2020全国中考数学全等三角形(解析版)

全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。

类型一、倍长中线模型目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。

将分散的条件集中到一个三角形中。

1【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：(1)如图2，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.ASA(2)如图2，AD长的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．2(培优)已知△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD,BE，点F为BE中点．AD；(1)如图1，求证：BF=12(2)将△DCE绕C点旋转到如图2所示的位置，连接AE,BD，过C点作CM⊥AD于M点．①探究AE和BD的关系，并说明理由；②连接FC，求证：F，C，M三点共线．1.如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AB=2AE．2.(1)如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；(2)如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；(3)如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．3.(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明(往往需证2次全等)3如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，∠CAD=12∠BAE．(1)求证：CD=BC+DE；(2)若∠B=75°，求∠E的度数．4(培优)在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．(1)求证：∠BFC=90°+12∠A；(2)已知∠A=60°．①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．1.如图，△ABC为等边三角形，若∠DBC=∠DAC=α0°<α<60°，则∠BCD=(用含α的式子表示)．2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠BAD．∠EAF=12(1)当点E、F分别在边BC、CD上时(如图1)，请说明EF=BE+FD的理由．(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时(如图2)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．3.阅读下面材料：【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6，求BC的长．【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决(如图2)．【问题解答】(1)参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；(2)拓展提升：如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，BD=2.3，BC=2．求AD 的长．类型三、一线三等角模型应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

证明三角形全等的五种基本思路考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对证明三角形全等的五种基本思路的理解！【类型1已知两边对应相等，寻找第三边相等，用“SSS”】1(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，AC=FD，BC=ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE=FB；②AB=FE；③AE=BE；④BF=BE，可利用的是()A.①或②B.②或③C.①或③D.①或④2(2023春·陕西西安·七年级统考期末)如图，点E、F在BD上，且AB=CD，BF=DE、AE=CF，AC与BD交于点O．则下列说法不正确的是()A.BE=DFB.△AEB≌△CFDC.∠EAB=∠OAED.AE∥CF3(2023春·广东江门·八年级校考期中)如图，已知：PA=PB，AC=BD，PC=PD，△PAD和△PBC全等吗？请说明理由．4(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，点D，A，E，B在同一直线上，EF=BC，DF=AC，DA =EB.试说明：∠F=∠C.5(2023春·浙江杭州·八年级校考开学考试)如图，在△ABC中，点D，点E分别在边AB，边BC上，连接DE,AD=AC，ED=EC．(1)求证：∠ADE=∠C．(2)若AB⊥DE,∠B=30°，求∠A的度数．6(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上的一点，AE⊥CD 于点E，BF⊥CD交CD的延长线于点F，若CE=BF，AE=EF+BF，试判断直线AC与BC的位置关系，并说明理由．【类型2已知两边对应相等，寻找夹角相等，用“SAS”】1(2023春·贵州遵义·八年级统考阶段练习)如图，F，C是AD上两点，且AF=CD；点E，F，G在同一直线上，∠B=∠AGF，BC=EF求证：ΔABC≌ΔDEF.2(2023春·山西朔州·八年级校考期末)已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．(1)求证：AD=CE；(2)求证：AD⊥CE3(2023·陕西西安·九年级西北工业大学附属中学校考期末)已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D为AB边上一点，且不与A、B两点重合，AE⊥AB，AE=BD．连接DE、DC，求证：CE=CD．4(2023春·七年级课时练习)如图，点E在AB上，DE∥BC，且DE=AB，EB=BC，连接EC并延长，交DB的延长线于点F．(1)求证：AC=DB；(2)若∠A=30°，∠BED=40°，求∠F的度数．5(2023春·上海·七年级专题练习)如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、E在一直线上，AC、BD交于F点，AE、CD交于G点，试说明FG∥BE的理由．6(2023春·四川成都·八年级校考开学考试)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上载取CE=BD，连接AD、AE.(1)如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，求证：△ABD≌△ACE；(2)在(1)的条件下，求出∠ADE的度数；(3)如图2，当点D落在线段BC(不含端点)上时，作AH⊥BC，垂足为H，作AG⊥EC,垂足为G，连接HG，判断△GHC的形状，并说明现由.【类型3已知两角对应相等，寻找夹边相等，用“ASA”】1(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，若AB: BC=5:7，S△ADC=8，则S△ABD=.2(2023春·湖南永州·八年级校考期中)如图四边形ABCD中，∠AEB=∠CFD，∠BAE=∠DCF，AF=CE．求证：BE=DF．3(2023春·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考阶段练习)如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且∠CAD=45°．若BC=7，AD=5，求AF的长．4(2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习)如图，∠ABC=∠E,∠D=∠A,BE=CF，求证：△ABC≌△DEF．5(2023春·云南文山·七年级统考期末)如图．已知线段AB，分别过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，点E为∠MAB平分线上的一点，且BE⊥AE，垂足为E，若∠BAE=60°，请解答下列问题：(1)求∠EBN的度数；(2)过点E作直线CD，交AM于点D，交BN于点C．求证：DE=CE；(3)无论线段DC的两个端点在AM、BN上如何移动，只要线段DC经过点E，那么AD+BC的值是否发生变化？请说明理由．6(2023春·陕西咸阳·七年级统考期末)【问题背景】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC和∠BAC的平分线BE和AD相交于点G．【问题探究】(1)∠AGB的度数为°；(2)过G作GF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，判断AB与FB的数量关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，若AD=10，FG=6，求GH的长．【类型4已知一边一角对应相等，寻找另一角对应相等，用“AAS”或“ASA”】7(2023春·四川德阳·八年级校考阶段练习)如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE =74S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论是()A.①②③B.②③④C.①②④⑤D.①②⑤8(2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习)如图，∠ABC=∠CAD=90°，AB=4，AC=AD，求△BAD的面积．9(2023春·江西鹰潭·七年级校考阶段练习)将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放，连接DC．已知∠DBA=∠CBE，∠BDE=∠BAC，AC=DE=DC．(1)试说明△ABC≌△DBE．(2)若∠ACD=72°，求∠BED的度数．10(2023春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，且AD=CD．(1)求证：△ABD≅△CFD；(2)若BC=9，AD=7，求AF的长．11(2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末)如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．(1)求证：△ACD≌△CBE；(2)若AD=12，DE=7，求BE的长．12(2023春·七年级课时练习)(1)如图1，AB=AC，∠B=∠EDF，DE=DF，FC=2，BE=4，求BC的长度.(2)如图2，AB=AC，∠ABC=∠EDF，DE=DF，探索BC、BE、CF的数量关系，并证明.(3)如图3，在中，∠B=∠ADE=45°，∠C=22.5°，DA=DE，AB=3，BD=2，则DC=.【类型5已知一边一角对应相等，寻找夹该角的另一边对应相等，用“SAS”】13(2023春·江苏·七年级统考期末)如图，在五边形ABCDE中，AB=AE=4，BC=3，DE=2，∠BAE，则五边形ABCDE的面积等于()∠ABC=∠AED=90°，∠DAC=12A.16B.20C.24D.2614(2023春·广东深圳·七年级统考期末)如图，长方形ABCD中，点E为AD上一点，连接CE，将长方形ABCD沿着直线CE折叠，点D恰好落在AB的中点F上，点G为CF的中点，点P为线段CE上的动点，连接PF、PG，若AE=a、ED=b、AF=c，则PF+PG的最小值是()A.a+c-bB.b+2cC.a+b+2cD.a+b15(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，线段AB与CF交于点E，点D为CF上一点，连接AD、AF、BC，已知AD=BC，∠1=∠2．(1)请添加一个条件使△ADF≌△BCE，并说明理由．(2)在(1)的条件下请探究AE与BE的数量关系，并说明理由．16(2023·江苏·八年级假期作业)已知：在△ABC中，AB=CD-BD，AD⊥BC，求证：∠B=2∠C．17(2023·江苏·八年级假期作业)如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．(1)按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．(2)求证：△ACD≌△EBD．(3)求证：AB+AC>2AD．(4)若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．18(2023春·江西吉安·七年级统考期末)在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的将分线，BD 与CE相交于点P．(1)如图1，如果∠A=60°，∠ACB=90°，那么∠BPC=．(2)如图2，如果∠A=60°，∠ACB不是直角，那么(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)小月同学在完成(2)之后，发现CD、BE、BC三者之间存在着一定的数量关系，于是她在边CB上截取了CF=CD，连接PF，把DC、EB转换到BC边上来，请你写出小月同学发现，并完成她的说理过程．证明三角形全等的五种基本思路考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对证明三角形全等的五种基本思路的理解！【类型1已知两边对应相等，寻找第三边相等，用“SSS”】1(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，AC=FD，BC=ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE=FB；②AB=FE；③AE=BE；④BF=BE，可利用的是()A.①或②B.②或③C.①或③D.①或④【答案】A【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可．