齐次马尔可夫链在教学评价中的应用——张调玲
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1 / 10 齐次马尔可夫（Markov）链在教学评价中的应用 张调玲 ［2007级数学函授班 数学与统计学院 兰州大学］
摘 要 本文试分析并介绍了马尔可夫链分析法在教学质量评价中的基本思想,阐明了这种分析方法的理论依据及具体实施步骤，有效地解决了因学生基础差异而无法正确地以阶段成绩对学生进行教学质量和学习效果评价的问题。 关键词 教学评价 齐次马尔可夫链 基础差异 转移矩阵
教学工作是当前学校培养高素质人才、实现教育目标的最基本途径之一。学校要提高教育质量，首先要提高教学质量，要提高教学质量就必须对教学的质量提出一定的要求。我们将对教学是否达到了一定质量要求的判断称为教学质量评价。教学质量的高低，直接体现了一个科任教师的教学能力和学生学习效果。因此，要提高教学质量，就必须对教师的教和学生的学提出一定的质量要求，根据教学目标，利用可行的评价手段，对教学质量给予客观、准确的评价。 本文试根据九年义务学校教学活动的特点和规律以及教学质量评价的需要，分析齐次马尔可夫链分析法在教学质量评价中的应用。 1、问题的提出 目前许多学校每学年都要进行教学质量评价，除采用较为依赖于学生凭主观意识作答的调查问卷法之外，大部分都偏向于将其所教学生的成绩为作教师教学质量评价的主要手段，比如将学生的平均分和及格率作为一个标准，分值越高就说明教学水平越高。然而教学质量的评价是一个复杂且动态的系统工程，我们仅仅根据学生的检测成绩来评价教师教学效果的优劣是片面的、不准确的。因为学生的当前成绩，不仅受近阶段教师课堂教学水平的影响，更取决于学生前阶段学习基础的制约，我们可以称作学生的基础差异。可见当前一次或两次学生的检测成绩并不能反映出当前教师的教学水平，因此要科学、客观地评价一个教师的教学质量应排除学生的基础差异这一重要因素。将齐次马尔可夫链分析法用于教学质量评价中，能够有效地消除学生的基础差异，较为准确、客观地反映教师的实际教学水平。 2 / 10
2、齐次马尔可夫链分析法 齐次马尔可夫链分析法是一种以概率论和随机过程理论为基础,建立随机数学模型分析现实活动变化发展过程中数量关系的一种定量分析方法[1] 。马尔可夫链是马尔可夫过程的一种特殊情况，齐次马尔可夫链又是马尔可夫链中的一种特殊情况。 在一个随机过程中, 如果由一种状态转移到另一种状态的转移概率只与当前所处状态有关，而与当前状态以前的所处的状态完全无关，则称这个过程为马尔可夫过程。它是无后效性的, 这个过程的历史对未来的影响全部集中在最后时刻的状态上, 也就是认为对系统的任何测量结果只与紧接着的前面测量结果有关。马尔可夫过程有四种情况：(1)时间连续，状态也连续的马尔可夫过程；(2)时间连续、状态离散的马尔可夫过程；(3)时间离散，状态连续的马尔可夫过程；(4)时间离散、状态也离散的马尔可夫过程。在以上四种情况中，我们将最后一种——时间离散、状态也离散——的马尔可夫过程称为马尔可夫链。 如果从u时刻处于状态i，转移到t+u时刻时处于状态j的转移概率Pij与转移的起始时间u无关，而只与i、j、t 有关, 则称其为齐次马尔可夫链。 根据学校教学活动的特点和教学质量评价的需要，这里我们只分析齐次马尔可夫链分析法在教学质量评价中的应用问题。 3、数学模型的建立及算法步骤 3．1模型的建立 根据概率中频率可作为概率的测量，我们用频率代替概率。在教学质量评价的量化过程中, 齐次马尔可夫链分析法是将一个总体(如一个学校、一个年级、一个班) 的个体在某次检测中取得的成绩划分为若干等级——优、良、中、合格、不合格，对应的将阶段性检测成绩可划分为120～96、95～84、83～72、71～60、59～0分5个等级。然后以各等级学生人数与总人数之比作为状态变量。并用向量R(t)表示： R(t)=(X1(t)X2(t)X3(t)X4(t)X5(t))。
其中t(t∈N)是时间，显然有 511)(iitX。 我们正是根据马尔可夫过程的无后效性，分析当t变化时，状态向量R(t) 的变化规律，从而对教学质量进行评价。 经过第一次（期中）检测，一个总体的学生中获得不同等级的学生分别为Pi(i= 3 / 10
1,2,3,4,5)，且51iipP。则状态向量R(1)： )PP,PP,PP,PP,PP(R(1)54321 为了评价教学质量，我们继续分析在第二次检测（期末）中，上述各等级学生的变化情况。在第一次检测中获得优等成绩的P1名学生中，在第二次检测中获得不同等级的人数依次为P1j(j=1、2、3、4、5)，于是我们得到了第一次检测等级为优等的学生在第二次检测中等级的转移概率为：
)PP,PP,PP,PP,PP(G1151141131121111 同理可得第一检测后其余各等级的检测成绩的转移概率为： ,3,4,5)2i( )PP,PP,PP,PP,PP(Gii5ii4ii3ii2ii1i其中 为了表示这一转移变化情况，我们可列出由第一次检测成绩转移到第二次检测成绩的为转移概率矩阵G： ijiijGPPG55)(
由齐次马尔可夫链的遍历性可知： 无关与i,)(limjijpXXpG
