2018新课标II数学试题理解析

2018新课标II 理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．1＋2i 1－2i＝( ) A ．－45－35i B ．－45＋35i C ．－35－45i D ．－35＋45i【解析】1＋2i 1－2i ＝（1＋2i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝－35＋45i ，选D ．2．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为 A ． 9 B ． 8 C ． 5 D ． 4【解析】法一 由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤3．又x ∈Z ，y ∈Z ，故x ∈{－1，0，1}，y ∈{－1，0，1}，故A 中元素的个数为C 13C 13＝9，故选A ．法二 根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A ． 3．函数f (x )＝e x －e －x x 2的图像大致为A ． AB ． BC ． CD ． D【解析】f (x )＝e x －e －x x 2为奇函数，排除A ；当x ＞0时，f (1)＝e －1e ＞2，排除C ，D ，只有B 项满足． 4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝ A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 0【解析】a ·(2a －b )＝2a 2－a·b ＝2－(－1)＝3，故选B ． 5．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x【解析】法一：由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以ba ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，故选A ．法二：由e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，故选A ．6．在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2B ．30C ．29D ．2 5【解析】因cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×15－1＝－35，故由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C＝25＋1－2×5×1×(－35)＝32，故AB ＝42，故选A ．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．7．为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4【解析】由S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减．因此在空白框中应填入i ＝i ＋2，选B ．8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) A ．112B ．114C ．115D ．118【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C 210种不同的取法，其中两素数相加等于30的有7和23，11和19，13和17，共有3种情况，故所求概率P ＝3C 210＝115，故选C ．9．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A ．15B ．56C ．55D ．22【解析】法一 如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ．易知O 为BD 1的中点，故AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋⎝⎛⎭⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5．故OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55． 法二 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D (0，0，0)，A (1，0，0)，D 1(0，0，3)，B 1(1，1，3)，故AD 1→＝(－1，0，3)，DB 1→＝(1，1，3)．则cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→|·|DB 1→|＝225＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55． 10．若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是________． A ． π4 B ． π2 C ． 3π4D ．π【解析】f (x )＝cos x －sin x ＝2cos(x ＋π4)，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π4．因f (x )在[－a ，a ]上是减函数，故－a ≥－π4，且a ≤3π4，解得a ≤π4，故0＜a ≤π4，故a 的最大值是π4．11．已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( ) A ．－50B ．0C ．2D ．50【解析】法一 ∵f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )，故f (4＋x )＝f (x )，故f (x )是周期函数，且一个周期为4，又f (0)＝0，知f (2)＝f (0)，f (4)＝f (0)＝0，由f (1)＝2，知f (－1)＝－2，则f (3)＝f (－1)＝－2，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C ．法二 由题意可设f (x )＝2sin(π2x )，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2．12．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A ．23 B ．12 C ．13 D ．14【解析】由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，因为△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以|OF 2|＝c ，所以点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )．因为点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，所以3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，所以e ＝14，故选D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y ＝2ln(x ＋1)在点O (0，0)处的切线方程为__________．【解析】由题意得y ′＝2x ＋1．在点O 处切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝2．故曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x ．14．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0x －2y ＋3≥0x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为__________．【解析】画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．作出直线x ＋y ＝0，平移该直线，当直线过点B (5，4)时，z 取得最大值，z max ＝5＋4＝9．15．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝__________．【解析】因sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，故sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1①，cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0②，①＋②得，sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，故sin(α＋β)＝－12． 16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°．若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．【解析】如图所示，设S 在底面的射影为S ′，连接AS ′，SS ′．△SAB 的面积为12·SA ·SB ·sin ∠ASB ＝12·SA 2·1－cos 2∠ASB ＝1516·SA 2＝515，所以SA 2＝80，SA ＝45．因为SA 与底面所成的角为45°，所以∠SAS ′＝45°，AS ′＝SA ·cos 45°＝45×22＝210．所以底面周长l ＝2π·AS ′＝410π，所以圆锥的侧面积为12×45×410π＝402π．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分．17．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15． (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．【解析】(1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d ＝－15．由a 1＝－7得d ＝2．故{a n }的通项公式为a n ＝2n －9．(2)由(1)得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16．故当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16． 18．下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1，2，…，17)建立模型①：y ^＝－30．4＋13．5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1，2，…，7)建立模型②：y ^＝99＋17．5t ． ⑴．分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； ⑵．你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【解析】(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^＝－30．4＋13．5×19＝226．1(亿元)．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^＝99＋17．5×9＝256．5(亿元)．(2)利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y ＝－30．4＋13．