最新二进制数的补码运算(经典)

- 1 - 补码扩展规则

补码扩展规则是指在进行补码运算时，对于二进制数的符号位进行扩展的一种规则。在补码运算中，为了使负数的加减法可以和正数一样进行运算，需要将二进制数的符号位（最高位）设定为1表示负数。而在进行扩展操作时，需要将符号位的1进行扩展，填充到高位上，以保证计算的正确性。

具体来说，在进行补码扩展时，可以分为两种情况：

1.正数补码扩展：对于一个正数，其符号位为0，不需要进行扩展操作。例如，对于二进制数0011，其补码为0011，不需要进行扩展操作。

2.负数补码扩展：对于一个负数，其符号位为1，需要进行扩展操作。扩展操作的具体步骤为将符号位的1进行扩展，填充到高位上。例如，对于二进制数1100，其补码为11100，需要在前面填充一个1，使其成为111100，才能进行计算。

总之，在进行补码运算时，需要注意符号位的扩展规则，以保证计算的正确性。

二进制数据的表示法

二进制数据也是采纳位置，其是以2为底的。例如二进制数据110.11，逢2进1，其权的大小顺序为22、21、20、2-1、2-2。关于有n位整数，m位小数的二进制数据用加权系数展开式表示，可写为：

（a(n-1)a(n-2)...a0...a(-m)）2

=a(n-1) * 2 (n-1)+ a(n-2) *2(n-2) + ...a * 2(0)...+a(-m)* 2(-m)

二进制数据一样可写为：（a(n-1)a(n-2)…a(1)a(0).a(-1)a(-2)…a(-m)）2。

注意：

1.式中aj表示第j位的系数，它为0和1中的某一个数。

2.a(n-1)中的(n-1)为，输入法无法打出因此用括号括住，幸免混淆。

3.2^2表示2的平方，以此类推。

【例1102】将二进制数据111.01写成加权系数的形式。

解：（111.01）2=(1×2^2)+(1×2^1)+(1×2^0)+(0×2^-1)+(1×2^-2)

二进制和，八进制一样，都以二的幂来进位的。

二进制运算

二进制数据的的大体规律和数的运算十分相似。最经常使用的是加法运算和运算。

1.二进制加法运算

有四种情形： 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 ps:0 进位为1

【例1103】求 (1101)2+(1011)2 的和

解： 1 1 0 1

+1 0 1 1

------------------- 1 1 0 0 0

2.二进制乘法运算

有四种情形： 0×0=0 1×0=0 0×1=0 1×1=1

【例1104】求 (1110)2 乘(101)2 之积

解： 1 1 1 0

× 1 0 1

补码(two's complement)

在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。原因在于，使用补码，可以将符号位和数值位统一处理；同时，加法和减法也可以统一处理。此外，补码与原码的的相互转换，其运算过程是相同的，不需要额外的硬件电路。

补码的特性

1、一个整数（或原码）与其补数（或补码）相加，和为模。

2、对一个整数的补码再求补码，等于该整数自身。

3、补码的正零与负零表示方法相同。

机器数：计算机中参与运算的数被称为机器数，有以下特点，

1、计算机中参与运算的数均为二进制数，这是因为，运算电路是由只能识别“0”、“1”的数字电路组成。

2、机器数有带符号数和无符号数两种。

3、带符号的机器数有源码、反码和补码三种表示方式；无符号数没有源码、反码、补码的区别。

4、CPU的运算电路是按补码的运算规律设计，因此，进行运算的带符号数均用补码表示。

无符号数的运算

1、与手工二进制运算的方法相同（指运算电路）。

2、可以用十六进制数的运算代替二进制数的运算，计算时不容易出错，而且快捷。

源码表示法（带符号数）

1、正数。最高位是符号位，用“0”表示正号，即15~0位的第15位为0，7~0位的第7位为0。

2、负数。最高位是符号位，用“1”表示负号，即15~0位的第15位为1，7~0位的第7位为1。

3、求源码的方法：先将真值转换成二进制数，再写成固定的8位或16位，最高位用“0”或“1”表示数的正号和负号。计算机就是用这种方法表示。

真值就是带符号的十进制数（补码的绝对值），如+20、-20、+120、-120。

在计算机内，如果是一个二进制数，其最左边的位是1，则我们可以判定它为负数，并且是用补码表示。若要得到一个负二进制补码的真值（原来的数值），只要对其求补码，就可得到真值。

【例5】-65的补码是10111111

若直接将10111111转换成十进制，发现结果并不是-65，而是191。

(注意：理解的彻底这里)

二进制数的原码、反码及补码表示

1、机器数与真值

机器数：数在机器中的编码表示。

真 值：一般书写表示的数。

机器数中，数值和符号完全数字化。计算机在进行数字运算时，采用把各种符号位和数字位一起编码的方法。常见的有原码、反码及补码表示法。

2、原码表示法

原码表示法是机器数的一种简单表示法。其符号位用0表示正数，用1表示负数，数值一般用二进制形式表示。

[x]原=符号位+绝对值

若x=+1100110 则 [x]原=01100110

x= -1100110 [x]原=11100110

(说明：其实就是把符号+-改为01)

所以用８位二进制数来表示整数原码时，其表示范围：

最大数：01111111，为（+127）D

最小数：11111111，为（-127）D

思考：0的原码有两种表示形式！！

3、反码表示法

机器数的反码可由原码得到。如果机器数是正数，则机器数的反码与原码一致；

若机器数是负数，则机器数的反码是它的原码（符号位除外）的各位取反而得到。即：

正数：[x]反=[x]原

负数：[x]反=对[x]原除符号外的各位取反

若x=+1100110 则[x]反=01100110

x= -1100110 [x]反=10011001

4、补码表示法

机器数的补码也可由原码得到。如果机器数是正数，则机器数的反码与原码一致；若机器数是负数，则机器数的反码是它的原码（符号位除外）的各位取反，并在末位加1而得到。即：反码是作为求补码的中间过程。

正数：[x]补=[x]原

负数：[x]补=[x]反+1

若x=+1100110 则[x]补=01100110

x= -1100110 [x]补=10011010

注意：补码的0只有一种表示形式！

[+0]原=00000000 [-0]原=10000000

[+0]反=00000000 [-0]反=11111111