【详解】解：∵AE=FB，∴AE+BE=FB+BE，∴AB=FE，在△ABC和△FED中，AC=FD BC=ED AB=FE，∴△ABC≌△FED(SSS)，∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，∴可利用的是①或②，故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．2(2023春·陕西西安·七年级统考期末)如图，点E、F在BD上，且AB=CD，BF=DE、AE=CF，AC与BD交于点O．则下列说法不正确的是()A.BE=DFB.△AEB≌△CFDC.∠EAB=∠OAED.AE∥CF【答案】C【分析】利用线段的和差即可判断A选项；利用“SSS”即可证明△AEB≌△CFD，判断B选项；利用全等三角形的性质和平行线的判定，即可判断C、D选项．【详解】解：∵BF=DE，∴BF-EF=DE-EF，∴BE=DF，A选项正确；在△AEB和△CFD中，AB=CD BE=DF AE=CF，∴△AEB≌△CFD SSS，B选项正确；∵△AEB≌△CFD，∴∠EAB=∠FCD，∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，C选项不正确，D选项正确．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．3(2023春·广东江门·八年级校考期中)如图，已知：PA=PB，AC=BD，PC=PD，△PAD和△PBC全等吗？请说明理由．【答案】详见解析【分析】由AC=BD，利用线段的和差关系可得AD=BC，利用SSS即可证明△PAD≌△PBC.【详解】∵AC=BD，∴AC+CD=BD+CD，即AD=BC，又∵PA=PB，PC=PD，∴△PAD≌△PBC(SSS)【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.4(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，点D，A，E，B在同一直线上，EF=BC，DF=AC，DA =EB.试说明：∠F=∠C.【答案】见解析【分析】根据SSS的方法证明△DEF≌△ABC,即可得到结论.【详解】因为DA=EB，所以DE=AB.在△DEF和△ABC中，因为DE=AB，DF=AC，EF=BC，所以△DEF≌△ABC(SSS)，所以∠F=∠C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,属于简单题,找到证明全等的方法是解题关键.5(2023春·浙江杭州·八年级校考开学考试)如图，在△ABC 中，点D ，点E 分别在边AB ，边BC 上，连接DE ,AD =AC ，ED =EC．(1)求证：∠ADE =∠C ．(2)若AB ⊥DE ,∠B =30°，求∠A 的度数．【答案】(1)证明见解析(2)60°【分析】(1)连接AE ，利用SSS 定理证出△ADE ≅△ACE ，根据全等三角形的性质即可得证；(2)先根据垂直的定义可得∠ADE =90°，再根据(1)的结论可得∠C =90°，然后根据三角形的内角和定理即可得．【详解】(1)证明：如图，连接AE ，在△ADE 和△ACE 中，AD =ACED =EC AE =AE，∴△ADE ≅△ACE SSS ，∴∠ADE =∠C ．(2)解：∵AB ⊥DE ，∴∠ADE =90°，由(1)已证：∠ADE =∠C ，∴∠C =90°，∵∠B =30°，∴∠A =180°-∠B -∠C =60°．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、垂直的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．6(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，在△ABC 中，AC =BC ，D 是AB 上的一点，AE ⊥CD 于点E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于点F ，若CE =BF ，AE =EF +BF ，试判断直线AC 与BC 的位置关系，并说明理由．【答案】AC⊥BC．理由见解析【分析】证明∴△ACE≌△CBF，可得∠BCF=∠CAE，再根据AE⊥CD，利用等量代换可得∠ACB=90°即可．【详解】解：AC⊥BC．理由如下：∵AE=EF+BF，CE=BF，∴AE=EF+CE，∴AE=CF，在△ACE和△CBF中，AC=CB AE=CF CE=BF，∴△ACE≌△CBF SSS，∴∠BCF=∠CAE，∵AE⊥CD，∴∠AEC=90°，∴∠CAE+∠ACE=90°，∴∠ACB=∠BCF+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°，∴AC⊥BC．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质证明△ACE≌△CBF是解题的关键．【类型2已知两边对应相等，寻找夹角相等，用“SAS”】1(2023春·贵州遵义·八年级统考阶段练习)如图，F，C是AD上两点，且AF=CD；点E，F，G在同一直线上，∠B=∠AGF，BC=EF求证：ΔABC≌ΔDEF.【答案】证明见解析【分析】根据同位角相等，两直线平行得到BC∥EG，再根据平行线的性质得到∠BCA=∠EFD．根据等式的性质得到AC=DF，即可根据SAS证明△ABD≌△DEF．【详解】∵∠B=∠AGF，∴BC∥EG，∴∠BCA=∠EFD．∵AF=CD，∴AC=DF．在△ABD和△DEF中，∵AC=DF，∠BCA=∠EFD，BC=EF，∴△ABD≌△DEF(SAS)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．2(2023春·山西朔州·八年级校考期末)已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．(1)求证：AD=CE；(2)求证：AD⊥CE【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【详解】试题分析：(1)要证AD=CE，只需证明△ABD≌△CBE，由于△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，所以易证得结论．(2)延长AD，根据(1)的结论，易证∠AFC=∠ABC=90°，所以AD⊥CE．试题解析：(1)∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE，∴△ABD≌△CBE，∴AD=CE．(2)延长AD分别交BC和CE于G和F，∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD=∠BCE，∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，又∵∠BGA=∠CGF，∴∠AFC=∠ABC=90°，∴AD⊥CE．考点：1.等腰直角三角形；2.全等三角形的性质；3.全等三角形的判定．3(2023·陕西西安·九年级西北工业大学附属中学校考期末)已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D为AB边上一点，且不与A、B两点重合，AE⊥AB，AE=BD．连接DE、DC，求证：CE=CD．【答案】见解析.【分析】由已知可得△ABC是等腰直角三角形，由AE⊥AB即可得到∠CAE=∠B，从而可利用SAS判定△ACE≌△BCD,得证．【详解】证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠CAD=45°．∵AE⊥AB，∴∠CAE+∠CAD=90°．∴∠CAE=45°．∴∠CAE=∠B．在△ACE和△BCD中，AE=BD∠CAE=∠B AC=BC，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴CE=CD．【点睛】本题主要考查学生对全等三角形的判定方法及等腰直角三角形的性质的综合运用，证明△ACE≌△BCD 是解题的关键．4(2023春·七年级课时练习)如图，点E在AB上，DE∥BC，且DE=AB，EB=BC，连接EC并延长，交DB的延长线于点F．(1)求证：AC=DB；(2)若∠A=30°，∠BED=40°，求∠F的度数．【答案】(1)见解析(2)∠F=40°【分析】(1)由DE∥BC得到∠ABC=∠DEB，证明△ABC≌△DEB即可；(2)推导BE=BC，即∠BCE=∠BEC解题即可．【详解】(1)证明：∵DE∥BC，∴∠ABC=∠DEB，在△ABC和△DEB中，AB=DE∠ABC=∠DEB BC=DB，∴△ABC≌△DEB(SAS)，∴CD=CE；(2)解：∵△ABC≌△DEB，∴∠D=∠A=30°，∵DE∥BC，∴∠FBC=∠D=30°，∵∠CDE=40°∴∠EBC=40°，∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC=70°，∴∠F=40°．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键．5(2023春·上海·七年级专题练习)如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、E在一直线上，AC、BD交于F点，AE、CD交于G点，试说明FG∥BE的理由．【答案】见解析【分析】运用SAS证得△ACD≌△ACE，得到∠CAE=∠CBD，∠BCD=∠ACE;由公共部分∠ACD,利用角和差可确定∠BCF=∠DCF，结合BC=AC，判定△BCF≌△ACG，可得∠ACD=∠BAC=60°,CF= CG;可以发现△CFG也是等边三角形，则∠CFG=60°,即∠CFG=∠BCA=60°，利用平行线判定定理，即可判定平行．【详解】解：理由如下：∵已知△ABC和△CDE都是等边三角形∴AC=AB,CD=CE,∠BAC=∠ABC=∠BCA=∠DCE=∠CED=∠EDC=60°∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE在△ACD和△ACE中，BC=AC∠BCD=∠ACE CD=CE∴△ACD≌△ACE(SAS)∴∠CAE=∠CBD，∠BCD=∠ACE∴∠BCD-∠ACD=∠ACE-∠ACD 即∠ACD=∠BCA=60°；在△BCF和△ACG中，∠CAE=∠CBD AC=BC∠ACD=∠BCA∴△BCF≌△ACG(ASA)∴CF=CG∴△CFG是等边三角形∴∠CFG=60°∴∠CFG=∠BCA=60°∴FG∥BE(内错角相等，两直线平行)【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质以及平行线的判定，其中全等三角形的判定是解题的关键．6(2023春·四川成都·八年级校考开学考试)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上载取CE=BD，连接AD、AE.(1)如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，求证：△ABD≌△ACE；(2)在(1)的条件下，求出∠ADE的度数；(3)如图2，当点D落在线段BC(不含端点)上时，作AH⊥BC，垂足为H，作AG⊥EC,垂足为G，连接HG，判断△GHC的形状，并说明现由.【答案】(1)证明见解析；(2)30°；(3)∆HGC 为等边三角形，理由见解析.【分析】(1)利用SAS 定理证明△ABD ≌△ACE ；(2)根据全等三角形的性质得到AD =AE ，∠CAE =∠BAD ，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可求得∠ADE 的度数；【详解】解：(1)∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠ABC =∠ACB =30°，∵∠ACM =∠ACB ，∴∠ACM =∠ABC ，在△ABD 和△ACE 中，AB =AC∠ABC =∠ACEBD =CE ，∴△ABD ≌△ACE .(2)由(1)可知，△ABD ≌△ACE ，∵ΔABD ≌ΔACE ，∴AD =AE ，∠BAD =∠CAE ．∴∠CAE +∠DAC =∠BAD +∠DAC =∠BAC =120°．即∠DAE =120°．∵AD =AE ，∴∠ADE =∠AED =30°；(3)∆HGC 为等边三角形.理由:∵AH ⊥BC ,AG ⊥EC ,∴∠AHC =∠AGC =90°.∵∠ACB =∠ACM ,AC =AC ,∴ΔAHC ≅ΔAGC (ASA ).∴HC =GC .∵∠HCA =30°,∴∠HCG =60°.∴∆HGC 为等边三角形.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【类型3已知两角对应相等，寻找夹边相等，用“ASA ”】1(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，AD ⊥BD ，若AB :BC =5:7，S △ADC =8，则S △ABD =.【答案】20【分析】延长AD 交BC 于点E ，证△ABD ≌△EBD 可得AB =BE ，S △ABD =S △EBD ，AD =DE ，由AB :BC =5:7可得S △EBD ：S △ECD =5:2，进而即可求解；【详解】解：如图，延长AD 交BC 于点E ，∵BD 平分∠ABC ，AD ⊥BD ，∴∠ABD =∠EBD ，∠ADB =∠EDB =90°∵BD =BD ，∴△ABD ≌△EBD ASA∴AB =BE ，S △ABD =S △EBD ，AD =DE ，∵AB :BC =5:7，即BE :BC =5:7∴BE :EC =5:2∴S △EBD ：S △ECD =5:2，∵AD =DE ，S △ADC =8，∴S △ECD =S △ADC =8，∴S △ABD =52S △ADC =20故答案为：20．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义，三角形中线的性质，掌握相关知识并正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．2(2023春·湖南永州·八年级校考期中)如图四边形ABCD 中，∠AEB =∠CFD ，∠BAE =∠DCF ，AF =CE ．求证：BE =DF ．【答案】证明见解析【分析】根据等量代换可得AE =CF ，根据全等三角形的判定和性质即可证明．