月考试题答案

部编版八年级语文下册月考试题及答案解析一、基础知识与运用（20分）1．书法之美，美在其形，美在其意。

请你赏读下面的书法作品，按要求答题。

（共3分）（1）关于这幅书法作品中的字体，下列选项正确的是（）（1分）A.篆书B.隶书C.楷书D.行书（2）请用简体楷书将这幅作品工整、规范、美观地书写在米字格内。

（2分）2．阅读下面文段，按要求答题。

（8分）立春过后，大地渐渐从沉睡中_____（1）（A清醒；B苏醒；C醒悟；D 复苏）过来。

冰雪融化，草木萌（）发，各种花_____（2）（A次第；B 连续；C陆续；D全部）开放。

再过两个月，燕子翩（）然归来。

不久，布谷鸟也来了。

于是转入炎热的夏季，这是植物孕育果实的时期。

到了秋天，果实成熟，植物的叶子渐渐变黄，在秋风中 sùsù( ) 地落下来。

北雁南飞，活跃在田间草际的昆虫也都销声nì( ) 迹。

到处呈现一片衰草连天的景象，准备迎接风雪载途的寒冬。

在地球上温带和亚热带区域里，年年如是，周而复始。

几千年来，劳动人民注意了草木荣枯、候鸟去来等自然现象同气候的关系，据以安排农事。

杏花开了，就好像大自然在传语要赶快耕地；桃花开了，又好像在暗示要赶快种谷子。

布谷鸟开始唱歌，劳动人民懂得它在唱什么：“阿公阿婆，割麦插禾。

”这样看来，花香鸟语，草长莺飞，都是大自然的语言。

（1）给语段中加点的字注音，或根据拼音写汉字。

（4 分）萌（）发翩（）然sù sù( ) 地落销声nì( ) 迹（2）结合语境选择恰当的词语，将字母序号填在相应的位置上。

（2 分）（3）语段中画线句运用了_____ 的说明方法，作用是。

（2 分）3．仿照以下的画线句，再补写一个句子，使之与前两句构成一组排比句。

（2 分亲情是杯清洌的酒，因为岁月的历练而醇香；亲情又像一杯温润的茶，因为心香的呵护而沁人心4.名著阅读（2分）（1）《傅雷家书》被称为“苦心孤诣教子篇”，傅雷教育儿子（姓名）胜不骄、败不馁，要有国家和民族的荣誉荣辱感。

2024-2025学年山东省德州乐陵市高二下学期5月月考化学检测试题一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。每小题只有一个选项符合题意）可能用到的相对分子质量：H 1 C 12 O 16 N 14 S 161．中国传统文化中蕴藏丰富的化学知识，下列化学视角解读正确的是（ ）博大精深的中华传统文化化学视角解读A宋·杨万里“客心未便无安顿，试数油窗雨点痕”“油”为油脂，是能水解的高分子

化合物B明·徐祯卿“草桑作蚕丝，罗琦任依着”区分蚕丝和棉纤维可用灼烧的方

法C宋·苏轼“蜜蜂采花作黄蜡，取蜡为花亦其物”蜂蜜中含果糖、葡萄糖、蔗糖和

麦芽糖，它们都可以水解D宋·苏轼的《格物粗谈》有这样的记载：“红林

搞下未熟，每篮用木瓜三枚放入，得气即发，并无涩味”文中“气”能与溴的四氯化碳溶液发生取代反应

A．AB．BC．CD．D2．下列有关化学用语的使用，正确的是（ ）

A．乙炔的结构简式：CHCHB．对氯甲苯的结构简式：

C．的系统命名：二氯乙烷D．的名称：3-甲基-1-丁烯22

CHClCHCl

3．下列说法不正确的是（ ）A．淀粉水解液加过量氢氧化钠溶液后，加新制氢氧化铜悬浊液可检验淀粉是否水解完全B．用重铬酸钾的酸性溶液不能鉴别乙醇、乙醛C．饱和溶液或硫酸铜溶液均可使蛋白质溶液产生沉淀，但原理不同442

NHSO

D．用足量的NaOH溶液分别与矿物油和地沟油混合加热，可鉴别出地沟油4．用下列装置（部分夹持仪器已略去）进行相关实验，装置正确且能达到实验目的的是（ ）A．图1装置配制银氨溶液B．图2装置分离苯萃取碘水后已分层的水层与有机层C．图3装置进行石油的分馏D．图4装置检验溴乙烷的消去反应产物中含有乙烯5．下列反应只有一种有机产物的是（ ）A．2-氯丁烷与NaOH乙醇溶液共热发生消去反应的产物

