O 出发沿射线()0y kx x =≥向直线l 射出，经l 反射后与x 轴交于点M ，再次经x 轴反射后与y 轴交于点N ．若136MN = ，则k 的值为（）A ．32B ．23C ．12D ．2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和600名男生中通过分层抽样的方式随机抽取100名学生进行问卷调查，将调查的结果得到如下等高堆积条形图和列联表，则（）性别数学兴趣合计感兴趣不感兴趣女生a b a b +男生cd c d+合计a c+b d+100参考数据：本题中()()()()22() 3.94n ad bc a b c d a c b d χ-=≈++++α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828A ．表中12,30a c ==B ．可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生多C ．根据小概率值0.05α=的2χ独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异D ．根据小概率值0.01α=的2χ独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异10．某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数1y x=的图象是双曲线，设其焦点为,M N ，若P 为其图象上任意一点，则（）A ．y x =-是它的一条对称轴B ．它的离心率为C ．点()2,2是它的一个焦点D ．PM PN -=11．已知函数()32f x ax bx cx d =+++存在两个极值点()1212,x x x x <，且()11f x x =-，()22f x x =．设()f x 的零点个数为m ，方程()()23()20a f x bf x c ++=的实根个数为n ，则（）A ．当0a >时，3n =B ．当0a <时，2m n+=C ．mn 一定能被3整除D ．m n +的取值集合为{}4,5,6,7三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若tan 34πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan θ=______．13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2630S S >>，则公比q 的取值范围为______．14．记[,][,]max{()},min{()}x a b x a b f x f x ∈∈分别表示函数()f x 在[],a b 上的最大值和最小值．则{}[3,3][0,9]min max{|m n m n ∈-∈+-=______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC △中，已知4AB AC C π===．（1）求B 的大小；（2）若BC AC >，求函数()()()sin 2sin 2f x x B x A C =--++在[],ππ-上的单调递增区间．16．（15分）如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔1s 向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为(01)p p <<．（1）当12p =时，求5s 后质点移动到点0的位置的概率；（2）记3s 后质点的位置对应的数为X ，若随机变量X 的期望()0E X >，求p 的取值范围．17．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA PB ==，点M 在PD上，点N 为BC 的中点，且PB ∥平面MAC ．（1）证明：CM ∥平面PAN ；（2）若3PC =，求平面PAN 与平面MAC 夹角的余弦值．18．（17分）已知双曲线2212:1y C x b -=经过椭圆2222:1x C y a+=的左、右焦点12,F F ，设12,C C 的离心率分别为12,e e ，且1262e e =．（1）求12,C C 的方程；（2）设P 为1C 上一点，且在第一象限内，若直线1PF 与2C 交于,A B 两点，直线2PF 与2C 交于,C D 两点，设,AB CD 的中点分别为,M N ，记直线MN 的斜率为k ，当k 取最小值时，求点P 的坐标．19．（17分）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当()f x 在0x =处的()*n n N∈阶导数都存在时，()()()()()()()()323000002!3!!n n f f f f x f f x x x x n =++++++''' ．注：()f x ''表示()f x 的2阶导数，即为()f x '的导数，()()()3n f x n ≥表示()f x 的n 阶导数，该公式也称麦克劳林公式．（1）根据该公式估算1sin2的值，精确到小数点后两位；（2）由该公式可得：246cos 12!4!6!x x x x =-+-+ ．当0x ≥时，试比较cos x 与212x -的大小，并给出证明；（3）设*n N ∈，证明：111142()tannk n n n k n k=>-+++∑．2024年湖北省八市高三（3月）联考数学参考答案与评分细则一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．C2．B3．D4．D5．A 6．A 7．C8．B第1题提示：{}1,2,3,4A C C == ．第2题提示：()()()22,30,13a a b ⋅+=-⋅=-．第3题提示：将1i +代入方程得：()2(1i)21i 0a a b +-++=，得20a b -+=，即20a b -=．第4题提示：易得平面MNP ∥平面11111,AB D A AB D -为正三棱锥，得1AC ⊥平面11AB D ，故1AC ⊥平面MNP ，若其他选项也符合，则平行于1AC ，不成立．第5题提示：77071612526167077777761(71)177(1)7(1)7(1)7(1)1C C C C C -=--=+⨯-+⨯-++⨯-+⨯-- 07161252616777777(1)7(1)7(1)2C C C C =+⨯-+⨯-++⨯-- ．