【详解】证明：∵AF =CE ，AF +FE =CE +FE ，∴AE =CF ，在△ABE 和△CDF 中，∠AEB =∠CFDAE =CF ∠BAE =∠DCF，∴△ABE ≌△CDF ASA ，∴BE =DF ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．3(2023春·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考阶段练习)如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB于E ，AD 与CE 交于点F ，且∠CAD =45°．若BC =7，AD =5，求AF 的长．【答案】3【分析】证明△ABD ≌△CFD ASA ，得到BD =DF ，利用BD =BC -CD ，求出BD 的长，再利用AF =AD -DF ，计算即可．【详解】解：∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠ADB =∠ADC =∠CDF =∠CEB =90°，∴∠BAD +∠B =∠FCD +∠B =90°，∴∠BAD =∠FCD ，∵∠ADC =90°，∠CAD =45°，∴∠ACD =45°，∴AD =CD ，在△ABD 和CFD 中，∠ADB =∠CDFAD =DC ∠BAD =∠DCF，∴△ABD ≌△CFD ASA ．∴BD =DF ．∵BC =7，AD =DC =5，∴DF =BD =BC -CD =2，∴AF =AD -DF =5-2=3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明△ABD ≌△CFD ．4(2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习)如图，∠ABC =∠E ,∠D =∠A ,BE =CF ，求证：△ABC ≌△DEF．【答案】见解析【分析】根据已知条件证明EF =CB ，进而根据AAS 证明△ABC ≌△DEF ．【详解】证明：∵BE =CF ，∴BE +BF =BF +FC ，即EF =CB ，在△ABC ,△DEF 中，∠D =∠A∠ABC =∠EEF =CB∴△ABC ≌△DEF AAS ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．5(2023春·云南文山·七年级统考期末)如图．已知线段AB ，分别过线段AB 的两个端点作射线AM 、BN，使AM∥BN，点E为∠MAB平分线上的一点，且BE⊥AE，垂足为E，若∠BAE=60°，请解答下列问题：(1)求∠EBN的度数；(2)过点E作直线CD，交AM于点D，交BN于点C．求证：DE=CE；(3)无论线段DC的两个端点在AM、BN上如何移动，只要线段DC经过点E，那么AD+BC的值是否发生变化？请说明理由．【答案】(1)30°(2)见解析(3)AD+BC的值不会发生变化，都等于AB的长，理由见解析【分析】(1)根据平行线的性质得出∠BAM+∠ABN=180°,得出∠ABN=60°,再根据直角三角形两锐角互余可得∠ABE=30°,从而可得出结论；(2)延长AE交BN于点F，证明△AEB≌△FEB得到AB=FB，再根据ASA证明△AED≌△FEC即可得出DE=CE；(3)由(2)知△AED≌△FEC得AD=FC，从而可证明AD=FC,再证明FB=AB，从而可得出结论．【详解】(1)∵AE是∠BAM的平分线，∴∠BAE=∠MAE=1∠MAB,2∵∠BAE=60°,∴∠BAM=2∠BAE=120°,∵AM∥BN,∴∠BAM+∠ABN=180°,∴∠ABN=180°-∠BAM=180°-120°=60°,∵AE⊥BE,∴∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°,∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-60°=30°,∴∠EBN=∠ABN-∠ABE=60°-30°=30°；(2)证明：如图所示，延长AE交BN于点F，∵AE⊥BE，∴∠AEB=∠FEB=90°，∵AE是∠BAM的平分线，∴∠BAE=DAF，∵AM∥BN，∴∠BFA=∠DAF，∠ADE=∠FEC，∴∠EAB=∠EFB，又∵BE=BE，∴△AEB≌△FEB AAS，∴AE=FE,∴△AED≌△FEC ASA，∴DE=CE；(3)解：AD+BC的值不会发生变化，都等于AB的长，理由如下：由(2)得△AED≌△FEC，△AEB≌△FEB∴AD=FC,AB=BF，∴AD+BC=FC+BC=BF=AB，∴线段DC经过点E，那么AD+BC的值不会发生变化，都等于AB的长【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键6(2023春·陕西咸阳·七年级统考期末)【问题背景】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC和∠BAC的平分线BE和AD相交于点G．【问题探究】(1)∠AGB的度数为°；(2)过G作GF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，判断AB与FB的数量关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，若AD=10，FG=6，求GH的长．【答案】(1)135(2)AB=BF，理由见解析(3)4【分析】(1)利用三角形内角和定理得到∠ABC+∠BAC=90°，再由角平分线的定义得到∠GAB+∠GBA=12∠ABC+12∠BAC=45°，由此即可利用三角形内角和定理求出答案；(2)利用三角形内角和定理证明∠F=∠HAG，进而证明∠F=∠BAG，由此可证明△ABG≌△FBG得到AB=BF；(3)由全等三角形的性质得到AG=FG=6，则DG=AD-AG=4，再证明△AGH≌△FGD，即可得到GH=DG=4．【详解】(1)解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=90°，∵∠ABC和∠BAC的平分线BE和AD相交于点G，∴∠GAB=12∠BAC，∠GBA=12∠ABC，∴∠GAB+∠GBA=12∠ABC+12∠BAC=45°，∴∠AGB=180°-∠GAB-∠GBA=135°，故答案为：135；(2)解：AB=BF，理由如下：∵∠ACB=90°，∴∠ACF=90°，∵FG⊥AD，∴∠AGH=∠FCH=90°，又∵∠FHC=∠AHG，∴∠F=∠HAG，∵∠ABC和∠BAC的平分线BE和AD相交于点G，∴∠CAD=∠BAD，∠ABG=∠CBG，∴∠F=∠BAG，又∵BG=BG，∴△ABG≌△FBG AAS，∴AB=BF；(3)解：∵△ABG≌△FBG，∴AG=FG=6，∴DG=AD-AG=4，又∵∠AGH=∠FGD=90°，∠HAG=∠F，∴△AGH≌△FGD ASA，∴GH=DG=4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．【类型4已知一边一角对应相等，寻找另一角对应相等，用“AAS”或“ASA”】7(2023春·四川德阳·八年级校考阶段练习)如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE =74S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论是()A.①②③B.②③④C.①②④⑤D.①②⑤【答案】D【分析】①利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可判定；②证明△ABP≌△FBP，推出PA=PF，再证明△APH≌△FPD，推出PH=PD即可判定；③利用反证法，假设成立，推出矛盾即可；④可以证明S四边形ABDE=2S△ABP，据此即可判定；⑤由DH∥PE，利用等高模型即可判定．【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAP=∠DAC，∠ABP=∠FBP，∴∠BAD+∠ABE=12∠CAB+∠CBA=12×90°=45°，∴∠APB=180°-∠BAD+∠ABE=135°，故①正确；∴∠BPD=180°-∠APB=180°-135°=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPD=∠APF=90°，∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，在△ABP和△FBP中，∠ABP=∠FBP BP=BP∠APB=∠FPB，∴△ABP≌△FBP ASA，∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，∴∠PAH=∠BAP=∠PFD，在△APH和△FPD中，∠APH=∠FPD AP=FP∠PAH=∠PFD，∴△APH≌△FPD ASA，∴PH=PD，∴AD=AP+PD=PF+PH，故②正确；∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，∴HD∥EP，∴S△EPH=S△EPD，∴S△EPH+S△APE=S△EPD+S△APE，即S△APH=S△AED，故⑤正确；∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD=S△ABP+S△AEP+S△EPH+S△PBD=S△ABP+S△APH+S△PBD=S△ABP+S△FPD+S△PBD=S△ABP+S△FBP=2S△ABP，故④不正确；若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH，∵DH∥BE，∴∠CDH=∠CBE=∠ABE，∴∠CDE=∠ABC，∴DE∥AB，这个显然与已知条件不符，故③不正确，综上所述，正确的结论有①②⑤，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．8(2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习)如图，∠ABC=∠CAD=90°，AB=4，AC=AD，求△BAD的面积．【答案】8【分析】过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，通过证明△DAE≌△ACB求得三角形高，从而求面积．【详解】解：过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，∵∠ABC=∠CAD=90°，∴∠DEA=∠ABC，∠DAE+∠ADE=∠DAE+∠BAC=90°，∴∠ADE=∠BAC，又∵AC=AD，∴△DAE≌△ACB，∴DE=AB=4，∴S△BAD=12AB⋅DE=12×4×4=8，即△BAD的面积为8．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．9(2023春·江西鹰潭·七年级校考阶段练习)将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放，连接DC．已知∠DBA=∠CBE，∠BDE=∠BAC，AC=DE=DC．(1)试说明△ABC≌△DBE．(2)若∠ACD=72°，求∠BED的度数．【答案】(1)见解析(2)∠BED=36°【分析】(1)利用AAS证明三角形全等即可；(2)全等三角形的性质，得到∠BED=∠BCA，证明△DBC≌△ABC SSS，得到∠BCD=∠BCA=12∠ACD=36°，即可得解．【详解】(1)解：因为∠DBA=∠CBE，所以∠DBA+∠ABE=∠CBE+∠ABE，即∠DBE=∠ABC．在△ABC和△DBE中，∠ABC=∠DBE ∠BAC=∠BDE AC=DE，所以△ABC≌△DBE AAS．(2)因为△ABC≌△DBE，所以BD=BA，∠BCA=∠BED．在△DBC和△ABC中，DC=AC CB=CB BD=BA，所以△DBC≌△ABC SSS，所以∠BCD=∠BCA=12∠ACD=36°，所以∠BED=∠BCA=36°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等．10(2023春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，且AD=CD．(1)求证：△ABD≅△CFD；(2)若BC=9，AD=7，求AF的长．【答案】(1)见解析(2)AF=5【分析】(1)先证明∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，则∠BAD=∠FCD=90°-∠B，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABD≅△CFD；(2)先由BC=9，AD=CD=7求得BD=2，再根据全等三角形的对应边相等证明BD=FD=2，则AF= AD-FD=5．【详解】(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°．∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°．∴∠BAD=∠FCD．在△ABD和△CFD中，∠ADB=∠CDF, AD=DC,∠BAD=∠FCD,∴△ABD≌△CFD ASA．(2)∵△ABD≌△CFD，∴BD=DF．∵BC=9，AD=DC=7，∴BD=BC-CD=2．∴DF=2．∴AF=AD-DF=7-2=5．【点睛】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且通过推理证明三角形全等的条件是解题的关键．11(2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末)如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．(1)求证：△ACD≌△CBE；(2)若AD=12，DE=7，求BE的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)根据垂直定义求出∠BEC=∠ACB=∠ADC，根据等式性质求出∠ACD=∠CBE，根据AAS 证明△BCE≌△CAD；(2)根据全等三角形的对应边相等得到AD=CE，CD=BE，再根据AD=12，DE=7，即可解答．【详解】(1)证明：∵∠ACB=90°,BE⊥CE，∴∠ECB+∠ACD=90°,∠ECB+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，∵AD⊥CE,BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE；(2)解：∵△ACD≌△CBE，∴AD=CE,CD=BE，∵AD=12,DE=7，∴BE=CD=CE-DE=12-7=5．