八年级数学角平分线的性质5

初二数学第8课时 角的平分线的性质（1）教 学 目 标 1．通过作图直观地理解角平分线的性质定理．2．经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法． 教学重点 领会角的平分线的性质定理． 教学难点角的平分线的性质定理的实际应用． 教 学 互 动 设 计设计意图 一、创设情境 导入新课在∠AOB 的两边OA 和OB 上分别取OM=ON ，MC ⊥OA ，NC ⊥OB ．MC 与NC 交于C 点．求证：∠MOC=∠NOC ．通过证明Rt △MOC ≌Rt △NOC ，即可证明∠MOC=∠NOC ，所以射线OC 就是∠AOB 的平分线．受这个题的启示，我们能不能这样做：在已知∠AOB 的两边上分别截取OM=ON ，再分别过M 、N 作MC ⊥OA ，NC ⊥OB ，MC•与NC 交于C 点，连接OC ，那么OC 就是∠AOB 的平分线了．思考：这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行） 议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ．∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了．看看条件够不够． AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 所以△ABC ≌△ADC （SSS ）． 所以∠CAD=∠CAB ．即射线AC 就是∠DAB 的平分线．首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1•）直观地进行讲述，提出探究的问题．小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”判定法，可以说明这个仪器的制作原理． 二、合作交流 解读探究【探究1】作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线． 作法：动手制图（尺规），边（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．（2）分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C ．（3）作射线OC ，射线OC 即为所求． 【议一议】1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN 的长”这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗？ 【总结】1．去掉“大于12MN 的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB 的外部，而我们要找的是∠AOB 内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB 的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．【探究2】如图，将∠AOB 的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的知识，说明你的结论的正确性吗？实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB 的平分线OC ，第二次折叠形成的两条折痕PD 、PE 是角的平分线上一点到∠AOB 两边的距离，这两个距离相等．”【总结】角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E求证：PD=PE ．证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO=∠PEO=90° 在△PDO 和△PEO 中， ,,,PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PDO ≌△PEO （AAS ） ∴PD=PE画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知．三、应用迁移巩固提高【例】在一节数学课上，老师要求同学们练习一道题，题目的图形如图所示，•图中的BD是∠ABC的平分线，在同学们忙于画图和分析题目时，小明同学忽然兴奋地大声说：“我有个发现！”原来他自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法．他的方法是这样的，在AB上取点E，使BE=BC，然后画DE⊥AB交AC于D，•那么BD•就是∠ABC的平分线．有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢？请你来说明理由．【练习】课本Р19 练习四、总结反思拓展升华本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，•探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质．五、课堂作业P22 1 2教学理念/反思第9课时角的平分线的性质（2）教学目标1．角的平分线的性质2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．教学重点角平分线的性质及其应用．教学难点灵活应用两个性质解决问题．教学互动设计设计意图一、创设情境导入新课【问题1】画出三角形三个内角的平分线你发现了什么特点？【问题2】如课本图11．3─5，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，•离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？二、合作交流 解读探究 【探究】小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线上．证明如下：已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E ，PD=PE ． 求证：点P 在∠AOB 的平分线上． 证明：经过点P 作射线OC ． ∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt △PDO 和Rt △PEO 中，,,OP OP PD PE =⎧⎨=⎩∴Rt △PDO ≌Rt △PEO （HL ） ∴∠AOC=∠BOC ， ∴OC 是∠AOB 的平分线．【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．启发、引导学生；组织小组之间的交流、讨论；帮助“学困生”．自主、合作、交流，在教师的引导下，比较上述两个结论，弄清其条件和结论，加深认识．三、应用迁移 巩固提高【例1】如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，求证：点P•到三边AB ，BC ，CA 的距离相等．【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P 到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．证明：过点P 作PD 、PE 、PF 分别垂直于AB 、BC 、CA ，垂足为D 、E 、F ． ∴BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上． ∴PD=PE 同理 PE=PF ∴PD=PE=PF即点P 到边AB 、BC 、CA 的距离相等．【评析】在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程．学生参与教师分析，主动探究学习．三角形的三条角平分线相交于一点．【例2】如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．学生根据上一问题的解决过程独立解决本问题，在必要时教师适当引导．【练习】课本Р22 练习四、总结反思拓展升华我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．五、课堂作业P22 3 4 5 6教学理念/反思。