此时Xj≥0，X(X1,X2,X3,X4,X5)≠0，为状态R(t)的平稳分布, 且满足X= X·G, 即X(I-G)=0 (I为单位矩阵)。 于是，求转移矩阵G的极限向量X转化为求G的特征值为1的特征向量,即由方程(I-G′)X′=0解出X=(x1,x2,x3,x4,x5)，即为G的极限向量，根据最大项原则，可选取max(x1,x2,x3,x4,x5)，所在等级来表示教学质量等级，确定其等级分别为120分、95分、83分、71分、59分，通过 S=(120x1+95x2+83x3+71x4+59 x5) 计算并比较出教学质量得分并进行量化比较评价。 3.2 算法步骤 3.2.1 根据学生的检测成绩列出等级转移表。 3.2.2 根据学生个体成绩等级转移表，确定频数矩阵A，并求出转移矩阵G。 4 / 10
3.2.3 求出转移矩阵G的极限向量。 求一矩阵的极限向量，即为求该矩阵特征值为1的特征向量。其步骤为： 3.2.3.1 求转置矩阵G′。 3.2.3.2求出特征矩阵G=I-G′。 3.2.3.3 列出特征方程(1-G′)X′=0 考虑到特征方程是线性相关的，在矩阵分块对角的情况下，方程无唯一解。可以
删去方程组中其中任一方程并用约束条件511iiX来代替。使方程组的解具有唯一性。 3.2.3.4 解出G的极限向量X=(x1,x2,x3,x4,x5)，根据最大项原则, 可用其中最大的等级值表示教学工作量。 4、实例分析 4.1数据获取 为获取数据的方便，在我工作所在的同一所初级中学八年级两个教学班学生中，选取他们在入学后第三学期期中数学学科检测成绩和期末数学学科检测成绩为分析数据。于是我得到了两个教学班中每个学生两次质量检测的成绩，在这两次教学检测中，两个教学班中每个学生均使用同一套试题，具有相同的检测环境和评分标准，因此这两次检测的成绩均客观、准确且真实可信。按照齐次马尔可夫链的性质，我们先假定学校的教育质量是稳定的，因此每个学生成绩的转移频率是不变的, 并且假定该教学班学生的期末成绩只与本学期期中阶段教学质量有关，而与本学期期中检测以前的学习无关。 如果把两个班级学生看作一个整体，并给出每个学生在两次检测中分别在这一整体中所处的等级，那么，每个学生等级位置的转移主要是由于期中检测与期末检测之间的教育所产生的，两个班级处在同一学校，因此在对两个教学班级群体数学成绩分析的基础上，我们可以得出这两个班级数学学科本阶段的教学质量和学习效果的信息。 4.2 确定学生的等级并列出每个学生检测成绩等级转移表 如下图表一、表二，各表中除考生号外第2、4列为检测成绩，3、5列为相对前列成绩等级，6列为该学生在两次检测中成绩等级转移情况。比如：八年级⑴班考生 5 / 10
号为1的学生转移情况为P24，则表明该学生从2等转移到了4等。此例中，设120～96分为1等，95～84分为2等，83～72分为3等，71～60分为4等，59～0分为5等。 表一： 我校八年级⑴班学生两次数学成绩及等级转移情况表 表二： 我校八年级⑵班学生两次数学成绩及等级转移情况表
考生号 期中 成绩 期中 等级 期末 成绩 期末 等级 转移 情况 考生号
期中 成绩 期中 等级 期末 成绩 期末 等级 转移
情况
1 88 2 87 2 P22 1 91 2 93 2 P22 2 77 3 85 2 P32 2 88 2 87 2 P22 3 79 3 75 3 P33 3 108 1 111 1 P11 4 97 1 95 2 P12 4 94 2 89 2 P22 5 85 2 94 2 P22 5 83 3 72 3 P33 6 43 5 58 5 P55 6 115 1 94 2 P12 7 98 1 95 2 P12 7 95 2 72 3 P23 8 96 1 94 2 P12 8 92 2 91 2 P22 9 86 2 91 2 P22 9 92 2 95 2 P22 10 82 3 70 4 P34 10 85 2 84 2 P22 11 74 3 81 3 P33 11 99 1 83 3 P13 12 97 1 91 2 P12 12 89 2 97 1 P21 13 85 2 94 2 P22 13 97 1 88 2 P12 14 73 3 80 3 P33 14 59 5 61 4 P54 15 74 3 79 3 P33 15 104 1 82 3 P13 16 85 2 82 3 P23 16 94 2 97 1 P21 17 98 1 95 2 P12 17 96 1 95 2 P12 18 74 3 80 3 P33 18 94 2 92 2 P22 19 99 1 86 2 P12 19 98 1 84 2 P12 20 60 4 76 3 P43 20 72 3 60 4 P34 21 75 3 94 2 P32 21 95 2 94 2 P22 22 77 3 90 2 P32 22 101 1 95 2 P12 23 80 3 77 3 P33 23 95 2 93 2 P22 24 94 2 88 2 P22 24 87 2 86 2 P22 25 76 3 89 2 P32 25 103 1 85 2 P12 26 85 2 91 2 P22 26 97 1 83 3 P13 27 88 2 94 2 P22 27 95 2 96 1 P21 28 88 2 80 3 P23 28 98 1 87 2 P12 29 77 3 72 3 P33 29 96 1 90 2 P12