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ADC和△CEB全等的三个条件．12(2023春·七年级课时练习)(1)如图1，AB=AC，∠B=∠EDF，DE=DF，FC=2，BE=4，求BC的长度.(2)如图2，AB=AC，∠ABC=∠EDF，DE=DF，探索BC、BE、CF的数量关系，并证明.(3)如图3，在中，∠B=∠ADE=45°，∠C=22.5°，DA=DE，AB=3，BD=2，则DC=.【答案】(1)6；(2)BC=BE-CF，证明见解析；(3)5【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=∠EDF，再根据三角形的内角和定理得到∠BED=∠FDC，根据全等三角形的性质得到BD=FC=2，BE=CD=4，最后由BC=BD+CD即可解答；(2)根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=∠EDF，求得∠ABD=∠DCF，最后根据全等三角形的性质即可解答；(3)在△ABC内部作∠CEF=∠C交BC于F，于是得到∠DFE=∠CEF+∠C=45°，EF=CF，求得∠DFE=∠B=∠ADE=45°，最后根据全等三角形的性质得到BD=EF=CF=2，最后根据DC=DF+ CF即可解答．【详解】(1)解：∵AB=AC，∠B=∠EDF，∴∠B=∠C=∠EDF，∵∠B+∠BED+∠BDE=∠FDC+∠EDF+∠BDE，∴∠BED=∠FDC，在△BED和△FDC中，∠B=∠C∠BED=∠CDF DE=DF∴△BED≅△FDC(AAS)，∴BD=FC=2，BE=CD=4，∴BC=BD+CD=6；(2)BC=BE-CF，证明如下：∵AB=AC，∠ABC=∠EDF，∴∠ABC=∠ACB=∠EDF，∴∠ABD=∠DCF，∠BED+∠BDE=∠BDE+∠CDF，∴∠BED=∠CDF，∴△BED≅△CDF(AAS)，∴BD=CF，BE=CD，∴BC=CD-BD=BE-CF；(3)如图：在△ABC内部作∠CEF=∠C交BC于F，∴∠DFE=∠CEF+∠C=45°，EF=CF，∵∠B=∠ADE=45°，∴∠DFE=∠B=∠ADE=45°，∵∠BAD+∠B+∠ADB=∠FDE+∠ADE+ADB=180°，∴∠BAD=∠FDE，∴△BAD≌△FDE(AAS)，∴BD=EF=CF=2，AB=DF=3，∴DC=DF+CF=5．【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．【类型5已知一边一角对应相等，寻找夹该角的另一边对应相等，用“SAS ”】13(2023春·江苏·七年级统考期末)如图，在五边形ABCDE 中，AB =AE=4，BC =3，DE =2，∠ABC =∠AED =90°，∠DAC =12∠BAE ，则五边形ABCDE 的面积等于()A.16B.20C.24D.26【答案】B【分析】延长DE 至F ，使EF =BC ，连接AF ，通过证明△AEF ≌△ABC 可得∠FAE =∠CAB ，AF =AC ，由∠DAC =12∠BAE 可得∠DAF =∠DAC ，从而可证明△ADF ≌△ADC SAS ，得到S △ADC =S △AFD =S △ADE +S △ACB ，最后由S 五边形ABCDE =S △ADE +S △ACD +S △ABC ，进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，延长DE 至F ，使EF =BC ，连接AF ，则∠AEF =90°，在△AEF 和△ABC 中，EF =BC∠AEF =∠ABC AE =AB，∴△AEF ≌△ABC SAS ，∴∠FAE =∠CAB ，AF =AC ，∵∠DAC =12∠BAE ，∠BAE =∠EAD +∠DAC +∠BAC ，∴∠DAC =∠EAD +∠BAC =∠EAD +∠EAF =∠DAF ，在△ADF 和△ADC 中，AD =AD∠DAF =∠DAC AF =AC ，∴△ADF ≌△ADC SAS ，∴S △ADC =S △AFD =S △ADE +S △ACB ，∵S △ADE =12DE ⋅AE =12×2×4=4，S △ABC =12BC ⋅AB =12×3×4=6，∴S △ADC =4+6=10，∴S 五边形ABCDE =S △ADE +S △ACD +S △ABC =4+10+6=20，故选：B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造全等三角形，是解题的关键．14(2023春·广东深圳·七年级统考期末)如图，长方形ABCD 中，点E 为AD 上一点，连接CE ，将长方形ABCD 沿着直线CE 折叠，点D 恰好落在AB 的中点F 上，点G 为CF 的中点，点P 为线段CE 上的动点，连接PF 、PG ，若AE =a 、ED =b 、AF =c ，则PF +PG 的最小值是()。

专题06全等三角形中的截长补短模型【模型展示】如图，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围。

解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值【证明】延长AD至E，使DE=AD，连接BE,如图所示，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD在△BDE和△CDA中，BD=CD∠BDE=∠ADCDE=AE∴△BDE≌△CDA(SAS)∴BE=AC=8在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB-BE＜AE＜AB+BE∴12-8＜AE＜12+8∴2＜AD＜10【模型证明】解决方案如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF，求证：BE+CF＞EF.【证明】延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM,如图所示，同上例得△BMD≌△CFD(SAS)∴BM=CF∵DE⊥DF,DM=DF∴EM=EF在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD,∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB,AD于E,F两点连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并加以证明.【证明】延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,如图所示∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°∴∠NBC=∠D在△NBC和△FDC中BN=DF∠NBC =∠DBC =DC∴△NBC ≌△FDC （SAS ）∴CN =CF ,∠NCB =∠FCD∵∠BCD =140°，∠ECF =70°∴∠BCE +∠FCD =70°∴∠ECN =70°=∠ECF在△NCE 和△FCE 中CN =CF∠ECN =∠ECFCE =CE∴△NCE ≌△FCE (SAS )∴EN =EF∴BE +DF =EF .【题型演练】一、解答题1．阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，2B C ∠=∠．求证：AB BD AC +=．李老师给出了如下简要分析：“要证AB BD AC +=就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：‘截长法’如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD =__________即可，这就将证明线段和差问题__________为证明线段相等问题，只要证出 __________≌△__________，得出B AED ∠=∠及BD =_________，再证出∠__________=∠___________，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是‘已知AD 平分BAC ∠，将ABD △沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处’成为可能．方法二：“补短法”如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可．此时先证∠__________C =∠，再证出 _________≌△_________，则结论成立．”“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【答案】方法一：CE ；转化；ABD ；AED ；DE ；EDC ；C ；方法二：F ；AFD ；ACD【分析】方法一：在AC 上截取AE AB =，由SAS 可证ABD AED ∆≅∆可得B AED ∠=∠，BD=DE ，根据等角对等边得到CE=DE ，即可求证；方法二：延长AB 至点F ，使BF BD =，由AAS 可证AFD ACD ∆≅∆，可得AC=AF ，即可证明．【详解】方法一：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2∵AD 平分BAC ∠，∴BAD DAC ∠=∠，在ABD ∆和AED ∆中AE AB BAD DAC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD AED ∆≅∆，∴B AED ∠=∠，BD=DE ，∵2B C ∠=∠，∴2AED C∠=∠而2AED C EDC C ∠=∠+∠=∠，∴EDC C ∠=∠，∴DE=CE ，∴AB+BD=AE+CE=AC ，故答案为：CE ；转化；ABD ；AED ；DE ；EDC ；C ；方法二：如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，∴F BDF∠=∠∴2ABD F BDF F∠=∠+∠=∠∴2ABD C∠=∠∴F C∠=∠在AFD ∆和ACD ∆中FAD CAD F C AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AFD ACD ∆≅∆，∴AC=AF ，∴AC=AB+BF=AB+BD ，故答案为：F ；AFD ；ACD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线，核心思想为数学中的转化思想，此类题的关键是要找到最长边和最短边，然后确定截取辅助线的方式．2．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．（1）如图1，ABC 是等边三角形，点D 是边BC 下方一点，120BDC ∠=︒，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系．解题思路：延长DC 到点E ，使CE BD =，连接AE ，根据180BAC BDC ∠+∠=︒，可证ABD ACE ∠=∠，易证得ABD ≌ACE ，得出ADE 是等边三角形，所以AD DE =，从而探寻线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系．根据上述解题思路，请写出DA 、DB 、DC 之间的数量关系是______，并写出证明过程；【拓展延伸】（2）如图2，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，若点D 是边BC 下方一点，90BDC ∠=︒，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为2cm 的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ 的平方为多少？【答案】（1）DA =DC +BD ，见解析；（2）()222AD DC BD =+；见解析；（3）2【分析】（1）由等边三角形知AB =AC ，∠BAC =60°，结合∠BDC =120°知∠ABD +∠ACD =180°，由∠ACE +∠ACD =180°知∠ABD =∠ACE ，证△ABD ≌△ACE 得AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，再证△ADE 是等边三角形得DA =DE =DC +CE =DC +DB ．（2）延长DC 到点E ，使CE =BD ，连接AE ，先证△ABD ≌△ACE 得AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，据此可得∠DAE =∠BAC =90°，由勾股定理知DA 2+AE 2=DE 2，继而可得2AD 2=（DC +BD ）2；（3）由直角三角形的性质知QN =12MN =1，MQ=利用（2）中的结论知()222PQ QN MQ =+，据此可得答案．【详解】解：（1）DA =DC +BD ，理由如下：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =60°，∵∠BDC =120°，∴∠ABD +∠ACD =360°-∠BAC -∠BDC =180°，又∵∠ACE +∠ACD =180°，∴∠ABD =∠ACE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC ABD ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，∵∠ABC =60°，即∠BAD +∠DAC =60°，∴∠DAC +∠CAE =60°，即∠DAE =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴DA =DE =DC +CE =DC +DB ，即DA =DC +DB ，故答案为：DA =DC +BD ；（2）()222AD DC BD =+，如图2，延长DC 到点E ，使CE =BD ，连接AE，∵∠BAC =90°，∠BDC =90°，∴∠ABD +∠ACD =360°-∠BAC -∠BDC =180°，∵∠ACE +∠ACD =180°，∴∠ABD =∠ACE ，∵AB =AC ，CE =BD ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC ABD ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，∴∠DAE =∠BAC =90°，∴DA 2+AE 2=DE 2，∴()222AD DC BD =+；（3）如图3，连接PQ，∵MN =2，∠QMN =30°，∠MQN =90°，∴QN =12MN =1，∴MQ ===由（2）知()222PQ QN MQ =+．