B．与等物质的量的发生加成反应2

Br

C．甲苯在一定条件下发生硝化反应生成一硝基甲苯的反应D．邻羟基苯甲酸与溶液反应3

NaHCO

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣D. {12}x x <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1ab ==−，则向量a b +在向量b上投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人 B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值； （2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑ （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n ∗∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．..参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii ii i n n i i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====−−−==−−−∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣ D. {12}x x <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集． 【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =−≤≤=−<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ∩=<<∣， 故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =−+，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意()1i 3i z +=−+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z −+−−+−+====−+++−，所以z =. 故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上的投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=−+⋅==所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b bb +⋅==− .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a == 故公差76162,53d a a a a d =−=∴=−=−，()767732212S ×∴=×−+×=， 故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22µσ=×==，()()(),0.750.547p k P k X k p µσµσ=−≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤ ()0.750.547p ≈，()()900.510.5470.2265P X ≥×−，∴该校及格人数为0.22651200272×≈（人），故选：B ． 6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⋅+⋅=⋅ =⋅ ， 解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⋅=⋅=，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅−⋅=−，π,0,2αβ∈，()0,παβ∴+∈， 2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay −=交于,A B 两点， 则2F 到渐近线0bx ay −=的距离d b，所以AB =， 因为123AB F F >，所以32c ×>，可得2222299a b c a b −>=+， 即22224555a b c a >=−，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是 .故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可． 【详解】令()u f x =，则()0f u =．�当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；�当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x==，可得2x =， 因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞−]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥； 若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞， 故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ， 由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =， 所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=°， 90EMG ∴∠=°，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．���BD ．10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x+求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f =+×=≠，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得： 3π3π5ππ228842y f x x x x=−−++，为奇函数，故B 正确； 对于C ，当5π7π,88x∈时，则5π5π2,3π42x +∈ ，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88 上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x+ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ， ()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242， 而第7个交点的横坐标为13π4， 5π13π24m ∴<≤，故D 正确. 故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++−=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =−=∑，可得D 错误. 【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x −=−=−，且()()()00,21g f x g x =++−=， 即()()21f x g x +−=①， 用x −替换()()21f x g x ++−=中的x ，得()()21f x g x −+=②， 由①+②得()()222f x f x ++−=， 所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++−=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++−=+=−−=−， 所以()()()()82422f x f x f x f x +=−+=−−= ， 所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确； 由①知()()21g x f x =+−，则()()()()882121g x f x f x g x +=++−=+−=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数， 所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++−=，所以()()42f x f x ++=， 令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…， 令8090x =，则有()()809080942f f +=， 所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =−=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______． 【答案】180− 【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅−，化简即可得到结果． 【详解】在6(31)x y +−的展开式中， 由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅−=−，得2x y 的系数为180−. 故答案为：180−．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,−∪+∞ 【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ′′−=，因此可得()()2f x f x ′>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论. 【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−，两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x ′−>，所以()()2f x f x ′>. 构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22x f x f x h x ′−′=e ， 所以当0x >时，()()0,h x h x ′>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞−−上小于零，在()1,0−上大于零， 综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,−∪+∞. 