第7讲 全等三角形的综合、角平分线⑴平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型⑴、角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵、到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍，ABOPPOBAABOP角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．考点1、三角形全等综合1、如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L 上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（）A. SASB. ASAC. SSS D .AAS2、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（ B ）A．PO B．PQ C．MO D．MQ（1）（2）3、如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚是35cm，点B与点O的垂直距离AB长是20cm，在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC=35cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD=20cm，连接OD，然后，沿着D0的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出．这是什么道理？4、1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q 处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点0处，让士兵丈量他所站立位置B与0点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．试问：法军能命中目标吗？请说明理由．用帽舌边缘视线法还可以怎样测量，也能测出河岸两边的距离吗？5、某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A，B的距离．乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离．丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离．（1）以上三位同学所设计的方案，可行的有______；（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．1、已知: 如图,AB=AE,BC=ED, ∠B= ∠E,AF ⊥CD,F 为垂足, 求证:CF=DF.2、已知：如图，AB=CD，BC=DA，AE=CF．求证：BF=DE．3、如图，AB=AD，BC=DE，且BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明AM=AN吗？1、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC. 求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.2、已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，若BD=AD，DE=DC。

1 2
O
C P EB
∴ △OPD≌△OPE(AAS)
∴PD＝PE（全等三角形對應邊相等）
*
角平分線的性質
定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
用符號語言表示為：
A D
∵∠1= ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE.
C
12
P
O
EB
*
如圖，要在S區建一個貿易市場，使它到鐵路和公路 距離相等， 離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿市場 應建在何處？（比例尺為1︰20000）
s
*
【解析】 作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm ,D即為所求. O
s
D C
*
反過來，到一個角的兩邊的距離相等的點是 否一定在這個角的平分線上呢？ 已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB， 點D、E為垂足，QD＝QE． 求證：點Q在∠AOB的平分線上．
*
證明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定義） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共邊） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴點Q在∠AOB的平分線上
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分線.
A M
N
C B
*
將∠AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折 痕為斜邊），然後展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕， 你能得出什麼結論？
猜想:角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
*
已知：OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA於D，
12.3 角的平分線的性質
*
1.在探究作角平分線的方法和角平分線性質的過程中，掌握 角平分線的作法和角平分線的性質，發展數學直覺. 2.提高綜合運用三角形全等的有關知識的解決能力；掌握簡 單的角平分線在生產、生活中的應用.

(2)解 将条件“BD＝CD”与(1)中结论“点D在∠BAC的平分线 ： 上”互换，仍然成立．理由如下：
∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°. ∵点D在∠BAC的平分线上，∴DE＝DF. 在△BDE与△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(ASA)，∴BD＝CD.
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2022年秋安徽专版沪科 版初二上册数学习题课 件：角的平分线的性质 和判定（共32张PPT）
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角的内部到角的两边的___距__离___相等的点在角的 _平__分__线___上．因此判定角平分线，需要满足两个 条件：“________”和“________”．其一般思路是 ：“作垂直，垂证直相等”． 相等
D．60
点拨 4题 返回
点拨 ： 由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于 E，又∠C＝90°，∴DE＝CD.∴△ABD的面积＝
AB·DE＝ ×15×4＝30.故选B.
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4．(中考•深圳)如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，以 点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于 点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于 PQ的长为半 径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，
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3．(中考·淮安)如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长 为半径画弧，分别交AC，AB于点M， N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，
作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD
的面积是( ) B
A．15 B．30 C．45
C．①③