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上海应用技术学院复变试卷(10-11)1

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第 页 1 上海应用技术学院2010—2011学年第一学期

《复变函数与积分变换》 试卷A

班级： 姓名： 学号： 分数：

我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。

试卷共 4 页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。

一．选择题（每小题3分，共15分）

1. 方程 z51 表示 （ ）

Ａ. 6z4 Ｂ. 1z1 Ｃ. 5z5 Ｄ. 以上都不对

2. 设z =191i, 则zarg （ ）

Ａ. 4. Ｂ. 4. Ｃ. 0. Ｄ. 以上都不对.

3. z = 0是 31sinzezfzz的几级极点 （ ）.

Ａ. 1. Ｂ. 2. Ｃ. 3. Ｄ. 以上都不对.

4. zzf1cos，则Res,0fz= （ ）.

Ａ. 1. Ｂ. 1/2. Ｃ. 1/3. Ｄ. 以上都不对.

5. 沿正向单位圆周的积分

1cos2zzdzz = （ ）.

Ａ. 22cosi. Ｂ. 0. Ｃ. 1. Ｄ. 以上都不对.

二．填空题（每小题3分，共15分）

1. 1311iArgi= 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分

分 数 15 15 56 9 5

得 分 第 页 2 2. ln1i =

3. 函数21z2z24z的奇点是

4. iyxyaxzf225.0 ，当a = 时是解析函数。

5. 102sinfttt，则 Ltf =

三．计算（每题8分，共56分）

（1）求 2ie 的模、幅角、实部、虚部。

（2）2113Lnii

（3）Imcoszcezdz，其中c为从 – i 到0的曲线。

（4）21cos4zzdzz

第 页 3 （5）用留数定理计算zdzzzz2sin1sin1

（6）给定调和函数 yxu3，求调和函数v，使得复函数ivuzf)(成为一个解析函数，且满足1)(if。

（7）将复函数152z展成 z -1 的幂级数，并写出级数的收敛半径。

四. 积分变换（每题3分，共9分）

1. 已知是常数其中kktetf，求 Ltf

第 页 4 2. 已知2231sFss，求 L-1sF

3. 用拉普拉斯变换解方程 tcosyyy，10y,00y。

五. 证明题（5分）：若,,fzuxyivxy和,,fzuxyivxy都是解析函数，证明fz是一个常函数。 第 页 5 上海应用技术学院2010—2011学年第一学期

《复变函数与积分变换》 试卷A

答案：

一．选择题（每小题3分，共15分）

1. D. 2. D. 3. A. 4. D. 5. B.

二．填空题（每小题3分，共15分）

1. k22 2. 223ln24 3. 2,13i 4. -1. 5. 11210!1224ssss.

三．计算（每题8分，共56分）

（1）求 2ie 的模、幅角、实部、虚部。

22222222222cos1sin1cos1sin1,12Recos1,Imsin1iiiiieeieieeeArgekeeee解：

（2）2113Lnii

2113213ln2(2)ln2(2)232ln2(2)6LniiLniiikikik解：

（3）Imcos2zcezdz，其中c为从 - i到0的曲线。

011cos2sin21sin22211cos1sin1sh221Imcos2sin1sh22zzicizcezdzezeiiezdz解： 第 页 6 （4）21cos+4zzdzz

021cos+4cos+24cos+2sin2144zzzzidzziiz解：因为在复平面中解析，所以由高阶导数公式，可得！

（5）用留数定理计算zdzzzz2sin1sin1

解：zzzsin1sin1的奇点有kak 和,2,1,01kkbk，但只有00a

和10b在曲线2z内，其中

10b是可去奇点，故 1Re,10sin1sinzszz

00a

是一级极点。由法则3可得 0111Re,0sin1sinsin1cossin1zzzszzzz

由留数定理，得

21112Re,0Re,1sin1sinsin1sinsin1sin1220sin1sin1zzzzdzisszzzzzzii

（6）给定调和函数 yxu3，求调和函数v，使得复函数ivuzf)(成为一个解析函数，且满足1)(if。

3,331,310,1,0,333yxxyvuvdyycxvucxcxxcvxyccfixyvcvxy解：又由，得（其中为任意实常数）又由，得知当时有从而。故所求调和函数为。

第 页 7 （7）将复函数152z展成（z - 1）的幂级数，并写出级数的收敛域。

0111112=1125272177711727711,1722nnnnnzzzzzzR解：。

四. 积分变换（每题3分，共9分）

1. 已知ktfte，求 Ltf

解：00011ResktktktstLeeedtedtsksksk

2. 已知2234sFss，求 L- 1sF

解：

111221232cos3sin11sLFsLLttss

3. 用拉普拉斯变换解方程 tcosyyy，10y,00y。

解：设LytYs，方程两边取拉普拉斯变换，得

22222220001111111sin1ssYssyysYsyYsssssssYsssYstts，再取逆变换，得y

五. 证明题（5分）：若,,fzuxyivxy和,,fzuxyivxy都是解析函数，证明fz是一个常函数。

证明：因,,fzuxyivxy，故,uxy和,vxy满足柯西黎曼方程，即

,,,,,xyyxuxyvxyuxyvxy ①

因 ,,fzuxyivxy，故,uxy和,vxy满足柯西黎曼方程，即

,,,,,xyyxuxyvxyuxyvxy ②

联立①、②得,,,,0xyxyuxyuxyvxyvxy，故,uxy和,vxy都是常函数，从而fz是一个常函数。

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10-11-3高等数学A期末考试试卷(A)参考答案及评分标准

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共 2 页 第 1 页 10-11-3高数A期末试卷（A）参考答案及评分标准11.6.21

一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)

1. 4；2. 2；3. 224()tft；4. ；5. 4；6. 2，3；7. i；8. 12；9. 22，0.

