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学年论文
求极限的方法总结
MethOd Of Limit
学院理学院专业—班级
学生____________ 指导教师（职称）________________ 完成时间 _年_月_日至_年_月—日
广东石油化工学院本科学年论文：求极限的方法总结
极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，通过通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结，以供参考。
关键词：极限洛必达法则泰勒展开式定积分无穷小量微分中值定理
第一章
AbStraCt
The COn CePt Of limit is the most importa nt mathematics, One Of the most basic COn cepts.Ma ny important COnCePtS SUCh as COntinuity,derivative,definite integral,infinite SerieS and generalized integrals and are defined by the limit.So mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit VarieS by title,varied,anf SOmetimeS even impossible to Start Very Un PrediCtable,a nd SUmmariZed through the adoptio n,we Set out the requireme nts of some commo nly USed method .In this paper,the mathematical an alysis of the method of Seek ing a Certa in limit a SUmmary for refere nce.
KeyWOrd: Limit HOSPital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mea n Value TheOrem
广东石油化工学院本科学年论文：求极限的方法总结
(1) Iim If (x) 士g(x)丨=Iim f(x)±lim g(x) =2 三
X JXo X=X o X JX o
(2) Iim f (X) g (x) = Iim f (x) Iim g (x) = ■
Ξ
(3)
f(x)X i mI f(X)A
若B≠0 贝U: Iim _
X T XO g(χ)Iim g(x) B
^"⅛X0
(4) Iim C f (X)= C Iim f (x) = c--∙-
X 旳X JX o 引言
极限时分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如：3世纪中国数学家刘微的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限时圆周长这一个思想来近似地计算圆周率的。随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起了不少争论甚至怀疑。知道19世纪, 由A. —L.柯西、K.（T.W.）外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础之
上，从而得到举世一致的公认。
数学分析中的基本概念得表述都可以用极限来描述。如函数y=f（X）在X=X o处倒数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义等都是用极限来定义的。极限时研究数学分析的基本工具。极限时贯穿数学分析的一条主线。学好极限要学会归纳和掌握求极限的方法。本文主要是对求极限的方法进行了归纳和总结。
第一章
1、1 利用极限的四则运算法则和简单技巧
极限四则元素法则的条件是充分而非必要的，因此，用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一验证它是否满足极限四则运算的法则条件，如果满足条件，才能利用极限的四则运算法则进行计算；不满足条件的就不能直接利用极限四则运算法则求解。但是，并非所有不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需要将函数进行恒等变形，使其符合条件候再利用四则运算法则求解，而对函数进行恒等变形时，通常运用一些简单技巧比如拆项，分子分母乘以某一因子，变量代换，分子分母有理化等等方法即可进行恒等变换，以便于我们计算。
极限的四则运算法则叙述如下：
定理1. 1 :如果Iim
^X o
f ( X) = -： , X im
g ( X )=三
第一章
—∙ηn
(5) Iim [f(x)『=IIim f(x) =j⅛n(n 为自然数)
上述性质对于X-∙ ∙∖X-∙ Y∙',X)_：:也同样成立①
由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、
积、商。
χ2 +5
例1. 求X im——的极限
解：由定理1.1中的第三式可以知道
2
l. X25 l X m2 X 4 5 6 7
Iim
X £ X _ 3 Iim ^3
22 5
2-3
以后遇到类似题目，可以分别求子分母的极限，得到的分式就是结果
例2.求Iim ∙X匚2的极限
—X -3
解：分子分母同时乘以•厂1 '2
齐〒_2 X―2∙x 1 2
Iim Iim ---------------- : --------------
x 3x-3 X 13X _3 . X 1 2
x—3 = Iim
心X -3 "1 2
4
式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可
1 1 (1)
例3.已知X n1 2 2 3 n T n ,求艸：X n
差、
解: 观察丄=1-丄
1汇2 2
1 1 1 n -1 n n-1 n