第6题提示：偶函数的导数为奇函数，可以根据对等式()()f x f x =-两边求导，或通过图象验证．第7题提示：设2A B C π<<=，由cos 0C =可得12cos cos 2sin tan 2B A A A ==⇒=．第8题提示：易知点O 关于直线l 的对称点为()1,1A ，求直线AP 的方程：APB OPB △≌△POB ∠与AMB ∠互余故1AP k k=，()1:11AP l y x k-=-易得()11,0,1,0M k N k ⎛⎫--⎪⎝⎭（或只求11,0N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭'）由136MN = 得22113(1)136k k ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即有21113236k k k k ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1136k k +=，得23k =或32k =，若32k =，则第二次反射后光线不会与y 轴相交，故不符合条件．其他方法：先求点P 坐标，再求直线AP 的方程；或者设点M 和N '的坐标，通过A ，,M N '三点共线构造方程求解．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．ACD10．ABD11．AB说明：多选题有错选得0分，第9、10题选对1个答案给2分，选对2个答案给4分，选对3个答案给6分；第11题选对1个答案给3分，选对两个答案给6分．第9题提示：女生不感兴趣的人数约为280，男生不感兴趣的人数约为300，故B 不对，3.841 3.94 6.635<<，故C ，D 正确．第10题提示：反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为2a c ==，其中一个焦点坐标应为．第11题提示：由()()23()20a f x bf x c ++=得()1f x x =或()2f x x =，依题意可得以下6种情况：当0a >时当0a <时m n +的取值集合为{}4,5,6,8．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．1213．()()1,00,1- 14．2第12题提示：用两角和的正切公式展开，或用整体法两角差的正切公式．第13题提示：用求和公式后再用立方差公式分解因式或直接用()24621S S q q=++．第14题提示：22(1)1m n n n m +-=-+-，先设n 为变量，可通过分类讨论求出{}2[0,9][0,9]3,1max{|max (1)11,1n n m m m n n n m m m ∈∈+-⎧+-=+-=⎨-+<-⎩，再求出当[]3,3m ∈-时的最小值，即为2．或者由22(1)1m n n n m +-=-+-在[]0,9n ∈时的最大值只可能在当0n =或1n =或9n =处取得，结合图象可得原式的最小值为2．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）在ABC △中，由正弦定理可得：sin sin AB AC C B =23sin 22B =解得3sin 2B =，又0B π<<，故3B π=或23B π=．（2）由BC AC >，可得A B >，故2,33B AC ππ=+=()2sin 2sin 2sin 2sin 22sin 233333f x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈解得51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，由于[],x ππ∈-，取1k =-，得712x ππ-≤≤-；取0k =，得51212x ππ-≤≤；取1k =，得1112x ππ≤≤，故()f x 在[],ππ-上的单调递增区间为7511,,,,,12121212ππππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．说明：第（1）问中两种情况少一种扣1分，第（2）问中三个区间少一个扣1分．16．解：（1）5s 后质点移动到点0的位置，则质点向左移动了3次，向右移动了2次，所求概率为：522325515(1)216C p p C ⎛⎫⨯⨯-=⨯= ⎪⎝⎭．（2）X 所有可能的取值为2,0,2,4-，且()03332(1)(1)P X C p p =-=-=-，()12230(1)3(1)P X C p p p p ==-=-，()()()22232131P X C p p p p ==-=-，()33334P X C p p ===，由()()3232(1)23140E X p p p p =--+⨯-+>，解得13p >，又因为01p <<，故p 的取值范围为113p <<．17．解：（1）连接BD 交AC 与点O ，连接OM ，易知平面PBD 与平面MAC 的交线为OM ，PB ∥平面,MAC PB OM ∴∥，又O 为BD 的中点，M ∴为PD 的中点．取PA 的中点E ，连接,EM EN ，11,22EM AD CN AD ∥∥，,EM EMCN ∴∴∥为平行四边形，CM EN ∴∥，又CM ⊄ 平面,PAN EN ⊂平面,PAN CM ∴∥平面PAN ．（2）取AB 的中点S，连结,,PS CS PA PB ==PS AB ∴⊥，且2PS ==，又SC == 3PC =，222,PC PS SC PS SC ∴=+∴⊥，又,AB SC 是平面ABCD 内两条相交的直线，PS ∴⊥平面ABCD ．以S 为坐标原点，SB的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系S xyz -，易知()()()()()1,0,0,1,0,0,1,2,0,1,2,0,0,0,2A B C D P --，由M 为PD 的中点，N 为BC 的中点，可得()1,1,1,1,1,02M N ⎛⎫-⎪⎝⎭，()()131,0,2,1,1,2,,1,1,,1,122AP PN AM MC ⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()111,,m x y z =是平面PAN 的法向量，则00m AP m PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111112020x z x y z +=⎧⎨+-=⎩，可取()2,4,1m =-- ；设()222,,n x y z =是平面MAC 的法向量，则00n AM n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即222222302102x y z x y z ⎧+-=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，可取()2,2,1n =- ；设平面PAN 与平面MAC 的夹角为θ，则cos 63m n m n θ⋅=== ，即平面PAN 与平面MAC的夹角的余弦值为63．