故答案为：()()1,01,−∪+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λµ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ ，其中π,0,3BOC θθ ∠=∈ ， 由(),R OC OA OB λµλµ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλµ =+，整理得1cos sin 2λµθθ+=，解得cos λµθ=，则ππcos cos ,0,33λµθθθθθ+=++=+∈，ππ2ππ,,sin 3333θθ+∈+∈所以λµ +∈ . 方法二：设k λµ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λµ=+=； 当点C 运动到AB的中点时，k λµ=+，所以λµ +∈故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD = 【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解． 【小问1详解】 由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=， 因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠， 因此1cos 2C =−，所以2π3C =． 【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB=所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==， 因此sin 3sin BADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =， 又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+−，即222293a a a =++， 解得4a =，所以12b =．又ABCACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅， 即4816CD =，所以3CD =． 16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 【答案】（1）1a = （2）(]()10,−∞−+∞ , 【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围． 【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα−−==′+⋅+，由1111ln 10e e e a f a −=+=′，得1a =， 当1a =时，()ln 1f x x =′+，函数()f x 在10,e上单调递减，在1,e∞ +上单调递增， 所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点， 所以1a =． 【小问2详解】由（1）知min 11()e ef x f ==−． 函数()g x 的导函数()()1e xg x k x −=−′ �若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=−，使得()()12111e 1e k g x g f x k=−=−<−<−≤，即()()120f x g x −≥，符合题意． �若()0,0kg x =，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x −<，不符合题意．�若0k <，当1x <时，()()0,g x g x ′<在(),1∞−上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x ′>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ekg x g ==， 若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，只需min min ()()g x f x ≤， 即1e ek ≤−，解得1k ≤−． 综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞−−∪+．17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析 （2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点 【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证； （2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ， 所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ， 所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ∩=⊂平面PEC ， 所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥． 【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E −，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<， 所以()(),,11,2,1x y z λ−=−，所以,2,1x y z λλλ===−，即(),2,1F λλλ−．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==−=−，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⋅=⋅=，，即2020a b a b c += +−= ，，取()1,2,3m =−− ， 设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅===整理得2620λλ−=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点. 【小问1详解】 由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b = 所以112242p b ==×=，所以抛物线1C 的方程是2y x =. 设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥−=−=≥， 所以当232ι=时，线段PQ . 【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则： 直线()222:b a MN y a x a b a −−=−−，即()21y a x a a b −=−+，即()0x a b y ab −++=. 直线()21:111a DM y x a −−=−−，即()10x a y a −++=. 由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r −+−+−=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r −+−+−=. 所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解， 22224224,11r r a b ab r r −−∴+==−− 代入方程()0x a b y ab −++=得()()222440x y r x y +++−−−=， 220,440,x y x y ++= ∴ ++= 解得0,1.x y = =− ∴直线MN 恒过定点()0,1−.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x −=−,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 259 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑. （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n ∗∈. ①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====−−−==−−−∑∑∑∑. 【答案】（1）673220710001200y t + （2）433774n n P =+⋅−（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程； （2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【小问1详解】 解：剔除第10天的数据，可得2.2100.4 2.49y ×−==新， 12345678959t ++++++++=新， 则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t = =−×==−= ∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t == − −×× ==−× − ∑∑新新新新新， 可得6732207ˆ 2.4560001200a =−×=，所以6732207ˆ60001200y t +. 【小问2详解】 解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12111313,444416P P ==×+=， 所以11233,(3)44n n n n P P P P n −−−+=+≥，又由2131331141644P P ++×， 所以134n n P P − +是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n −+=≥ 所以1434(),(2)747n n P P n −−=−−≥，又因为1414974728P −=−=−， 所以数列47n P − 是首项为928−，公比为34−的等比数列， 故1493()7284n n P −−=−−，所以1934433()()2847774n n n P −=−−+=+−. 【小问3详解】 解：①当n 为偶数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=+⋅>单调递减， 最大值为21316P =； 当n 为奇数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=−⋅<单调递增，最小值为114P =， 综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14. ②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数， 当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε−=⋅−=⋅<⋅=， 所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。