∴()(2221=222QN MQ PQ +==+【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．如图，在等边△ABC 中，点P 是BC 边上一点，∠BAP ＝α（30°＜α＜60°），作点B 关于直线AP 的对称点D ，连接DC 并延长交直线AP 于点E ，连接BE ．（1）依题意补全图形，并直接写出∠AEB 的度数；（2）用等式表示线段AE ，BE ，CE 之间的数量关系，并证明．分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质……②通过截长补短，利用60°角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的．请根据上述分析过程，完成解答过程．【答案】（1）图见解析，∠AEB ＝60°；（2）AE ＝BE ＋CE ，证明见解析【分析】（1）依题意补全图形，如图所示：然后连接AD ，先求出60CAP α∠=︒-，然后根据轴对称的性质得到==PAD BAP α∠∠，AD =AB =AC ，∠AEC =∠AEB ，求出=260CAD α-︒∠，即可求出()1==180=1202ACD ADC CAD α︒-︒-∠∠∠，再由==120EAC AEC ACD α+︒-∠∠∠进行求解即可；（2）如图，在AE 上截取EG ＝BE ，连接BG ．先证明△BGE 是等边三角形，得到BG ＝BE ＝EG ，∠GBE ＝60°．再证明∠ABG ＝∠CBE ，即可证明△ABG ≌△CBE 得到AG ＝CE ，则AE ＝EG ＋AG ＝BE ＋CE ．【详解】解：（1）依题意补全图形，如图所示：连接AD ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =60°，AB =AC ，∵BAP α∠=，∴60CAP α∠=︒-，∵B 、D 关于AP 对称，∴==PAD BAP α∠∠，AD =AB =AC ，∠AEC =∠AEB ，∴()==60=260CAD PAD CAP ααα--︒--︒∠∠∠，∴()1==180=1202ACD ADC CAD α︒-︒-∠∠∠，∴==120EAC AEC ACD α+︒-∠∠∠，∴60AEC ∠=︒∴∠AEB ＝60°．（2）AE ＝BE ＋CE ．证明：如图，在AE 上截取EG ＝BE ，连接BG ．∵∠AEB ＝60°，∴△BGE 是等边三角形，∴BG ＝BE ＝EG ，∠GBE ＝60°．∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴∠ABG ＋∠GBC ＝∠GBC ＋∠CBE ＝60°，∴∠ABG ＝∠CBE ．在△ABG 和△CBE 中，AB CB ABG CBE BG BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝，＝，＝，∴△ABG ≌△CBE （SAS ），∴AG ＝CE ，∴AE ＝EG ＋AG ＝BE ＋CE．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键4．阅读材料：“截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段．依据上述材料，解答下列问题：如图，在等边ABC 中，点E 是边AC 上一定点，点D 是直线BC 上一动点，以DE 为边作等边DEF ，连接CF ．(1)如图，若点D 在边BC 上，试说明CE CF CD +=；（提示：在线段CD 上截取CG CE =，连接EG ．）(2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)FC＝CD+CE【分析】（1）在CD上截取CG＝CE，易证△CEG是等边三角形，得出EG＝EC＝CG，证明△DEG≌△FEC （SAS），得出DG＝CF，即可得出结论；（2）过D作DG AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD 为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．（1）证明：在CD上截取CG＝CE，如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠ECG＝60°，∴△CEG是等边三角形，∴EG＝EC＝CG，∠CEG＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEG+∠GEF＝∠FEC+∠GEF＝60°，∴∠DEG＝∠FEC，在△DEG 和△FEC 中，DE FE DEG FEC EG EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEG ≌△FEC （SAS ），∴DG ＝CF ，∴CD ＝CG +DG ＝CE +CF ，∴CE +CF ＝CD ；（2）解：线段CE ，CF 与CD 之间的等量关系是FC ＝CD +CE ；理由如下：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝60°，过D 作DG AB ，交AC 的延长线于点G ，如图2所示：∵GD AB ，∴∠GDC ＝∠B ＝60°，∠DGC ＝∠A ＝60°，∴∠GDC ＝∠DGC ＝60°，∴△GCD 为等边三角形，∴DG ＝CD ＝CG ，∠GDC ＝60°，∵△EDF 为等边三角形，∴ED ＝DF ，∠EDF ＝∠GDC ＝60°，∴∠EDG ＝∠FDC ，在△EGD 和△FCD 中，ED DF EDG FDC DG CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EGD ≌△FCD （SAS ），∴EG ＝FC ，∴FC ＝EG ＝CG +CE ＝CD +CE ．【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形全等及其性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质等知识，作辅助线构建等边三角形是解题的关键．5．在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等．这两种方法统称截长补短法．请用这两种方法分别解决下列问题：已知，如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1=∠2，P 为AD 上任一点，求证：AB －AC ＞PB －PC【答案】见解析【分析】截长法：在AB 上截取AN =AC ，连结PN ，可证得△APN ≌△APC ，可得到PC =PN ，△BPN 中，利用三角形的三边关系，即可求证；补短法：延长AC 至M ，使AM =AB ，连结PM ，证明△ABP ≌△AMP ，可得PB =PM ，在△PCM 中，利用三角形的三边关系，即可求证．【详解】解：截长法：在AB 上截取AN =AC ，连结PN，在△APN 和△APC 中∵AN=AC，∠1=∠2，AP=AP，∴△APN≌△APC，∴PC=PN，∵△BPN中有PB－PN＜BN，即PB－PC＜AB－AC；补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，在△ABP和△AMP中，∵AB=AM，∠1=∠2，AP=AP，∴△ABP≌△AMP，∴PB=PM，又∵在△PCM中有CM＞PM－PC，即AB－AC＞PB－PC．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，理解截长补短法是解题的关键．6．例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】(1)DA=DB+DC;(2)DA=DB+DC,证明见解析.【分析】(1)由旋转60°可得AE =AD ，CE =BD ，∠ABD =∠ACE ，∠DAE =60°，根据∠BAC +∠BDC =180°，可知∠ABD +∠ACD =180°，则∠ACE +∠ACD =180°，易知△ADE 是等边三角形，所以AD =DE ，从而解决问题．(2)延长DC 到点E,使CE=BD ，连接AE,由已知可得180ABD ACD ︒∠+∠=,根据180ACE ACD ︒∠+∠=,可得ABD ∠=ACE ∠,可证ABD ACE ≅ ,进而可得AD=AE,BAD CAE ∠=∠,可得90DAE BAC ︒∠=∠=,由勾股定理可得：222DA AE DE +=,进行等量代换可得结论.【详解】(1)结论：DA=DB+DC.理由：∵△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ，∴AE=AD ，CE=BD ，∠ABD=∠ACE ，∠DAE=60°，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠ABD+∠ACD=180°，∴∠ACE+∠ACD=180°，∴D,C,E 三点共线，∵AE=AD ，∠DAE=60°，∴△ADE 是等边三角形，∴AD=DE ，∴AD=DC+CE=DB+DC;(2)DA=DB+DC,证明如下：如图所示，延长DC 到点E,使CE=BD ，连接AE,∵90BAC ︒∠=,90BDC ︒∠=,∴180ABD ACD ︒∠+∠=,∵180ACE ACD ︒∠+∠=,∴ABD ∠=ACE ∠,∵AB=AC,CE=BD,∴ABD ACE ≅ (SAS),∴AD=AE,BAD CAE ∠=∠,∴90DAE BAC ︒∠=∠=,∴222DA AE DE +=,∴()222DA DB DC =+,【点睛】本题主要考查了截长补短的方法，通过全等三角形得到线段间的等量关系，正确作出辅助线找到全等三角形是解题的关键.7．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积．解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD ，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积．【答案】（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH ≌，故可求解．【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S S S S S S =+=+== 四边形，故答案为2；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，∴∠FNK=∠FGH=90°，∴FGH FNK ≌，∴FH=FK ，又 FM=FM ，HM=KM=MN+GH=MN+NK ，∴FMK FMH ≌，∴MK=FN=2cm ，∴12=242FGH HFM MFN FMK FGHMN S S S S S MK FN =++=⨯⋅= 五边形．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．8．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．（1）如图①，△ABC 是等边三角形，点D 是边BC 下方一点，连结DA DB DC 、、，且120BDC ∠=︒，探索线段DA DB DC 、、之间的数量关系．解题思路：延长DC 到点E ，使CE BD =，连接AE ，根据180BAC BDC ∠+=︒，则180ABD ACD ∠+∠=︒，因为180ACD ACE ∠+∠=︒可证ABD ACE ∠=∠，易证得△ABD ≌△ACE ，得出△ADE 是等边三角形，所以AD DE =，从而探寻线段DA DB DC 、、之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA DB DC 、、之间的数量关系是；【拓展延伸】（2）如图②，在Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =．若点D 是边BC 下方一点，90BDC ∠=︒，探索线段DA DB DC 、、之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图③，两块斜边长都为2cm 的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知30°所对直角边等于斜边一半，则PQ 的长为_____________cm ．（结果无需化简）【答案】（1）DA DB DC =+；（2DC DB =+证明见解析；（3．【分析】（1）由等边三角形知AB =AC ，∠BAC =60°，结合∠BDC =120°知∠ABD +∠ACD =180°，由∠ACE +∠ACD =180°知∠ABD =∠ACE ，证△ABD ≌△ACE 得AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，再证△ADE 是等边三角形得DA =DE =DC +CE =DC +DB ．（2）延长DC 到点E ，使CE =BD ，连接AE ，先证△ABD ≌△ACE 得AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，据此可得∠DAE =∠BAC =90°，由勾股定理知DA 2+AE 2=DE 2，继而可得2DA 2=（DB +DC ）2；（3）由直角三角形的性质知QN =12MN =1，MQ =2）中的结论知=QN +QM【详解】解：（1）DA =DC +DB ，理由：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =60°，∵∠BDC =120°，∴∠ABD +∠ACD =180°，又∵∠ACE +∠ACD =180°，∴∠ABD =∠ACE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC ABD ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，∵∠ABC =60°，即∠BAD +∠DAC =60°，∴∠DAC +∠CAE =60°，即∠DAE =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴DA =DE =DC +CE =DC +DB ，即DA =DC +DB ，故答案为：DA =DC +DB ；（2DA =DB +DC 如图2，延长DC 到点E ，使CE =BD ，连接AE，∵∠BAC =90°，∠BDC =90°∴∠ABD +∠ACD =180°，∵∠ACE +∠ACD =180°，∴∠ABD =∠ACE ，∵AB =AC ，CE =BD ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC ABD ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，∴∠DAE =∠BAC =90°，∴DA 2+AE 2=DE 2，∴2DA 2=（DB +DC ）2，=DB +DC ；（3）如图3，连接PQ，∵MN =2，∠QMN =30°，∴QN =12MN =1，∴MQ==，由（2=QN +QM∴PQ，．