5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ^＝99＋17．5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠． 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．19．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8．(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【解析】(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0．Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2．所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2．由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1．因此l 的方程为y ＝x －1．(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x＋5．设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144．20．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点． (1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M －P A －C 为30°，求PC 与平面P AM 所成角的正弦值．【解析】(1)证明 因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，故OP ⊥AC ，且OP ＝23．连接OB ，因为AB ＝BC ＝22AC ，故△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2．由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB ．由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 且OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC ． (2)解 如图，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ．由已知得O (0，0，0)，B (2，0，0)，A (0，－2，0)，C (0，2，0)，P (0，0，23)，AP →＝(0，2，23)．取平面P AC 的一个法向量OB →＝(2，0，0)．设M (a ，2－a ，0)(0<a ≤2)，则AM →＝(a ，4－a ，0)．设平面P AM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由AP →·n ＝0，AM →·n ＝0得⎩⎨⎧2y ＋23z ＝0，ax ＋（4－a ）y ＝0，可取n ＝(3(a －4)，3a ，－a )，故cos 〈OB →，n 〉＝23（a －4）23（a －4）2＋3a 2＋a 2．由已知可得|cos 〈OB →，n 〉|＝32，故23|a －4|23（a －4）2＋3a 2＋a 2＝32，解得a ＝－4(舍去)，a ＝43，故n ＝⎝⎛⎭⎫－833，433，－43．又PC →＝(0，2，－23)，故cos 〈PC →，n 〉＝34．故PC 与平面P AM 所成角的正弦值为34． 21．已知函数f (x )＝e x －ax 2．(1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1； (2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a ．【解】(1)证明 当a ＝1时，f (x )＝e x －x 2，则f ′(x )＝e x －2x ．令g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x －2．令g ′(x )＝0，解得x ＝ln 2．当x ∈(0，ln 2)时，g ′(x )＜0；当x ∈(ln 2，＋∞)时，g ′(x )＞0．故当x ≥0时，g (x )≥g (ln 2)＝2－2ln 2＞0，故f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故f (x )≥f (0)＝1． (2)解 若f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点，即方程ex－ax 2＝0在(0，＋∞)上只有一个解，由a ＝e xx2，令φ(x )＝e xx 2，x ∈(0，＋∞)，φ′(x )＝e x （x －2）x 3，令φ′(x )＝0，解得x ＝2．当x ∈(0，2)时，φ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0．故φ(x )min ＝φ(2)＝e 24．故a ＝e 24．【解】⑴．【法一】当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x －1≤0．设函数f (x )＝(x 2＋1)e －x －1，则g ′(x )＝－(x －1)2e －x ．当x ≠1时，g ′(x )＜0，故g (x )在(0，＋∞)单调递减．而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1．【法二】当a ＝1时，f (x )＝e x －x 2，则f ′(x )＝e x －2x ，f ′′(x )＝e x －2，令f ′′(x )＝0得，x ＝ln 2，当x ∈(0，ln 2)时，f ′′(x )＜0；当x ∈(ln 2，＋∞)时，f ′′(x )＞0，故当x ＝ln 2时，f ′(x )取得最小值f ′(ln 2)＝2－2ln 2＝2(1－ln 2)＞0，故f ′(x )＞0在(0，＋∞)是恒成立，即f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故f (x )min ＝f (0)＝1，故当x ≥0时，f (x )≥1；【法三】当a ＝1时，f (x )＝e x －x 2，则f ′(x )＝e x －2x ≥e x －2x ＝(e －2)x ＞0在(0，＋∞)上恒成立，即f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故f (x )min ＝f (0)＝1，故当x ≥0时，f (x )≥1；⑵．【法一】设函数h (x )＝1－ax 2e －x ．f (x )在(0，＋∞)只有一个零点当且仅当h (x )在(0，＋∞)只有一个零点．I ．当a ≤0时，h (x )＞0，h (x )没有零点；II ．当a ＞0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x ．当x ∈(0，2)时，h ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0．故h (x )在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．故h (2)＝1－4ae2是h (x )在(0，＋∞)的最小值．①．若h (2)＞0，即a ＜e 24，h (x )在(0，＋∞)没有零点；②．若h (2)＝0，即a ＝e 24，h (x )在(0，＋∞)只有一个零点；③．若h (2)＜0，即a ＞e 24，由于h (0)＝1，故h (x )在(0，2)有一个零点，由⑴知，当x ＞0时，ex＞x 2，故h (4a )＝1－16a 3e 4a ＝1－16a 3（e 2a ）2＞1－16a 3（2a ）4＝1－1a ＞0．故h (x )在(2，4a )有一个零点，因此h (x )在(0，＋∞)有两个零点．综上，f (x )在(0，＋∞)只有一个零点时，a ＝e 24．【法二】f ′(x )＝e x －2ax ，当a ≤0时，f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，则f (x )在(0，＋∞)单调递增，而f (0)＝1＞0，故当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无零点；故a ＞0，因f (0)＝1＞0，要使得f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，则f (x )在(0，＋∞)必须有两个不同的极值点，即f ′(x )＝0在(0，＋∞)须有两个不同的零点x 1，x 2(否则f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，则f (x )在(0，＋∞)单调递增，而f (0)＝1＞0，f (x )在(0，＋∞)无零点)，设x 1＜x 2，要使得f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，则f (x )的极小值f (x 2)＝0，故e x 2－ax 22＝0①，且e x 2－2ax 2＝0②，解①，②得，x 2＝2，则e 2＝4a ，即a ＝e 24，下略．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22． [选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)． (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率．【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1．当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1．(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0①．因曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内，故①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0．又由①得t 1＋t 2＝－4（2cos α＋sin α）1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2．23．[选修4－5：不等式选讲] 设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|． ①当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；②若f (x )≤1，求a 的取值范围．【解析】(1)①当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1<x ≤2，－2x ＋6，x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．②f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4．而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2或x ＝－a 时等号成立(最小值能取到)．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4．由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2．故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．。