2022届上海市复旦大学附属中学高三下学期3月月考数学试题一、填空题1．向量在向量方向上的投影为___________.()3,4a =()1,0b =- 【答案】3-【分析】由向量投影公式直接求解即可得到结果.【详解】向量在方向上的投影为.a b 331a b b⋅-==-故答案为：.3-2．设集合，，则_____．2230{|}A x x x =--≤{|ln(1)}B x y x ==-A B = 【答案】(1,3]【分析】利用一元二次不等式的解法与对数函数的定义域化简结合A,B ，再由交集的定义可得结果【详解】集合，2{|230}{|13}A x x x x x =--≤=-≤≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x ==-=>所以．(1,3]A B = 故答案为：.(1,3]3．设数列前项的和为，若，且，则______.{}n a n n S 14a=()*13n n a S n N+=∈nS=【答案】4n【分析】根据前项的和与通项的关系,即可求出.n n S n a n S 【详解】，1113,3,4n n n n n n n a S S S S S S +++=∴-==,11140,0,4n n nS S a S S +==≠∴≠∴= 是以4为首项,公比为4的等比数列, .{}n S ∴4n n S ∴=故答案为:4n【点睛】本题考查数列递推关系求前项的和,要灵活应用与的关系,属于基础题.n n S n S n a 4．已知的二项展开式中的第9项是7920，则实数为__．120,(1)a a >+a【分析】根据二项式定理确定开式中的第9项是，再由，即可求得实数的894957920T a ==0a >a 值.【详解】解：展开式中的第9项是，解得，所以12(1)a +888912C 4957920T a a ===a =0a >a =.5．2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有______种.【答案】1518【分析】解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从23所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解【详解】解：由题意知本题是一个分步计数问题，解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从23所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，共有，12232231518C C A =故答案为1518．【点睛】本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成题目分成三步，看清每一步所包含的结果数，本题是一个基础题．6．若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围R ()f x (,0)-∞(2)0f =(1)0xf x ->x 是_____．【答案】(1,0)(1,3)- 【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可．【详解】解：因为定义在的奇函数在单调递减，且，R ()f x (,0)-∞(2)0f =所以在上单调递减，且，如下图为的大致图象：()f x (0,)+∞()(2)20f f -=-=()f x所以当或时，；当或时，，20x -<<2x >()0f x <<2x -02x <<()0f x >由得或，解得或，(1)0xf x ->0210x x <⎧⎨-<-<⎩0012x x >⎧⎨<-<⎩10x -<<13x <<所以的取值范围是．x (1,0)(1,3)- 故答案为：.(1,0)(1,3)- 7．设函数，其中.若函数在上恰有2个零点，则的取值范()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>()f x []0,2πω围是________．【答案】54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】当时,,当时,,,,则,进而()0f x =()3k x k Z ππωω=-+∈0x >123x πω=253x πω=383x πω=523823ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩求解即可【详解】由题,取零点时, ,即,则当()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3x k πωπ+=()k Z ∈()3k x k Z ππωω=-+∈时,,,,所以满足,解得0x >123x πω=253x πω=383x πω=523823ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩54,63ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故答案为：54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查已知零点求参数问题,考查运算能力8．设二元一次不等式组所表示的平面区域为，若函数（，且）2190802140x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩M xy a =0a >1a ≠的图像经过区域，则实数的取值范围为______.M a【答案】[]2,9【分析】作出平面区域,利用函数（，且）的图像特征,即可解决问题.M xy a =0a >1a ≠【详解】作出二元一次不等式组所表示的平面区域,M 如下图所示:求得,由图可知,(2,10),(1,9),(3,8)A B C 要满足条件必有,且图现在过两1a >,B C 点的图像之间,当图像过点时, ，B 19,9a a =∴=当图像过点时, ，C 38,2a a =∴=的取值范围是.a ∴[]2,9故答案为:[]2,9【点睛】本题考查了用平面区域表示二元一次不等式组、指数函数的图像与性质,以及简单的转化思想和数形结合思想,属于中档题.9．