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．(1)如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是边BC 下方一点，∠BDC ＝120°，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系．解题思路：延长DC 到点E ，使CE ＝BD ，连接AE ，根据∠BAC +∠BDC ＝180°，可证∠ABD ＝∠ACE 易证得△ABD ≌△ACE ，得出△ADE 是等边三角形，所以AD ＝DE ，从而探寻线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA 、DB 、DC 之间的数量关系是______；【拓展延伸】(2)如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ．若点D 是边BC 下方一点，∠BDC ＝90°，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】(3)如图3，两块斜边长都为4cm 的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ 的长为______cm ．【答案】(1)DA =DB +DCDA =DB +DC ；理由见解析(3)PQ cm =【分析】（1）延长DC 到点E ，使CE ＝BD ，连接AE ，由等边三角形知AB =AC ，∠BAC =60°，结合∠BDC =120°，知∠ABD +∠ACD =180°，则∠ABD =∠ACE ，证得△ABD ≅△ACE 得AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，再证明△ADE 是等边三角形，等量代换可得结论；（2）同理可证△ABD ≅△ACE 得AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，由勾股定理得222DA AE DE +=，等量代换即得结论；（3）由直角三角形的性质可得QN 的长，由勾股定理可得MQ 的长，由（2QN QM =+，由此可求得PQ 长．（1）（1）延长DC到点E，使CE＝B D，连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BDC=120°，∴∠BAC+∠BDC=180°，∴∠ABD+∠ACD=180°，又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，∴△ABD≅△ACE(SAS)，∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∵∠BAC=60°，∴∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，（2）=DB+DC，理由如下：延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，∴∠ABD+∠AC D=180°又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC ，CE=BD ，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴AD=AE ，∠BAD=∠CAE ，∴∠DAE=∠BA C =90°，∴222DA AE DE +=，∴()222DA DB DC =+，DB DC =+，（3）如图所示：连接PQ ，∵4MN cm =，∠QMN =30°，∴122QN MN cm ==，根据勾股定理得QM ===，由（2QN QM =+，∴PQ cm ==，【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．10．现阅读下面的材料，然后解答问题：截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段．请用截长法解决问题（1）（1）已知：如图1等腰直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，AD 是角平分线，交BC 边于点D ．求证：AC AB BD =+．请用补短法解决问题（2）（2）如图2，已知，如图2，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD 是ABC ∆的角平分线．求证：AC AB BD =+．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据截长法，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，通过题目条件可证()ADB ADE SAS ∆≅∆，进而证得DEC ∆是等腰直角三角形，等量代换即可得；（2）根据补短法，延长AB 到F ，使AF AC =，连接DF ，根据已知条件可证()FAD CAD SAS ∆≅∆，进而可证BD BF =，等量代换即可得证．【详解】（1）证明：如图1，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，∵AD 是角平分线，∴BAD EAD∠=∠在ADB ∆和ADE ∆中AB AE BAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADB ADE SAS ∆≅∆∴90AED B ∠=∠= ，DE DB=又∵ABC ∆是等腰直角三角形，∴45C ∠= ，∴DEC ∆是等腰直角三角形，∴DE EC =，∴AC AE EC AB BD =+=+．（2）如图2，延长AB 到F ，使AF AC =，连接DF ，∵AD 是ABC ∆的角平分线，∴FAD CAD∠=∠在FAD ∆和CAD ∆中AF AC FAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()FAD CAD SAS ∆≅∆，∴C F∠=∠∵2ABC C ∠=∠，ABC F BDF ∠=∠+∠，∴F BDF ∠=∠，∴BD BF =，∴AC AF AB BD ==+．【点睛】本题考查了截长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质的应用，角平分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．11．数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD AE =，求证ABE ACD ∠=∠；在此问题的基础上，老师补充：过点A 作AF BE ⊥于点G 交BC 于点F ，过F 作FP CD ⊥交BE 于点P ，交CD 于点H ，试探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，AFB ∠与HFC ∠有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：（1）求证ABE ACD ∠=∠；（2）猜想AFB ∠与HFC ∠的数量关系，并证明；（3）探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）HFC BFA ∠=∠，证明见解析；（3）BP AF PF =+，证明见解析【分析】（1）利用SAS 证明ABE ACD ≅ 可得结论；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，推出=45BFA x ∠︒+，=45HFC x ∠︒+，即可证明HFC BFA ∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，证明△ABE ≌△CAM ，得出BE AM =和M BEA ∠=∠，从而证明△NFC ≌△MFC ，得到FM FN =和M FNC ∠=∠，可得PN=PE ，从而得出BP=AF+PF.【详解】解：（1）∵在△ABE 和△ACD 中，==AB AC A A AE AD ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，ABE ACD ∴∆≅∆（SAS ），ABE ACD ∴∠=∠；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，AF BE ⊥ ，90BAF x ∴∠=︒-，()=9045=45BFA x x ∴∠︒-︒-︒+，ACD x ∠= ，45HCF x ∴∠=︒-，FP CD ⊥ ，()9045=45HFC x x ∴∠=︒-︒-︒+，HFC BFA ∴∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，90BAF FAC ∠+∠=︒ ，90BAF ABG ∠+∠=︒，FAC ABG ∴∠=∠，在△ABE 和△CAM 中，===BAE ACM AB AC ABE CAM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩，ABE CAM ∴∆≅∆（ASA ），BE AM ∴=，M BEA ∠=∠，BFA MFC NFC ∠=∠=∠ ，FC FC =，45ACB BCM ∠=∠=︒，NFC MFC ∴∆≅∆（ASA ），FM FN ∴=，M FNC ∠=∠，FNC BEA ∴∠=∠，PN PE ∴=，∴BP BE PE AM PE AF FM PE =-=-=+-AF FN PN AF PF =+-=+.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度.12．【初步探索】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；【灵活运用】（2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE ＝60°．求证：CD＋CE＝CA；【延伸拓展】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．【答案】（1）DA=DC+DB，证明见详解；（2）见详解；（3）∠EAF=11802DAB︒-∠，证明见详解.【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB；（2）首先在AC上截取CM=CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM=EC，则可证得CD+CE=CA；（3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，进而推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论．【详解】（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=180°，又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∵∠BAC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB；（2）证明：在AC上截取CM=CD，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴△CDM 是等边三角形，∴MD=CD=CM ，∠CMD=∠CDM=60°，∴∠AMD=120°，∵∠ADE=60°，∴∠ADE=∠MDC ，∴∠ADM=∠EDC ，∵直线a ∥AB ，∴∠ACE=∠BAC=60°，∴∠DCE=120°=∠AMD ，在△ADM 和△EDC 中，ADM EDC MD CD AMD ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADM ≌△EDC(ASA)，∴AM=EC ，∴CA=CM+AM=CD+CE ；即CD+CE=CA.（3）∠EAF=11802DAB ︒-∠；证明：如图3，在DC 延长线上取一点G ，使得DG=BE ，连接AG ，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，又∵AB=AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠FAE=∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=11802DAB︒-∠.【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．13．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果）（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）DA＝DB＋DC；（2＝DB＋DC（或写成2DA2＝(DB＋DC)2），证明详见解析.【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．（2）延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，先证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，据此可得∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，继而可得2DA2=（DB+DC）2.