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平面向量
【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】
1. 向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a。
2. 向量的模：向量的大小（或长度），记作：| AB |或|a|。
3. 单位向量：长度为 1 的向量。若e是单位向量，则| e| 1。
4. 零向量：长度为0 的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】
5. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6. 相等向量：长度和方向都相同的向量。
7. 相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA。
8. 三角形法则：
AB BC AC ；AB BC CD DE AE；AB AC CB （指向被减数）
9. 平行四边形法则：
以
a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a b，a b。
10. 共线定理：a b a/ /b。当0 时，a与b同向；当0 时，a与b反向。
11. 基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12. 向量的模：若a(x, y) ，则 2 2
| a|x y ， 2 | |2
a a ，
|a b | (a b) 2
13. 数量积与夹角公式： a b | a| |b |cos ；cos
a b | a| |b|
14. 平行与垂直：a//b a b x1 y2 x2 y1；a b a b 0 x1x2 y1 y2 0 题型 1. 基本概念判断正误：
（1）若a与b 共线， b 与c共线，则a与c共线。（2）若ma mb，则a b。（3）若m a na ，则m n 。（4）若a与b不共线，则a与b 都不是零向量。（5）若a b |a| |b|，则a / /b。（6）若| a b| | a b|，则a b。
题型 2. 向量的加减运算
4. 已知AC为AB与AD 的和向量，且AC a, BD b，则AB ，AD 。
5. 已知点C在线段AB上，且题型 3. 向量的数乘运算
3
AC AB , 则AC BC，AB BC。
5
2. 已知a(1, 4),b ( 3,8)，则
1
3a b 。
2
题型 4 根据图形由已知向量求未知向量
1. 已知在ABC 中，D 是BC 的中点，请用向量AB，AC 表示AD 。
2. 在平行四边形ABCD 中，已知AC a, BD b ，求AB和AD 。
题型 5. 向量的坐标运算
6. 已知AB (2,3) ，B C (m, n) ，CD ( 1,4) ，则DA 。
7. 已知O 是坐标原点，A(2, 1),B (4,8) ，且AB 3BC 0，求O C 的坐标。
题型 6. 判断两个向量能否作为一组基底
1. 已知e e 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：
1, 2
A. e e 和e e
B. 3e1 2e2和4e2 6e1
C. e1 3e2和e2 3e1
D. e2和e2 e1
1 2 1 2
题型7. 结合三角函数求向量坐标
1. 已知O 是坐标原点，点 A 在第二象限，|OA | 2，xOA 150 ，求O A的坐标。
题型8. 求数量积
1. 已知| a | 3,| b | 4，且a 与b 的夹角为60 ，求（1）a b ，（2）a (a b) ，
（3）
1
(a b) b ，（4）(2a b) (a 3b) 。
2
题型9. 求向量的夹角
3. 已知A(1,0) ，B (0,1) ，C (2,5) ，求cos BAC 。
题型10. 求向量的模
1．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度| ×|=| || |sinθ，若
=（2，0），﹣=（1，﹣），则| ×（+ ）|=（）
A．4 B．C．6 D．2 1. 已知| a | 3,| b | 4，且a 与b 的夹角为60 ，求（1）| a b |，（2）|2a 3b |。
3. 已知| a | 1，|b | 2，|3a 2b | 3，求|3a b |。
题型11. 求单位向量【与a平行的单位向量： e
a
|a|
】
1. 与a (12,5) 平行的单位向量是
2. 与题型12. 向量的平行与垂直
1
m ( 1, ) 平行的单位向量是。
2
1. 已知a (1, 2) ，b ( 3,2)，（1）k 为何值时，向量ka b 与a 3b 垂直？（2）k 为何值时
向量ka b 与a 3b 平行？
2. 已知a 是非零向量， a b a c ，且b c ，求证：a (b c)。
3．若向量=（2cosα，﹣1），=（，tanα），且∥，则sinα=（）
A．B．C．D．
题型13. 三点共线问题
3. 已知AB a 2b, BC 5a 6b,CD 7a 2b，则一定共线的三点是。
4. 已知A(1, 3) ，B (8, 1) ，若点C(2a 1,a 2) 在直线AB 上，求a的值。
5. 已知四个点的坐标O (0,0) ，A(3, 4) ，B( 1,2) ，C (1,1)，是否存在常数t ，使O A t O B O C
成立？
题型14. 判断多边形的形状
1．已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足( ﹣）?（+ ﹣2 ）=0，
则△ABC 的形状一定为（）
A．等边三角形B．直角三角形C．钝三角形D．等腰三角形2. 在平面直角坐标系内，OA ( 1,8), O B ( 4,1),OC (1,3) , 求证：ABC 是等腰直角三角形。
题型15. 平面向量的综合应用
1. 已知a ( m,3) ，b (2, 1)，（1）若a 与b的夹角为钝角，求m 的范围；
（2）若a 与b 的夹角为锐角，求m 的范围。
2. 已知ABC 三个顶点的坐标分别为A(3, 4) ，B (0,0) ，C (c,0) ，
（1）若AB AC 0，求c的值；（2）若c 5，求sin A 的值。