二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)

10．解 点(1,1,1)处切线的方向向量{1,2,2}{2,2,5}{14,9,2}a，（4分）

切线方程为1111492xyz.（3分）（或223022550xyzxyz（7分））

11．解222222200001dcosddcosdcosd2xyyxxxxyxxx.（3+2+2分）

12．解 由sin,2sinyxyx(0)x所围成的区域记为D，利用Green公式得2sin220sin033(1)dddddsind24xxCDyxxyyyxyyxxÑ.（3+2+2分）

13. 解 补两个面2211:1xySz，2224:2xySz ，分别取下侧和上侧，（1分）由12,,SSS所围成的区域记为，利用Gauss公式得()dd()ddSyxzyzxzyxy

12()d(1)dd(2)dd0SSyxvxyxyxyxy.（3+3分）

三（14）．（本题满分8分）解1()nnaa未必收敛，例11nan，10nan，而111nn发散；（2分）1()(1)nnnba未必收敛，例111(1)sin2nnann，10nan，而11(1)nnn收敛，11sinnn发散，故1(1)11(1)sin2nnnnn发散；（2分）1()nnca未必收敛，例11nan，10nan，而111nn发散；（2分）21()(1)nnnda必定收敛，2210nan， 共 2 页 第 2 页 而211nn收敛，所以21(1)nnna绝对收敛，故21(1)nnna收敛. （2分）

齐鲁工业大学10-11-2复变函数与积分变换试卷A参考答案

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1 山东轻工业学院10/11学年第二学期《复变函数与积分变换I》考试试卷（A卷） 参考答案

一. 填空题（本题满分24分，每小题3分）

1．i 2。 0 3。 1213,cos 4。 ,...,,102kik

5． 9 6。 ),(yxu 7。2R 8。0

二. 填空题（本题满分18分，每小题3分）

D C C D B C

三. （本题满分6分）

解：令iyxz带入函数，得 2iyxxyxyiyxzzzzf)()Re()Im()(

实部xxyyxu),(，虚部2yyxv),(

1yxu xyu

0xv yyv2

这些偏导数在整个复平面上处处连续。

对于柯西-黎曼方程xvyuyvxu 即021xyy ，所以，柯西-黎曼方程在点0x，1y即 iz处成立。 因此，函数)(zf在点iz可导。

所以，函数)(zf处处不解析。

四. 计算积分（本题满分12分，每小题6分）

2311zdzzzzz))((sin)( （2）231091zdzzz

（1）解：被积函数))((sinzzzz31的孤立奇点 310321zzz,,

01z为被积函数))((sinzzzz31的可去奇点 2 12z为被积函数))((sinzzzz31的极点

33z为被积函数))((sinzzzz31的极点

12z为被积函数))((sinzzzz31的一级极点（分母中因式2zz的次数为1）

33z为被积函数))((sinzzzz31的一级极点

复变函数期末试卷A(中山大学)-附参考答案

复变函数期末试卷A(中山大学)-附参考答案

中山大学数学与计算科学学院

2011级《复变函数》期终试题(A卷)

ZiuSan

每题12.5分,限做8题.如果多做,以做过题中前8题得分为准.

1.作出下列区域:0

z−ı

3.

2.求1

(z−1)(z−3)在区域(1)1<|z|<3,(2)3<|z|<+∞内的罗朗展开式.

3.⽤复变函数⽅法证明代数学基本定理:任何n(n>0)次代数⽅程⾄少有⼀根.

4.做⼀个共形映射,把扇形区域{

0

映射成|w|<1.

5.证明4x2

−4y2

−5x是调和函数,并求⼀个解析函数,使其实部为4x2

−4y2

−5x.

6.求⽅程z8

−4z5

+z2

−1=0在|z|<1内的根的个数.

7.设f(z)在|z|<1解析,|f(z)|<1,且f(a)=0,这⾥的|a|<1.证明:在|z|<1

内,不等式|f(z)|≤󰀃

󰀃

󰀃

󰀃z−a

1−za󰀃

󰀃

󰀃

󰀃成⽴.

8.⽤留数计算积分:I=∫

+∞

0dx

(1+x)xa,其中0

9.设f(z)=+∞∑

−∞c

nzn

在r≤|z|≤R解析,并且将其⼀⼀映射到D,则D的⾯积为

S=π+∞∑

−∞n|c

n|2

(R2n

−r2n

).

10.存在共形映射f(z)把矩形A映成矩形B,把对应顶点映到对应顶点,对应边映到

对应边的充分必要条件是A与B的对应边长成⽐例.

1

资料：11-12(1)复变函数与积分变换试卷A

资料：11-12(1)复变函数与积分变换试卷A

模板资料 资源共享 浙江工业大学2011/2012(一)期末考试试卷

《复变函数与积分变换》2012.01

任课教师 学院 班级 学号

姓名 选课班中编号 成绩

一．填空题（每空3分, 共30分）

1. 6(1)i= 。

2. 3i 的值为 , 且arg(3)i= 。

3. 设C为正向圆周||=1z，则23d(3)Czziz= 。

4. 设C为从1=zi到2=3zi的直线段，则2dzCez= 。

5. 幂级数0(1)nnniz的收敛半径R= 。

6. z =0为1()=sinfzzz的 级极点，且Res[(),0]=fz 。

7.[()]tutF＝ , 其中u(t)为单位阶跃函数。

8. 设()()(),ttfteteut(0), 则()ft在半平面Re()s内的拉普拉斯变换)(sF= 。

二．单项选择题（每题3分, 共15分）

1. 函数2()||fzz 在z =0处 （ ）

(A) 不可导且不解析 (B) 可导但不解析

(C) 不可导但解析 (D) 既可导又解析