已知函数，，，总[]()2(),2,2f x x x =∈-2()sin(2)3,0,62g x a x a x ππ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦[]12,2x ∀∈-，使得成立，则实数的取值范围是____________.00,2x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦()()01g x f x =a 【答案】(][),46,-∞-+∞ 【分析】先求出函数与的值域，然后再由，，使得()f x ()g x []12,2x ∀∈-00,2x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦成立，可知函数的值域是的值域的子集，即，进()()01g x f x =()f x ()g x 221[0,4][3,3]2a a a a ⊆-++而建立不等关系求的取值范围即可.a 【详解】∵，∴[2,2]x ∈-2()[0,4]f x x =∈∵，∴，∴0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦72666x πππ≤+≤1sin(2126x π-≤+≤∴221()[3,3]2g x a a a a ∈-++要使，总，使得成立，[]12,2x ∀∈-00,2x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦()()01g x f x =则需满足：221[0,4][3,3]2a a a a ⊆-++∴ ，解得或22130234a a a a ⎧-+≤⎪⎨⎪+≥⎩4a ≤-6a ≥∴的取值范围是.a (,4][6,)-∞-⋃+∞【点睛】本题是一道综合性较强的题目，主要考察二次函数、三角函数在给定区间内的值域与建立不等关系求未知数的范围．在求函数的值域时注意利用数形结合方法进行分析．10．如图，双曲线的左右焦点分别为，直线过与双曲线的两渐近线分22221(0,0)x y a b a b -=>>12,F F l 1F 别交于．若是的中点，且，则此双曲线的渐近线方程为______．,PQ P 1FQ 120F Q F Q ⋅=【答案】y =【分析】根据题意可得，，从而可得，进而可求渐近线的斜率2//OP F Q 1OP FQ ⊥12POF QOF ∠=∠与方程.【详解】因为是的中点，是的中点，所以，P 1FQ O 12F F 2//OP F Q因为，所以，120F Q F Q ⋅= 12,OP F Q OQ OF ⊥=因为两条渐近线关于轴对称，所以，y 12POF QOF ∠=∠又，所以，渐近线的斜率为1POF POQ ∠=∠260QOF ∠=︒故渐近线方程为．y =故答案为:.y =11．已知是边长为的正三角形，平面上两动点、满足（ABC 2O P 123OP OA OB OC λλλ=++且、、）．若，则的最大值为__________．1231λλλ++=1λ2λ30λ≥1OP = OA OB ⋅【答案】3+【分析】分析出点、的位置，作出点所在的平面区域，取的中点，可得出O P O AB D ，求出的最大值，即可得解.21OA OB OD ⋅=- OD【详解】，()12312121OP OA OB OC OA OB OCλλλλλλλ=++=++-- ，即，()()12OP OC OA OC OB OCλλ∴-=-+- 12CP CA CB λλ=+ 因为且、、，则、，所以，，1231λλλ++=1λ2λ30λ≥1λ20λ≥1201λλ≤+≤所以，点在的边界及其内部，P ABC 因为，则点在如下图所示的封闭区域内，该区域由、、三条线段以及三段分1OP = O MH NR ST 别以、、为圆心，半径为且圆心角为的圆弧围成的区域，A B C 123π其中四边形、、均为矩形，且，ABMH BCRN ACST 1AH AT BM BN CR CS ======取的中点，则，，，AB D DA DB =- OA OD DA =+OB OD DB OD DA =+=- 所以，，()()2221OA OB OD DA OD DA OD DA OD ⋅=+⋅-=-=- 连接并延长交于点，此时，DCRS O max 1OD=+因此，.)221113OA OB OD ⋅=-≤+-=+故答案为：3+【点睛】思路点睛：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．12．定义表示实数、中的较大的数，已知数列满足，，{}max ,a b a b {}n a ()10a a a =>21a =，若，记数列的前项和为，则的值为_____．{}()122max ,2n n na a a n ++=∈*Ν20224a a={}n a n n S 2022S【答案】##86057421514.25【分析】分、两种情况讨论，结合递推公式分析可知数列是以为周期的周期数02a <<2a ≥{}n a 5列，根据可求得的值，再利用数列的周期性可求得的值.20224a a=a 2022S 【详解】当时，，，，02a <<10a a =>21a ={}()122max ,2n n na a a n ++=∈*Ν所以，，{}3142max 2,12a a a =⋅=>4482max ,2a a a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，，，5482max ,24a a a ⎧⎫=⋅=⎨⎬⎩⎭{}62max 4,28a a a =⋅={}712max ,214a a =⋅=，，所以数列是以为周期的周期数列，{}8142max 1,2a a a =⋅= {}n a 5因为，所以，解得，202240452=⨯+202241a a ==14a =所以；202248860574041414S a a a a ⎛⎫=++++++=⎪⎝⎭当时，，，，2a ≥10a a =>21a ={}()122max ,2n n na a a n ++=∈*Ν所以，，{}3142max 1,22a a a =⋅=<442max ,24a a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，，{}52max 4,2244a a a =⋅=≥{}612max 2,224a a a =⋅=>，，，{}712max ,212a a a =⋅={}8142max 1,2a a a =⋅= 所以数列是以为周期的周期数列，{}n a 5因为，所以，解得，不合题意，舍去．202240452=⨯+2202214a a a===14a =故．2022860574S =故答案为：.860574【点睛】关键点点睛：解本题求时，由于下标值较大，因此可以考虑利用递推公式分析数列2022S 的周期性或归纳出该数列的通项公式，这是解题的关键，再利用数列的求和方法求解即可.{}n a 二、单选题13．若是关于的实系数方程的一根，则等于（ ）2i -x 20x ax b ++=a b +A ．B ．C ．D ．