数学中考考点专题复习训练及答案解析8：位置与函数

考点08 位置与函数

1．有序数对

（1）有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对．平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的．

（2）经一点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标和纵坐标．有序实数对（a，b）叫做点P的坐标．

2．点的坐标特征

点的位置 横坐标符号 纵坐标符号

第一象限 ﹢ +

第二象限 - +

第三象限 - -

第四象限 + -

x轴上 正半轴上 + 0

负半轴上 - 0

y轴上 正半轴上 0 +

负半轴上 0 -

原点 0 0

3．轴对称

（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；

（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）．

4．中心对称

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P'（-x，-y）．

5．图形在坐标系中的旋转

图形（点）的旋转与坐标变化：

（1）点P（x，y）绕坐标原点顺时针旋转90°，其坐标变为P′（y，-x）；

（2）点P（x，y）绕坐标原点顺时针旋转180°，其坐标变为P′（-x，-y）；

（3）点P（x，y）绕坐标原点逆时针旋转90°，其坐标变为P′（-y，x）； （4）点P（x，y）绕坐标原点逆时针旋转180°，其坐标变为P′（-x，-y）．

6．图形在坐标系中的平移

图形（点）的平移与坐标变化

（1）点P（x，y）向右平移a个单位，其坐标变为P′（x+a，y）；

（2）点P（x，y）向左平移a个单位，其坐标变为P′（x-a，y）；

（3）点P（x，y）向上平移b个单位，其坐标变为P′（x，y+b）；

（4）点P（x，y）向下平移b个单位，其坐标变为P′（x，y-b）．

7．函数

（1）常量和变量

在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．

【注意】①变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变．例如，在s=t中，当s一定时，v、t为变量，s为常量；当t一定时，s、v为变量，而t为常量．

②“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量．

③变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”．

④判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化．

（2）函数的定义

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．

例如：在s=60t中，有两个变量；s与t，当t变化时，s也随之发生变化，并且对于t在其取值范围内的每一个值，s都有唯一确定的值与之对应，我们就称t是自变量，s是t的函数．

对函数定义的理解，主要抓住以下三点：

①有两个变量．

②函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．

③函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同，如：函数y=x2，当x=1和x=-1时，y的对应值都是1．

④在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数.

（3）函数取值范围的确定

使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围，函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面：①不同类型的函数关系式中自变量取值范围的求解方法；②当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义．

（4）函数解析式及函数值

函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．

①函数解析式是等式．

②函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数．

③书写函数的解析式是有顺序的．y=2x-1表示y是x的函数，若x=2y-1，则表示x是y的函数，即求y关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y，也就是等式左边是一个变量y，右边是一个含x的

代数式．

④用数学式子表示函数的方法叫做解析式法．

函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值．

（5）函数的图象及其画法

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

画函数的图象，可以运用描点法，其一般步骤如下：

①列表：表中列举一些自变量的值及其对应的函数值，自变量的取值不应使函数值太大或太小，以便于描点，点数一般以5到7个为宜．

②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点．描点时，要注意横、纵坐标的符号与点所在的象限（或坐标轴）之间的关系，描出的点大小要适中，位置要准确．

③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．

（6）函数的表示方法

函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法和图象法，表示函数关系时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．

考向一 有序数对

有序数对的作用：利用有序数对可以在平面内准确表示一个位置．有序数对一般用来表示位置，如用“排”“列”表示教师内座位的位置，用经纬度表示地球上的地点等．

典例1 中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用（2，-1）表示“炮”的位置，那么“将”的位置应表示为

A．（-2，3） B．（0，-5） C．（-3，1） D．（-4，2）

【答案】C

【解析】用（2，-1）表示“炮”的位置，那么“将”的位置可以看做将“炮”向上平移2个单位，再向左平移5个单位，得：（-3，1）．故选C．

1．我们用以下表格来表示某超市的平面示意图．如果用（C，3）表示“体育用品”的位置，那么表示“儿童服装”的位置应记作

A B C D

1 收银台 收银台 收银台 收银台

2 酒水 糖果 小食品 熟食

3 儿童服装 化妆品 体育用品 蔬菜

4 入口 服装 家电 日用杂品

A．（A，3） B．（B，4） C．（C，2） D．（D，1） 考向二 点的坐标特征

1．象限角平分线上的点的坐标特征

（1）第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数；

（2）平行于x轴（或垂直于y轴）的直线上的点的纵坐标相等，平行于y轴（或垂直于x轴）的直线上的点的横坐标相等．

2．点P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，到坐标原点的距离为22xy．

典例2 在下列所给出的坐标中，在第二象限的是

A．（2，3） B．（2，-3） C．（-2，-3） D．（-2，3）

【答案】D

【解析】∵第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，∴（2，3）、（2，-3）、（-2，-3）、（-2，3）中只有（-2，3）在第二象限．故选D．

2．点P位于x轴下方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，那么点P的坐标是

A．（4，2） B．（-2，-4）

C．（-4，-2） D．（2，4）

3．点A（m+3，m+1）在x轴上，则点A坐标为__________．

考向三 对称点的特征

一般地，点P与点P1关于x轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数；点P与点P2关于y轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，点P与点P3关于原点对称，则横、纵坐标分别互为相反数，简单记为“关于谁谁不变，关于原点都改变”．

典例3 已知点（2，1），则它关于原点的对称点坐标为

A．（1，2） B．（2，-1） C．（-2，1） D．（-2，-1） 【答案】D

【解析】（2，1）关于原点对称的点的坐标为（-2，-1），故选D．

典例4 已知点（x，y）与点（-2，-3）关于x轴对称，那么x+y=__________．

【答案】1

【解析】∵点（x，y）与点（-2，-3）关于x轴对称，∴23xy，，∴1xy，故答案为：1．

4．点P（2，-3）关于y轴的对称点的坐标是__________．

5．如图，已知A（0，4）、B（-2，2）、C（3，0）．

（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；

（2）求△A1B1C1的面积S．

考向四 坐标确定位置

确定点在坐标平面内的位置，关键是根据不同象限中点的坐标特征去判断，根据题中的已知条件，判断横坐标、纵坐标是大于0，等于0，还是小于0，就可以确定点在坐标平面内的位置．

典例5 在雷达探测区域，可以建立平面直角坐标系表示位置．在某次行动中，当我方两架飞机在A（-1，2）与B（3，2）位置时，可疑飞机在（-1，-3）位置，你能找到这个直角坐标系的横、纵坐标的位置吗？把它们表示出来并确定可疑飞机的位置，说说你的做法．

【解析】能．如下图，可疑飞机在第二象限的C点处，在点A的正北方向距A点2个单位．

6．下图标明了李华同学家附近的一些地方．

（1）根据图中所建立的平面直角坐标系，写出学校、邮局的坐标；

（2）某星期日早晨，李华同学从家里出发，沿着（-2，-1），（-1，-2），（1，-2），（2，-1），（1，-1），（1，3），（-1，0），（0，-1）的路线转了一下然后回家，写出他路上经过的地方．