多面体外接球、内切球半径常见的5种求法
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上
，那么称这个多面体是球的内接多面
体，这个球称为多面体的外接球•有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是 高考考查的一个热点•研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知 识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系 ，而多面体外接球半
径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用
公式法
多面体几何性质法
解 设正四棱柱的底面边长为 x ,外接球的半径为 R ,则有4x 2 16 ,解得x 2.
•2R J 22 22 42 2 46,
R 76 •/这个球的表面积是 4 R 2 24 .选C.
小结本题是运用正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径
”这一性质来求解的
补形法
例i 一个六棱柱的底面是正六边形
,其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在
9
同一个球面上，且该六棱柱的体积为 - 底面周长为3,
则这个球的体积为
解设正六棱柱的底面边长为
x ,高为h ,则有9
8
6x 3,
1
x -, 翻
2h
2
T xh, h .3.
•'正六棱柱的底面圆的半径
-,球心到底面的距离 2
舟••外接球的半径
R r 2
d 2 1. V 球—
3
小结 本题是运用公式R 2
2 2
r d 求球的半径的，
该公式是求球的半径的常用公式
例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4 ,体积为16 ,则这个球的表面
积是
A.16
B.20
C.24
D.32
例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直 ，且侧棱长均为讣3 ,则其外接球的表面积
是 ___ .
解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直 ，二把这个三棱锥可以补成一个棱长
为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球
2
L 2
l 2 l 2
2 9
设其外接球的半径为 R ，则有2R .3 .3
9；.R 2 -.
4
故其外接球的表面积 S 4 R 2
9 .
小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直
，且其长度分别为a 、b 、c ,则就
可以将这个三棱锥补成一个长方体 ，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的 直径.设其外接球的半径为 R ，则有2R . a 2 b 2 c 2 .
寻求轴截面圆半径法
小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴
截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径
.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接
球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆
，从而把立体几何
例4正四棱锥S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为
2，点 S 、A B 、C 、D 都
在同一球面上，则此球的体积为 _________ :
解设正四棱锥的底面中心为 01,外接球的球心为 0 ,如图3 所示.•••
由球的截面的性质，可得001 平面ABCD .
又SO i 平面ABCD ，•球心0必在SO 所在的直线上.
• ASC 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆 ，外接圆的半径就是外接球的半径 在 ASC 中，由 SA SC 「2, AC 2，得 SA 2 SC 2 AC 2.
ASC 是以AC 为斜边的Rt .AC
2
1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V 球
C
问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习
确定球心位置法
例5 在矩形ABCD 中，AB 4,BC 3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角
B A
C
D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为
解得 x 1
A.
竺
12
125
B.-
9 125
C.-
6 125
D.-
3
解设矩形对角线的交点为 O ,则由矩形对角线互相平分，可知
OA OB OC OD ./点0到四面体的四个顶点 A 、B 、C 、D 的距
离相等, 即点0为四面体的外接球的球心 ，如图2所示.•••外接球的半径
R 0A
5
4 3 125
.故V 球 R
.选
C.
出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系
，利用向量知识求解
设球心坐标为0(x, y, z)
则AO BO CO DO ,由空间两点间距离公式知
(x
2)2 2 2 2 2 2 2
x y z x y (z 2)
x 2 y 2 z 2
(x
1)2 (y 、
3)2 z 2
C
(3)
正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上
，如图5，以对角面AA 1作截
面图得，圆0为矩形AA i C i C 的外接圆，易得 R A i O
D1
C1
D1
.1 H < T
所以半径为R 1( 33))12专
结论】：空间两点间距离公式：PQ
(X i X 2)2 (y i y 2)2 (z i Z 2)2
四面体是正四面体
外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点 ，
J 6
根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为 一a
4
内切球的半径
正方体的内切球
设正方体的棱长为 a ，求(1)内切球半径；(2)外接球半径；(3)与棱相切的球 半径。
a
(1) 截面图为正方形 EFGH 的内切圆，得R -；
2
(2) 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作
截面图，圆0为正方形EFGH 的外接圆，易得R
A