11-99-【答案】A【解析】将代入方程，根据复数为零可得出关于实数、的方程组，可解2x i =-20x ax b ++=a b 出、的值，由此可得出的值.a b a b +【详解】由题意可得，即，()()2220i a i b -+-+=()()2340a b a i ++-+=所以，解得，因此，.23040a b a ++=⎧⎨+=⎩45a b =-⎧⎨=⎩1a b +=故选：A.14．对于函数，我们可以发现有许多性质，如：等，()()()*112nf n n N +-=∈()f n ()()*21f k k N =∈下列关于的性质中一定成立的是（ ）()f n A ．B ．()()11f n f n +-=()()()*f n k f n k N +=∈C ．D ．()()()()10f n f n f n ααα=++≠()()()()110f n f n αααα+=-+≠【答案】C【分析】根据所给的函数解析式，对四个选项逐一判断即可选出正确答案.【详解】选项A ：，当为偶数时，上式等于()()()()()()111111111222n n n nf n f n +++-+----+-=-=n ，当为奇数时，上式等于1，故本选项错误；1-n 选项B ：，显然只有当为偶数时，才有()()()()1111,22n knf n k f n ++-+-+==k ，故本选项错误；()()f n k f n +=选项C ：，当为偶数时，上式等于，当为奇数时，上式等于1.()()112nf n αα+-=n αn 当为偶数时，上式等于，当为奇数时，上式等于1.故本选项正确；()()1111122n nα++-+-+n αn 选项D ：，当为偶数时，上式等于，当为奇数时，上式等于.()()11112n f n αα++-+=n 0n α，当为偶数时，上式等于，当为奇数时，上式等于.故本选项是错误的.()()1112nαα+--+n 1-n α故选：C【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.15．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据，一定符合该标志的是（ ）A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为2，总体方差为3C ．丙地：总体均值为1，总体方差大于0D ．丁地：中位数为2.5，总体方差为3【答案】B【分析】利用平均数、中位数、方差的计算公式以及含义，对四个选项逐一分析判断即可【详解】对于A ，例如：10天病例数为总体均值为3，中位数为40,0,0,0,4,4,4,4,6,8但是某一天的病例超过了7，故选项A 错误；对于B ，设连续10天，每天新增疑似病例分别为：12310,,,,,x x x x 假设第一天超过了7人，设为8人，则，()()()222221018222310s x x ⎡⎤=⨯-+-++->⎣⎦ 因为总体方差为3，所以说明连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，故选项B 正确；对于C ，对于C ，例如： 10天病例数为：，总体均值为1， 0,0,0,0,0,0,0,0,2,8方差大于0，但是存在大于7人的数，故选项C 错误；对于D ，例如：10天病例数为2,2,2,2,2,3,3,3,3,8中位数为，平均数为，232.52+=2222233338310+++++++++=均值为，()()()2222152343383310s ⎡⎤=⨯-+⨯-+-=⎣⎦但是在大于7的数，故选项D 错误．故选：B ．16．如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，点P ，Q 分别为面A 1B 1C 1D 1和线段B 1C 上动点，则△PEQ 周长的最小值为（ ）A ．BCD ．【答案】B【分析】通过对称转换，由三点共线求得三角形周长的最小值.,,PQ QE EP PEQ 【详解】在平面上，设E 关于B 1C 的对称点为M ，根据正方形的性质可知，11B C CB 1CM =关于B 1C 1的对称点为N ，，E 111C E C N CE ===连接MN ，当MN 与B 1C 1的交点为P ，MN 与B 1C 的交点为时，Q则MN 是△PEQ 周长的最小值，，1,3CM CN ==MN ==∴△PEQ 故选：B三、解答题17．如图，等腰，，点是的中点，绕所在的边逆时针旋转至Rt AOB △2OA OB ==C OB AOB BO ．2π,3BOD AOD ∠=(1)求旋转所得旋转体的体积和表面积；AOB V S (2)求直线与平面所成角的大小．AC BOD【答案】(1)；8π9V =4S +(2)【分析】（1）由题意旋转体的体积为圆锥体积的，利用公式计算即可；13表面由两个直角三角形，一个底面圆和侧面组成，分别计算相加即可；1313（2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决线面角即可.【详解】（1）由题意旋转体的体积为圆锥体积的，13所以；2118π22π339V =⨯⨯⨯⨯=表面由两个直角三角形，一个底面圆和侧面组成，13132111π2π2222332S =⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯；4+（2）建立如图所示的空间直角坐标系则：，，，，(2,0,0)A (0,0,1)C (0,0,2)B (D -则，，，(2,0,1)AC =- (0,0,2)OB =(OD =- 设平面的法向量为，BOD (,,)n x y z =则，20000z n OB x n OD ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⋅=⎪⎩⎩令，得，1y =n =设直线与平面所成角为，AC BOD θ则||sin ||||AC n AC n θ⋅===所以直线与平面所成角的大小为AC BOD 18．某跨国公司决定将某种智能产品大量投放中国市场，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为x万元，.()G x 22503,025********80,25()x x x x G x x -<≤⎧⎪⎨+->=⎪⎩（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润＝销售收入﹣成本）；S x （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）；（2）当年产量为30万台时，该公司获得的利润最2316030,0259000102970,25x x x x x S x -+-<≤--+>⎧⎪=⎨⎪⎩大，最大利润为2370万元.