课题：函数的奇偶性
（一） 主要知识： 1.函数的奇偶性的定义：
设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数；
2.奇偶函数的性质：
()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；
()2()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；
()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；
()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的 单调性.
3.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=．
4.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．
（二）主要方法：
1.判断函数的奇偶性的方法：
()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式；
()2图象法；
()3性质法：①设
()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇； ②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；
2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，
()1()
f x f x =±-． 典型题型 问题1．判断下列各函数的奇偶性：
()
1()f x =； ()2()2
12()2x x f x +=； ()3
())f x x =； ()4 22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ 问题2．利用函数的奇偶性求解析式
已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞
时，()(1f x x =+
，
则()f x 的解析式为 问题3．利用定义判断抽象函数的奇偶性
1.已知函数()f x 满足：()()2()()f x y f x y f x f y ++-=⋅对任意的实数x 、y 总成立，且(1)(2)f f ≠.求证：()f x 为偶函数.
2.已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，
()1求证：()f x 为奇函数；()2若(3)f a -=，用a 表示(12)f .
问题4.利用函数的奇偶像和单调性的综合应用
．()1已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，
若120,0x x <>，且12||||x x <，则
A .12()()f x f x ->-
B .12()()f x f x -<-
C .12()()f x f x ->-
D . 12()()f x f x -<-
()2设定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若(1)()f m f m -<， 求实数m 的取值范围
问题5：利用函数的奇偶性求值
已知5)(3
57++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ，
则=)7(f _______ 问题6：数形结合
1设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-若当[
x ∈ ()f x 的图象如右图,则不等式()0f x <问题71.已知函数21()ax f x bx c
+=+（a 、b 、c Z ∈）为奇函数，又(1)2f =，(2)3f <， 求a 、b 、c 的值 .
2.定义在)1,1(-上的函数1
)(2+++=
nx x m x x f 是奇函数，则常数=m ____,=n _____ 3.已知函数2()f x ax bx c =++,[]23,1x a ∈--是偶函数,则a b +=