说明：第（1）问取AD 的中点，通过面面平行来证明线面平行也可以根据步骤给分．18．解：（1）依题意可得211a -=，得22a =，由1262e e =，得222212211312b a e e a +-=⋅=，解得22b =，故1C 的方程为2221,2y x C -=的方程为2212x y +=．（2）易知()()121,0,1,0F F -，设()00,P x y ，直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，则200012122000,,111y y y k k k k x x x ===+--，()00,P x y 在221:12y C x -=，即有220012y x -=，可得20122021y k k x ==-为定值．设直线1PF 的方程为：()11y k x =+，联立2212x y +=可得()()2222111214210,Δ0k x k x k +++-=>恒成立，设()()1122,,,A x y B x y ，则有211221421k x x k -+=+，可求得21122112,2121k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，设直线2PF 的方程为：()()()233441,,,,y k x C x y D x y =-，同理可得22222222,2121k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则()()()()122222122112222222121221221221212121222212212121k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=-=-++++++()()()()()()1212121222222221212121212212182822k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++=-=-⎡⎤++++-⎣⎦由122k k =可得：()()122125242k k k k k +=-++，点P 在第一象限内，故210k k >>，()121255324242k k k k k =-≥=-+++当且仅当()1212242k k k k=++，即12k k +=时取等号，而12k k +>=，故等号可以取到．即当k 取最小值时，12k k +=122k k=，可解得121,1k k =-=+，故1PF 的方程为：)()211,y x PF =-+的方程为：)()11y x =+-，联立可解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩)P ．说明：第（2）问中未说明能取到最小值扣1分，另外可以分别设直线方程11x t y =-和21x t y =+求解，此时：121222*********,,,,22222t t M N t t t t t t ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()()()()()12121222212122528412t t t t t t k t t t t +++=-=-++++也可以直接通过()00,P x y 的横纵坐标代换来求解，此时：()()()()()()2200000022222222000000001122,,,12121212y x y x y y M N x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-+-+⎝⎭⎝⎭()2222000000000022222200000000214114522422242243x x y x y x y x x y k y x y y x y x y -++=-⋅=-⋅=-⋅+++++都可以根据相应步骤给分．19．解：（1）由该公式可得357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+ ，故111sin 0.482248=-+≈ （2）结论：2cos 12x x ≥-，证明如下：令()2cos 1,02x g x x x =-+≥，令()()()sin ,cos 10h x g x x x h x x '==-+=-+≥'，故()h x 在[)0,+∞上单调递增，()()00h x h ≥=，故()g x 在[)0,+∞上单调递增，()()00g x g ≥=，即证得2cos 102x x -+≥，即2cos 12x x ≥-．（3）由（2）可得当0x ≥时，2cos 12x x ≥-，且由()0h x ≥得sin x x ≤，当且仅当0x =时取等号，故当0x >时，2cos 1,sin 2x x x x >-<，()()()211cos cos111cos 11112()tan sin n k n k n k n k n k n k n k n k n k n k ++=>=>-+++++⋅+++，而()()22212222()(22)(22)1221221n k n k n k n k n k =<=+++-+-++11221221n k n k =-+-++，即有()11111221221tan n k n k n k n k ⎛⎫>-- ⎪+-++⎝⎭++故111111111212323254141()tan n k n n n n n n n n k n k=⎛⎫>--+-++- ⎪++++-+⎝⎭++∑ 112141n n n =-+++而11111021********n n n n n n n ⎛⎫-+--=-> ⎪+++++⎝⎭，即证得111142()tan nk n n n k n k=>-+++∑。
