自适应滤波算法及其应用
摘要：
自适应滤波器理论是现代信号处理技术中的重要组成部分。而自适应滤波算法作为自适应滤波器的重要组成部分，直接决定着滤波性能的优劣。本文从自适应滤波器基本原理入手，介绍了自适应滤波器的基本理论思想，算法及设计方法。本文介绍了两种最基本的自适应算法，即最小均方误差(LMS)算法和递归最小二乘（RLS)算法，并针对两种算法的性能及优缺点进行了详细的比较。最后，介绍了几种自适应滤波算法的应用，自适应滤波器去除噪声的原理和从强噪声背景中采用自适应滤波提取有用信号的方法，自适应预测器，自适应均衡器。
1.自适应滤波原理
自适应滤波是利用前一时刻已获得的滤波器参数的结果，自动的调节现时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。自适应滤波器实质上就是一种能调节其自身传输特性以达到最优的维纳滤波器。自适应滤波器不需要关于输入信号的先验知识，计算量小，特别适用于实时处理。
由于无法预先知道信号和噪声的特性或者它们是随时间变化的，仅仅用FIR 和IIR两种具有固定滤波系数的滤波器无法实现最优滤波。在这种情况下，必须设计自适应滤波器，以跟踪信号和噪声的变化。
在自适应滤波器中，参数可调的数字滤波器一般为FIR数字滤波器，IIR数字滤波器或格型数字滤波器。自适应滤波分2个过程。第一，输入信号想x(n)通过参数可调的数字滤波器后得输出信号y(n)，y(n)与参考信号d(n)进行比较得误差信号e(n)；第二，通过一种自适应算法和x(n)和e(n)的值来调节参数可调的数字滤波器的参数，即加权系数，使之达到最佳滤波效果。
自适应滤波器的一般形式如图1所示，图中 输入信号 x(n)加权到数字滤波器产生输出信号y (n)，自适应算法调节滤波器权系数使输出y(n)和滤波器期望的响应 d(n)之间的误差信号e(n)为最小。自适应滤波器的系数受误差信号的控制，根据e(n)的值 和自适应算法自动调整。一旦输入信号的统计规律发生了变化，滤波器能够自动跟踪输入信号的变化，自动调整滤波器的权系数，实现自适应过程，最终达到滤波效果。
图1.1 自适应滤波器原理图 2.最小均方误差(LMS)算法
LMS 算法即最小均方误差(least-mean-squares) 算法，是由Widrow 和Hoff 提出的线性自适应滤波算法，包括滤波过程和自适应过程。因其具有计算量小、易于实现等点而在实践中被广泛用。
LMS 算法是一种基于最小均方误差准则的随机梯度下降算法，其核心思想就是利用单次采样获得的平方误差代替均方误差，通过调节权系数使得滤波器的输出信号y(n)与期望响应信号d(n)之间的均方误差或2()e n 最小。其梯度估计值如下式：
2[()]()2()()()e n n e n x n w n ∧
∂∇==-∂ （2-1）
这种瞬时估计法是无偏的，因为它的期望值E[)(n ∇∧
]等于矢量)(n ∇。因此，按照自适应滤波器滤波系数矢量的变化与梯度矢量估计的方向之间的关系，可以先写出LMS 算法的公式如下： 1(1)()[()]()()()2w n w n n w n e n x n μμ∧∧∧∧+=+-∇=+ (2-2) 将式e(n)=d(n)-y(n)和e(n)=d(n)-w H x(n)代入到上式中，可得到
(1)()()[()()()]
[()()]()()()H
H w n w n x n d n w n x n I x n x n w n x n d n μμμ∧∧∧∧+=+-=-+ (2-3)
图2.1 自适应LMS 算法信号流图
由上式可以得到自适应LMS 算法的信号流图，这是一个具有反馈形式的模型，如图2-1所示。如同最陡下降法，我们利用时间n=0的滤波系数矢量为任意的起始值w(0),然后开始LMS 算法的计算，其步骤如下。
(1)由现在时刻n 的滤波器滤波系数矢量估值)(n w ∧
，输入信号矢量x(n)以及期望信号d(n)，计算误差信号：
()()()()H e n d n x n w n ∧=- (2-4)
(2)利用递归法计算滤波器系数矢量的更新估值：
)()()()1(n x n e n w n w μ+=+∧
∧ (2-5)
其中，μ是收敛因子，()W n 为自适应滤波器在时刻n 的权矢量，
()[(),(1),......(1)]X n x n x n x n L =--+T 为时刻n 的输入信号矢量，L 是自适应滤波器的长度。()d n 为期望输出值，()v n 为干扰信号，()e n 是误差信号。μ是步长因子。LMS 算法收敛的条件为：max 01/μλ<<，max λ是输入信号自相关矩阵的最大特征值。将时间指数n 增加1，回到步骤(1)，重复上述计算步骤，一直到达稳态为止。自适应LMS 算法简单，它既不要计算输入信号的相关函数，又不要求矩阵之逆，因而得到了广泛的应用。但是，由于LMS 算法采用梯度矢量的瞬时估计，它有大的方差，以致不能获得最优滤波性能。
3.递归最小二乘（RLS ）算法
SISO 系统动态过程的数学模型：
11()()()()()A z z k B z u k n k --=+ (3-1)
其中()u k ，()z k 为输入输出量，()n k 为噪声。式中
11212()1...a
a n n A z a z a z a z ----=++++11212()...
b b n n B z b z
b z b z ----=+++ 展开后得到：
1212()(1)(2)...(1)(2)...()a b n n b z k a z k a z k a bu k b u k b u k n =------+-+-++- 模型（1）可化为最小二乘格式：
()()()z k h k n k τθ=+ (3-2)
记1212[,,...,,,...,]a b n n a a a b b b τ
θ=为待估计的参数。()[(1),...,(),(1),...,()]a b h k z k z k n u k u k n τ=------，对于1,2,...k L =（L 为数据长度）。方程（2）构成一个线性方程组，写成()()()L L L z k H k n k θ=+；
(1)(2)()L z z Z z L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，(1)(2)()L h h H h L τττ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，(1)(2)()L n n n n L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