【分析】（1）根据利润销售收入成本，即可得解；=-（2）分和两种情况，分别根据二次函数的性质和基本不等式，求出对应的的最大025x < 25x >S 值，再比较大小，即可得解．【详解】解：（1）年利润.2316030,025()30909000102970,25x x x S x G x x x x x ⎧-+-<≤⎪=⋅--=⎨--+>⎪⎩（2）当时，，025x <≤22806310316030333S x x x ⎛⎫=-+-=--+⎪⎝⎭所以在上单调递增，S (]0,25所以；2max 32516025302095S =-⨯+⨯-=当时，，25x>9000900010297029701029702370S x x x x ⎛⎫=--+=-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时，等号成立，此时，900010x x =30x =max 2370S =因为，所以，，23702095>30x =max 2370S =故当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元.19．已知，将的图象向右平移个单位后，得到2()sin cos f x x x x =()f x π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的图象，且的图象关于对称．()g x ()g x π,06⎛⎫⎪⎝⎭(1)求；ϕ(2)若的角所对的边依次为，外接圆半径为，且ABC ,,A B C ,,a b c R 1,1,82A g b R ⎛⎫=-==⎪⎝⎭点为边靠近的三等分点，试求的长度．D BC B AD 【答案】(1)π3ϕ=(2)AD =【分析】（1）根据三角恒等变换可得，由正弦型函数的图象变换可得()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的对称性即可求解；π()sin 223g x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2）由可得，根据正弦定理可求，从而可求，在中利用余弦定理182A g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2π3A =a BD ABC 可求与，在中利用余弦定理即可求.c cos B ABD △AD 【详解】（1），，πsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π()sin 223g x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为的图象关于对称，所以，()g x π,06⎛⎫⎪⎝⎭()ππ2π33k k ϕ-+=∈Z 所以.ππ,23k k ϕ-=+∈Z 又，所以；π02ϕ<<π3ϕ=（2），因为，π()sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭182A g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以或，ππ2π436A k -=-π52ππ,436A k k -=-∈Z所以或.28ππ3A k =+8π2π,A k k =-∈Z 因为，所以，(0,π)A ∈2π3A =在中，由正弦定理得ABC 2sin a R A ==因为点为边靠近的三等分点，所以D BC B BD =由余弦定理得，即，解得，2222cos a b c bc A =+-271c c =++2c =所以，222cos 2a c b B ac +-===在中，由余弦定理得ABD △2222cos AD BA BD BA BD B=+-⨯⨯，所以71342299=+-⨯=AD =20．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上两点．221:14x C y +=12,F F ,A B 1C (1)若直线过左焦点，求的周长；AB 1F 2ABF △(2)若直线过点，求的取值范围；．AB (1,0)P ||||PA PB(3)若点是椭圆与抛物线在第一象限的交点．是否存在点，使得线段的中点A 1C 223:4C y x=B AB 在拋物线上？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．M 2C B 【答案】(1)8(2)3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)存在；1,B ⎛- ⎝【分析】（1）由标准方程知，然后写出的周长；2,1,a b c ==2ABF △（2）设两点坐标，分直线斜率不存在或存在（为0或不为0）进行讨论.,A B AB （3）假存在，联立与即可求出点，然后根据中点公式以及点所在的位置，联立出方程组，1C 2C A 解出即可.【详解】（1）由题意知，2222,1,3a b c a b ===-=所以2,1,a b c ===的周长为；2ABF △121248BF BF AF AF a +++==（2）设，()()1122,,,A x y B x y 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入中，AB 1x =2214x y +=得：y =|||PA PB当直线斜率为0时，，所以；AB ||3,||1PA PB ==||||3PA PB =当直线斜率不为0时，设，AB :1AB x my =+由得，22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()224230m y my ++-=所以，又，12122223,44m y y y y m m +=-=-++()()11221,,1,PA x y PB x y =-=-所以)223||||14PA PB m m =+⋅+，23331,344m ⎛⎫⎡⎫=-∈ ⎪⎪⎢+⎝⎭⎣⎭综上，的取值范围是；||||PA PB 3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）假设存在满足条件的点的坐标满足题意，B 由，得，2221434x y y x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2340x x +-=所以或1，4x =-因为在第一象限，A 所以，A ⎛ ⎝由中点在拋物线上，AB M 2C 故设中点，AB M 0204,3y y ⎛⎫⎪⎝⎭则利用中点公式得：且在上，20081,23y B y ⎛- ⎝2214x y +=所以，222008142403y y ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝所以，420008120y y +-=即，()200002490y y y ++=所以或，00y =0y =故中点，AB (0,0)所以存在点．