【详解】解：（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=180°，又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，故答案为DA=DC+DB；（2DA＝DB＋DC（或写成2DA2＝(DB＋DC)2）．延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE．∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∴∠ABD＋∠ACD＝180°．∵∠ACE＋∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE．又∵AB＝AC，CE＝BD，∴△ABD≌△ACE．∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．∴∠DAE＝∠BAC＝90°．∴DA2＋AE2＝DE2．∴2DA2＝(DB＋DC)2．＝DB＋DC．【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14．【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，90∠=∠=︒，组成一个四边形ACBD，以D为顶CAD CBD、于M、N．点作MDN∠，交边AC BC(1)若30ACD ∠=︒，60MDN ∠=︒，证明：AM BN MN +=；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长CB 到点E ，使BE AM =，连接DE ，先证明DAM DBE ≌，再证明MDN EDN △≌△，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；(2)当90ACD MDN ∠+∠=︒时，AM MN BN 、、三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明）(3)如图③，在（2）的条件下，若将M 、N 改在CA BC 、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则AM MN BN 、、之间有何数量关系？证明你的结论．【答案】(1)证明见解析(2)AM BN MN+=(3)BN AM MN -=，证明见解析【分析】（1）根据题意得AD =BD ，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ，利用全等三角形的判定得出()SAS DAM DBE △≌△，()SAS MDN EDN △≌△，再根据全等三角形的性质结合图形即可证明；（2）证明方法与（1）一致，证明即可；（3）在CB 截取BE AM =，连接DE ，利用全等三角形的判定得出()SAS DAM DBE △≌△，()SAS MDN EDN △≌△再根据全等三角形的性质结合图形即可得出结果．（1）证明：根据题意得：AD =BD ，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE。

中考数学 专题13.1三角形和勾股定理精选考点专项突破卷（一）考试范围：三角形和勾股定理；考试时间：90分钟；总分：120分一、单选题（每小题3分，共30分)1．（2017·江苏中考真题）三角形的重心是（ ）A ．三角形三条边上中线的交点B ．三角形三条边上高线的交点C ．三角形三条边垂直平分线的交点D ．三角形三条内角平行线的交点2．（2019·江苏中考真题）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A ．2，2，4B ．5，6，12C ．5，7，2D ．6，8，103．（2019·山东中考真题）如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，//FC AB ，若4AB =，3CF =，则BD 的长是（ ）A ．0.5B ．1C ．1.5D ．24．（2019·吉林中考真题）如图，在ABC ∆中，ACB ∠为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．使ADC 2B ∠=∠，则符合要求的作图痕迹是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2019·湖南中考真题）如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16．（2018·浙江中考真题）如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若AB=AC ，△CAD=20°，则△ACE 的度数是（ ）A ．20°B ．35°C ．40°D ．70°7．（2015·贵州中考真题）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是（ ）A B ．C ．6,7,8 D ．2,3,48．（2019·湖南中考真题）如图，Rt△ABC 中，△C ＝90°，△B ＝30°，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则△CAD 的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．45°D ．60°9．（2012·黑龙江中考真题）如图，△ABC 中，AB=AC=10，BC=8，AD 平分△BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为（ ）A ．20B ．12C ．14D ．1310．（2019·广西中考真题）如图，ABC ∆为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共28分)11．（2019·沭阳县修远中学中考模拟）如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积为____.12．（2019·山东中考模拟）如图，在线段AD，AE，AF中，△ABC的高是线段________.13．（2019·北京中考模拟）如图，在△ABC中，射线AD交BC于点D，BE△AD于E，CF△AD于F，请补充一个条件，使△BED△△CFD，你补充的条件是______（填出一个即可）．14．（2019·北京中考模拟）当三角形中的一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为直角三角形，则这个“特征角”的度数为______．15．（2019·辽宁中考模拟）如图，已知AB△CF，E为DF的中点，若AB=8，CF=5，则BD=_______．16．（2018·安徽中考模拟）如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,点E是AD上的一个动点,把△BAE沿BE向矩形内部折叠,当点A的对应点A1恰好落在△BCD的平分线上时,CA1的长为__.17．（2019·双柏县雨龙中学中考模拟）已知三角形的两边长分别是7和10，则第三边长a的取值范围是_____．三、解答题一（每小题6分，共30分)18．（2014·江苏中考真题）如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．19．（2015·浙江中考真题）如图，已知△ABC，△C=90°，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，若△B=37°，求△CAD的度数．20．（2013·浙江中考真题）如图，在△ABC中，△C=90°，AD平分△CAB，交CB于点D，过点D作DE△AB，于点E（1）求证：△ACD△△AED；（2）若△B=30°，CD=1，求BD的长．21．（2019·重庆中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分△ABC交AC 于点E，过点E作EF△BC交AB于点F．（1）若△C=36°，求△BAD的度数．（2）若点E在边AB上，EF//AC叫AD的延长线于点F．求证：FB=FE．22．（2019·四川中考真题）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE△直线m于点E，BD△直线m于点D．；①求证：EC BD②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．四、解答题二（每小题8分，共32分)23．（2017·江苏中考真题）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，△BCE=△ACD=90°，△BAC=△D，BC=CE．（1）求证：AC=CD；（2）若AC=AE，求△DEC的度数．24．（2018·山东中考真题）已知，在△ABC 中，△A=90°，AB=AC ，点D 为BC 的中点．（1）如图①，若点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且DE△DF ，求证：BE=AF ；（2）若点E 、F 分别为AB 、CA 延长线上的点，且DE△DF ，那么BE=AF 吗？请利用图②说明理由．25．（2015·广西中考真题）如图，在△ABC 中，△ACB=90°，AC=BC=AD ．（1）作△A 的平分线交CD 于E ；（2）过B 作CD 的垂线，垂足为F ；（3）请写出图中两对全等三角形（不添加任何字母），并选择其中一对加以证明．26．（2019·山东中考真题）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=．13.1三角形和勾股定理精选考点专项突破卷（一）参考答案1．A【解析】三角形的重心是三条中线的交点，故选A ．2．D【解析】根据三角形三边关系，看其中较小两边的和是否大于最长边即可判断各个选项中的三条线段是否能组成三角形．【详解】224+=Q ，2∴，2，4不能组成三角形，故选项A 错误，5612+<Q ，5∴，6，12不能组成三角形，故选项B 错误，527+=Q ，5∴，7，2不能组成三角形，故选项C 错误，6810+>Q ， 6∴，8，10能组成三角形，故选项D 正确，故选D ．【点睛】本题考查了三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形两边之和大于第三边．3．B【解析】根据平行线的性质，得出A FCE ∠=∠，ADE F ∠=∠，根据全等三角形的判定，得出ADE CFE ∆≅∆，根据全等三角形的性质，得出AD CF =，根据4AB =，3CF =，即可求线段DB 的长．【详解】△//CF AB ，△A FCE ∠=∠，ADE F ∠=∠，在ADE ∆和FCE ∆中A FCE ADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()ADE CFE AAS ∆≅∆，△3AD CF ==，△4AB =，△431DB AB AD =-=-=.故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定ADE FCE ∆≅∆是解此题的关键．4．B【解析】由ADC 2B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠知B BCD ∠=∠，据此得DB DC =，由线段的中垂线的性质可得答案．【详解】解：△ADC 2B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠，△B BCD ∠=∠，△DB DC =，△点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点，故选B【点睛】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.5．C【解析】如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，根据已知求出CD 的长，再根据角平分线的性质进行求解即可.【详解】如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，AC 8=Q ，1DC AD 3=， 1CD 8213∴=⨯=+， C 90∠︒=Q ，BD 平分ABC ∠，DE CD 2∴==，即点D到AB的距离为2，故选C．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键. 6．B【解析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出△CAB=2△CAD=40°，△B=△ACB=12（180°-△CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出△ACE=12△ACB=35°．【详解】△AD是△ABC的中线，AB=AC，△CAD=20°，△△CAB=2△CAD=40°，△B=△ACB=12（180°-△CAB）=70°．△CE是△ABC的角平分线，△△ACE=12△ACB=35°．故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出△ACB=70°是解题的关键．7．B【解析】试题解析：A．）2+）2≠2，故该选项错误；B．12+）2=2,故该选项正确；C．62+72≠82，故该选项错误；D．22+32≠42，故该选项错误.故选B.考点：勾股定理.8．B【解析】根据内角和定理求得△BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即△DAB=△B=30°，从而得出答案．【详解】在△ABC中，△△B=30°，△C=90°，△△BAC=180°-△B-△C=60°，由作图可知MN为AB的中垂线，△DA=DB，△△DAB=△B=30°，△△CAD=△BAC-△DAB=30°，故选B．【点睛】本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．9．C【解析】解：△AB=AC，AD平分△BAC，BC=8，△AD△BC，CD=BD=12BC=4，△点E为AC的中点，△DE=CE=12AC=5，△△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．