古典概型与几何概型
【知识要点】
1.古典概率模型试验的两个共同特点：
（1）有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. （2）等可能性：每个事件出现的可能性相等. 2.古典概率的计算方法：
如果一次试验中的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性相等，每个基本事件的概率是
1n ，如果事件A 包含的基本事件有m 个，那么事件A 的概率为()m
P A n
=，即： ()A P A =
包含的基本事件的个数
基本事件的总数
3.几何概率的特点：
（1）试验的结果是无限不可数的； （2）每个结果的出现时等可能性的.
5.几何概率模型中，事件A 的概率的计算公式是：
()A P A =
构成事件的区域的长度(面积或体积)
试验的全部结果构成的长度(面积或体积)
6.均匀随机数及其产生 均匀随机数：就是在一定能范围内随机产生的书，并且在这个范围内得到的每一个数的机会
相等.由于计算机具有高速度和大容量的特点.我们往往用计算机模拟那些庞大而复杂的试验，称为随机模拟或数字模拟.
均匀随机数的产生方法：
（1）用函数型计算器产生均匀随机数的方法：按一次和
键，产生一个0～1
上的均匀随机数；若需要多个，则要重复按键；
（2）用计算机产生均匀随机数的方法：每调用一次()rand 函数，就产生一个[0,1]上的均匀随机数；若要产生a ～b 上的均匀随机数，就是用变换()()rand b a a *-+即可. 7.复杂事件的古典概率模型
对于求解较复杂的古典概型的概率问题，可以利用分类讨论的办法求出总体包含的基本事件的个数及事件包含的基本事件的个数，然后将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，活着先去求对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率.
8.常见的几种几何概型的概率求法：
（1）设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，点落在线段l 上的概率为
l P L =
的长度
的长度
（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分，向区域G 上任投一点，点落在区域g 上的概
率为g P G =
的面积
的面积
（3）设空间区域v 是空间区域V 的一部分，向区域V 上任投一点，点落在区域v 上的概率为v P V =的体积
的体积
【典型例题】
例1在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：
（1）恰有一件次品的概率； （2）至少有一件次品的概率.
例2某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别是0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.
（1）求这名同学得300分的概率； （2）求这名同学至少得300分的概率.
例3设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中任意一间去住()n N ≤.求下列事件的概率：
（1）指定的n 个房间内各有一个人住；（2）恰好有n 个房间，其中各住一个人； （3）某指定的一个房间中恰有m 个人()m n ≤.
例4甲、乙二人约定在点到点之间在某地见面，先到者等一个小时后若未等到后来者即可离去，设二人在这段时间内的各时刻到达时等可能的，且二人之间互不影响.求二人能会面的概率.
例5广告法对插播广告时间有规定.某人对某台的电视节目作了时间的统计后得出结论：他任意时间打开电视看该台节目，看不到广告的概率为9
10
，求该台每小时约有几分钟广告？
例6已知关于x 的一元二次函数2
()41f x ax bx =-+.
（1）设集合{}1,2,3P =，{}1,1,2,3,4Q =-，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和
b ，求函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率；
（2）设点(,)a b 是区域8000x y x y +-≤⎧⎪
>⎨⎪>⎩
内的随机点，求函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率.
【课堂练习】
1.在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤
维的概率是（ ）.
A.
3040 B. 1240 C. 1230
D.以上都不对 2.盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰好为合格的铁
钉的概率是（ ）.
A.
15 B. 14 C. 45 D. 110
3.如图所示，a b c d 、、、是四处处于断开状态的开关，任意将其中两个闭合，则电路被接
通的概率是（ ）.
A. 1
B.
12 C. 1
4
D. 0 4.从三棱锥的六条棱中任意选取两条，则这两条棱
所在直线是一对异面直线的概率是（ ）.
A.
120 B. 115
C. 15
D. 16 5.设a b 、分别是甲、乙各抛掷一枚骰子得到的点数，已知乙所得的点数为2，则方程
20x ax b ++=有两个不等实根的概率是（ ）.
A.
23 B. 13 C. 12 D. 512
6.在区间[1,1]-上随机抽取一个数x ，cos 2x π的值介于0到1
2
之间的概率为（ ）.
A. 13
B. 2
π
C. 12
D. 23
7. ABCD 为长方形，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 中随机抽取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（ ）.
A. 4π
B. 14π-
C. 8π
D. 18
π- 8.从长度分别为的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种，在这些取法中，以取出的三
条线段作为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则m
n
为（ ）.
A. 110
B. 15
C. 3
10
D. 25
9.在面积为S 的ABC ∆内部任取一点P ，则PBC ∆的面积大于2
S
的概率是（ ）.
A.
14 B. 12 C. 34 D. 23
10.某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10分钟的概率是（ ）. A.
16 B. 15 C. 13 D. 25
11.若连续掷两次骰子得到的点数m n 、分别作为点的P 坐标，则点P 落在圆2
2
25
x y +=