1,B ⎛- ⎝21．设集合是满足下列两个条件的无穷数列的集合：①；②存在常*()()T k k N ∈{}n a 12n n n a a k a +++=数，使得,A B R ∈n A a B≤≤(1)已知，且，求的最小值119()52n n a -=⨯--{}()n a T k ∈B A -(2)是否存在，且满足恒成立？若存在，请写出一个符合条件的数列；若不{}(1)n a T ∈10n n a a +>{}n a 存在，请说明理由；(3)若且，求数列的通项公式.{}()n a T k ∈*n a N ∈{}n a 【答案】(1)的最小值为；B A -272(2)不存在符合条件的数列，理由见解析；(3)，.n a t =t N *∈【分析】(1)由数列的通项公式求数列的最大值和最小值由此可求的最小值；(2)由条件B A -求出数列的通项公式，并检验其是否满足条件，(3)由条件求121n n n a a a +++={}n a n A a B ≤≤{}()n a T k ∈数列的通项，结合条件求出及数列的通项公式.{}n a n A a B ≤≤k 【详解】（1）因为，119(52n n a -=⨯--由已知，所以，，n A a B ≤≤()min n A a ≤()max n a B ≤设，则，，，1159(2n n n b a -=+=⨯-+214n n b b =19b =292b =-所以，，1321n b b b ->>⋅⋅⋅>>⋅⋅⋅242n b b b <<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅所以，所以，992n b -≤≤9+592n a -≤≤故，所以，，所以，1942n a -≤≤192A ≤-4B ≤272B A -≥所以的最小值为，B A -272（2）因为，所以，{}(1)n a T ∈121n n n a a a +++=所以，12n n n a a a +++=设，()211+1n n n na ta t a a +++=++令，则，所以111t t +=210t t +-=t=记1t =2t =所，，()()21111+1n n n n a t a t a t a +++=++()()22112+1n n n n a t a t a t a +++=++所以，，()()1112111+1n n n a t a a t a t -+=++()()1122212+1n n n a t a a t a t -+=++所以，()()()()()11212212211111n n nt t a a t a t a t a t ---=++-++所以，()()1122121121212111n n n a t a a t a a t tt t t t --++=+-+--所以()()11221211n n n a a t a a t a --⎡⎢=+-+⎢⎣又，所以或10n n a a +>120,0a a >>120,0a a <<当， 取为奇数，函数单调递增，120,0a a >>n ()1221n y a ta -=+单调递减，其取值随的增大趋近与0，11=n n y --=n 所以不存在使得，B ()()11221211n n n a a t a a t a --⎡⎢=+-+⎢⎣n A a B ≤≤（3）因为，12n n n a a k a +++=所以，设，2111n n na a a k k ++=+21111+n n n n a ta t a a k k +++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭令，则，所以111t k k t +=210t t k k +-=t =记，1t =2t =所，，()211111+n n n n a t a t a t a k +++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()221121+n n n n a t a t a t a k +++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以，，()11121111+n n n a t a a t a t k -+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()11222121+n n n a t a a t a t k -+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以，()()()11212212211111n n n t t a a t a t a t a t k k --⎛⎫⎛⎫-=++-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以，1122121121212111n n n a t a a t a a t t t t k t t k --++⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭所以()()11221211n n n a a t a a t a --⎡⎢=+-+⎢⎣因为，210a ta +>因为，所以244141k k k ++>+21k +>10>>当为奇数时，单调递减，其取值随的增大趋近与0，n 1n y -=n ，则单调递增，与条件相矛盾，1>()1221n y a t a -=+，所以，则单调递减，与矛盾，1<2k >()1221n y a t a -=+*n a N ∈当，2k =()12121112223n n a a a a a -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+---⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦当为奇数时，若，则的取值随的增大趋近与0，与矛盾，n 210a a -≠()12112n y a a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭n *n a N ∈又，所以，*n a N ∈210a a -=所以数列的通项公式为，，此时.{}n a n a t =t N *∈2k =【点睛】本题解决的关键由条件确定数列的通项公式.{}()n a T k ∈。