故选C．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．10．B【解析】根据题意可知点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故可排除选项C与D；点P从点B运动到点C时，y是x的二次函数，并且有最小值，故选项B符合题意，选项A不合题意．【详解】根据题意得，点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故选项C与选项D 不合题意；点P从点B运动到点C时，y是x的二次函数，并且有最小值，△选项B符合题意，选项A不合题意．故选B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．11．7【解析】如下图，连接A 1C ，B 1A ，C 1B ，，因B 是线段B 1C 的中点，所以B 1B=BC.△A 1B 1A 和△AB 1B 等底同高，根据等底同高的两个三角形面积相等可得S △B1AB =S △ABC =1；同理可得S △A1B1A =S △AB1B =1；所以=S △A1B1A +S △AB1B =1+1=2；同理可得S △C1CB1=2， S △C1AA1=2.S △A1B1C1= S △A1BB1+ S △C1CB1+ S △C1AA1+S △ABC =2+2+2+1=7.考点：等底同高的两个三角形面积相等.12．AF【解析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．【详解】△AF△BC 于F ，△AF 是△ABC 的高线，故答案为：AF ．【点睛】本题主要考查了三角形的高线，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．13．答案不唯一，如BD=DC【解析】根据全等三角形的判定定理AAS 判定△BED△△CFD ．【详解】解：可以添加条件：BD=DC ．理由：△BD=CD ；又△BE△AD ，CF△AD ，△△E=△CFD=90°；△在△BED 和△CFD 中，90BDE CDF E CFD BD CD ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，△△BED△△CFD（AAS）．故答案是：答案不唯一，如BD=DC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．14．45°或30°【解析】分①“特征角”的2倍是直角时，根据“特征角”的定义列式计算即可得解；②“特征角”的2倍与“特征角”都不是直角，根据直角三角形两锐角互余列方程求解即可．【详解】解：①“特征角”的2倍是直角时，“特征角”=12×90°=45°；②“特征角”的2倍与“特征角”都不是直角时，设“特征角是x”，由题意得，x+2x=90°，解得x=30°，所以，“特征角”是30°，综上所述，这个“特征角”的度数为45°或30°．故答案为：45°或30°．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，读懂题目信息，理解“特征角”的定义是解题的关键．15．3【解析】△AB//CF，△△A=△FCE，△ADE=△F，又△DE=FE，△△ADE△△CFE，△AD=CF=5，△AB=8，△BD=AB-AD=8-5=3，故答案为3.16．【解析】过点A1作A1M△BC于点M.由A1C是角平分线可知△A1CM=45°，可证明A1M=CM，可知△AMC是等腰直角三角形，设CM=A1M=x，在Rt△A1MB中利用勾股定理列方程求出x的值，根据△AMC是等腰直角三角形即可求出答案.【详解】过点A1作A1M△BC于点M.△点A的对应点A1恰落在△BCD的平分线上，△BCD=90°，△△A1CM=45°，即△AMC是等腰直角三角形，△设CM=A 1M=x,则BM=7-x.又由折叠的性质知AB=A 1B=5，△在直角△A 1MB 中，由勾股定理得A 1M 2=A 1B 2-BM 2=25-(7-x)2，△25-(7-x)2=x 2,解得x 1=3，x 2=4，△在等腰Rt△A 1CM 中,CA 1A 1M ，△CA 1或.【点睛】本题考查折叠性质及解直角三角形，图形折叠后对应边相等，对应角相等，熟练掌握折叠的性质是解题关键.17．3＜a ＜17．【解析】根据三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和，即可解决问题．【详解】解：△三角形的两边长分别是10和7，△第三边长a 的取值范围是3＜a ＜17．故答案为3＜a ＜17．【点睛】本题考查三角形三边关系的运用，熟记三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和是解题的关键．18．证明见解析.【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质可证△DBM=△ECM ，可证△BDM△△CEM ，可得MD=ME ，即可解题． 试题解析：证明：△ABC 中，△AB=AC ，△△DBM=△ECM.△M 是BC 的中点，△BM=CM.在△BDM 和△CEM 中，△，△△BDM△△CEM （SAS ）.△MD=ME ．BD CE DBM ECM BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩考点：1.等腰三角形的性质；2.全等三角形的判定与性质.19．（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）．（2）16°．【解析】（1）根据到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，作出AB的中垂线．（2）要求△CAD的度数，只需求出△CAD，而由（1）可知：△CAD=2△B【详解】解：（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）．（2）△在Rt△ABC中，△B=37°，△△CAB=53°．又△AD=BD，△△BAD=△B=37°．△△CAD=53°—37°=16°．考点：尺规作图，直角三角形两锐角互余、垂直平分线的性质．20．（1）见解析（2）BD=2【解析】解：（1）证明：△AD平分△CAB，DE△AB，△C=90°，△CD=ED，△DEA=△C=90°．△在Rt△ACD和Rt△AED中，AD AD {CD DE==，△Rt△ACD△Rt△AED（HL）．（2）△Rt△ACD△Rt△AED ，CD=1，△DC=DE=1．△DE△AB，△△DEB=90°．△△B=30°，△BD=2DE=2．（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可．（2）求出△DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．21．（1）54BAD︒∠=；（2）见解析.【解析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明△ADB=90°，再利用等腰三角形的性质求出△ABC即可解决问题.（2）只要证明△FBE=△FEB即可解决问题.【详解】解：（1）AB AC =QC ABC ∴∠=∠36C ︒∠=Q36ABC ︒∴∠=Q D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥90903654BAD ABC ︒︒︒︒∴∠=-∠=-=（2）Q BE 平分ABC ∠ABE EBC ∴∠=∠又//EF BC QEBC BEF ∴∠=∠EBF FEB ∴∠=∠BF EF ∴=【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.22．①证明见解析；②见解析.【解析】①通过AAS 证得CAE BCD ∆≅∆，根据全等三角形的对应边相等证得结论；②利用等面积法证得勾股定理．【详解】①证明：△90ACB ︒∠=，△90ACE BCD ︒∠+∠=．△90ACE CAE ︒∠+∠=，△CAE BCD ∠=∠．在△AEC 与△BCD 中，CEA BDC CAE BCD AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()CAE BCD AAS ∆∆≌．△EC BD =；②解：由①知：BD CE a ==CD AE b == △1()()2AEDB S a b a b =++梯形 221122a ab b =++． 又△AEC BCD ABC AEDB S S S S =++V V V 梯形2111222ab ab c =++ 212ab c =+． △222111222a ab b ab c ++=+． 整理，得222+=a b c ．【点睛】主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是判断两三角形全等．23．（1）证明见解析；（2）112.5°．【解析】()1根据同角的余角相等可得到24∠=∠，结合条件BAC D ∠=∠，再加上BC CE =， 可证得结论； ()2根据90ACD AC CD ∠=︒=，，得到145D ∠=∠=︒， 根据等腰三角形的性质得到3567.5∠=∠=︒， 由平角的定义得到1805112.5DEC ∠=︒-∠=︒．【详解】() 1证明：90BCE ACD ∠=∠=︒Q ，2334，∴∠+∠=∠+∠ 24∴∠=∠，在△ABC 和△DEC 中，24BAC D BC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABC DEC ∴V V ≌，AC CD ∴=；（2）△△ACD ＝90°，AC ＝CD ，△△1＝△D ＝45°，△AE ＝AC ，△△3＝△5＝67.5°，△△DEC ＝180°－△5＝112.5°．24．（1）证明见解析；（2）BE=AF ，证明见解析.【解析】分析：（1）连接AD ，根据等腰三角形的性质可得出AD=BD 、△EBD=△FAD ，根据同角的余角相等可得出△BDE=△ADF ，由此即可证出△BDE△△ADF （ASA ），再根据全等三角形的性质即可证出BE=AF ；（2）连接AD ，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出△EBD=△FAD 、BD=AD ，根据同角的余角相等可得出△BDE=△ADF ，由此即可证出△EDB△△FDA （ASA ），再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF ． 详（1）证明：连接AD ，如图①所示．△△A=90°，AB=AC ，△△ABC 为等腰直角三角形，△EBD=45°．△点D 为BC 的中点， △AD=12BC=BD ，△FAD=45°． △△BDE+△EDA=90°，△EDA+△ADF=90°，△△BDE=△ADF ．在△BDE 和△ADF 中，EBD FAD BD ADBDE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△BDE△△ADF （ASA ），△BE=AF ；（2）BE=AF ，证明如下：连接AD ，如图②所示．△△ABD=△BAD=45°，△△EBD=△FAD=135°．△△EDB+△BDF=90°，△BDF+△FDA=90°，△△EDB=△FDA ．在△EDB 和△FDA 中，EBD FAD BD ADEDB FDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△EDB△△FDA （ASA ），△BE=AF ．点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、补角及余角，解题的关键是：（1）根据全等三角形的判定定理ASA 证出△BDE△△ADF ；（2）根据全等三角形的判定定理ASA 证出△EDB△△FDA ． 25．（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析；（3）△ACE△△ADE ，△ACE△△CFB ．【解析】试题分析：（1）利用角平分线的作法得出△A 的平分线；（2）利用钝角三角形高线的作法得出BF ；（3）利用等腰三角形的性质及全等三角形的判定得出答案．试题解析：（1）如图所示：AE 即为所求；（2）如图所示：BF 即为所求；（3）如图所示：△ACE△△ADE ，△ACE△△CFB ，△AC=AD ，AE 平分△CAD ，△AE△CD ，EC=DE ，在△ACE 和△ADE 中，△AE=AE ，△AEC=△AED ，EC=ED ，△△ACE△△ADE （SAS ）．考点：1．作图—复杂作图；2．全等三角形的判定．26．(1) AM =(2)见解析；(3)见解析.【解析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到 AD ＝BD ＝DC ＝，求出 △MBD ＝30°，根据勾股定理计算即可；（2）证明△BDE △△ADF ，根据全等三角形的性质证明； （3）过点 M 作 ME △BC 交 AB 的延长线于 E ，证明△BME △△AMN ，根据全等三角形的性质得到 BE ＝AN ，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论．【详解】（1）解：90BAC ∠=︒Q ，AB AC =，AD BC ⊥，AD BD DC ∴==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒，2AB =Q ，AD BD DC ∴===，30AMN ∠=︒Q ，180903060BMD ∴∠=︒-︒-︒=︒，30BMD ∴∠=︒，2BM DM ∴=，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得，DM =AM AD DM∴=-=（2）证明：AD BC⊥Q，90EDF∠=︒，BDE ADF∴∠=∠，在BDE∆和ADF∆中，{B DAFDB DABDE ADF∠=∠=∠=∠，()BDE ADF ASA∴∆∆≌BE AF∴=；（3）证明：过点M作//ME BC交AB的延长线于E，90AME∴∠=︒，则AE=，45E∠=︒，ME MA∴=，90AME∠=︒∵，90BMN∠=︒，BME AMN∴∠=∠，在BME∆和AMN∆中，{E MANME MABME AMN∠=∠=∠=∠，()BME AMN ASA∴∆∆≌，BE AN∴=，AB AN AB BE AE∴+=+==．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键。