函数重、难点讲解：函数的单调性一

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函数的单调性（一） 增、减函数定义
王宪良
【学习目标】 (1)理解函数的单调性及其几何意义；
(2)会运用函数图象理解和研究函数的单调性；

一、 阅读课本内容，有一句话：“随着x的增大，相应的f（x）也随着增大”，怎么用图象和数学式子表示这
句话？
“f(x) 随着x的增大而减小呢”？
什么叫做增函数．．．？减函数？．．．．（记住定义）

定义：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1么就说函数f(x)在区间D上是增函数
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1f(x2)，那
么就说函数f(x)在区间D上是减函数.

练习：定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数ba、，总有0)()(babfaf，则必有 （ ）
A.函数f(x)先增后减 B. 函数f(x)先减后增
C.函数f(x)在(-∞,+∞)上增 D. 函数f(x)在(-∞,+∞)上减

注1：增（减）函数的定义是用数学符号来刻画函数的图象特征，
在增（减）函数的定义中包含三个方面的内容，即只要满足：①任意21xx，②有)()(21xfxf[或
)()(21xfxf
]，就能推出③y=f(x)是增（减）函数。这三项可以知二求一，即：

（1）)()()(2121xfxfxfxx是增函数，)()()(2121xfxfxfxx是减函数；

（2）)()()(2121xfxfxfxx是增函数，)()()(2121xfxfxfxx是减函数
（3）2121)()()(xxxfxfxf是增函数，2121)()()(xxxfxfxf是减函数
以上特征(2)(3)称作函数单调性的可逆性，利用(3)可以脱去某些函数符号，也可以解某些不等式.
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如：若f(x)是减函数，且)2()23(2fmmf，则2232mm，……
又如：解不等式332)5()5(xxx时，可利用幂函数3ty的单调性，由于幂函数3ty在R上单调递
增，因此552xxx，……
利用函数单调性的可逆性出题较多，详见后单调性的应用。
2.研究函数单调性时，需注意事项：

①坚持“定义域优先”的原则，要优先考虑函数的定义域. 如：函数xy在[0，+∞)上单调递增.
②“整体”与“局部”之分，函数的单调性是函数在某个区间是的性质，是局部性质，而“奇偶性”、“周期性”

等是函数的整体性质。如：函数xy1在(－∞，0)和 (0，+∞)上分别单调递减，但不能说“在定义域上单调
递减”
③x的“任意”性，21xx、必须是这一局部（区间）内任意的两个值,不能用具体的两个值来代替，否则就

会产生错误.比如函数xy1，若取11x，12x，因为1)(1xf,1)(2xf，)()(21xfxf
，由此推出f(x)是增函数，就会产生错误，原因就在于x1，x2是定值，不具有任意性.
④如果一个函数在其定义域内有多个单调增（减）区间，那么这些区间应用逗号隔开（即“局部”），而不能用
并集符号连接，（并完之后就成了“整体”），如：函数xy1的单调减区间可以写成(－∞，0)，(0，+∞)（或
者写成(－∞，0)和(0，+∞)），但不能写成(－∞，0)∪(0，+∞).
⑤因为函数的单调性是反映函数图象变化趋势的，所以在某一点处没法讨论函数的单调性，比如函数x2的单
调增区间可以写成开区间（0，+∞），也可以写成[0,+∞).但是若定义域中不包含这个端点，则必须使用开区
间表示.

二、 什么叫做函数具有单调性？
请说出一次函数)0(kbkxy、反比例函数)0(kxky、二次函数)0(2acbxaxy的单调性？
请例举几个具有单调性（增、减）和不具有单调性的函数？

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，区间D叫做
y=f(x)的单调区间.
画图可知：
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一次函数)0(kbkxy，当k>0时，在(-∞,+∞)上单调递增，当k<0时，在(-∞,+∞)上单调递减；
反比例函数)0(kxky，当k>0时，在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减，当k<0时，在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增；
二次函数)0(2acbxaxy,当0a时，在(-∞,-ab2)上单调递减，在(-ab2，+∞)上单调递增；当
0a
时，在(-∞,-ab2)上单调递增，在(-ab2，+∞)上单调递减.
举例：函数y=-2x+1在(-∞,+∞)上是减函数；
函数y=x2+1在(-∞,+∞)上不单调；
函数y=x+1，x∈Z.的定义域不是区间，所以不能说它在定义域上具有单调性.

三、例1. 下图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一
个单调区间上它是增函数还是减函数？

解：函数y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2，1)，
[1，3)，[3，5]．
其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1，3)上是减函数，在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数.
练习：1. 根据如图的图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上函数的单调性．

解：函数图象上升的区间为增区间，下降的区间为减区间，结合图象可知：函数在区间（-∞，-0.7]上为增函数，
在（-0.7，0]上为减函数，在（0，1.1]上为增函数，在（1.1，2]上为减函数
（2，+∞）上为增函数.
练习：2.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上函数的单调性．
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（1）652xxy （2）29xy
例2．证明函数xky（k为正常数）在区间(0,+∞)上是减函数.
分析：这是一个重要题型——证明函数的单调性（即证明f（x）在某区间上增或减），证明的依据是什么？证
明步骤为（重点）？
证明的依据是定义；
证明：（定义法）设0则f(x1)-f(x2)=211221xxxxkxkxk
因为00,x1x2>0,又因为k>0，所以f(x1)-f(x2)>0,所以f(x1)>f(x2)
所以函数xky（k为正常数）在区间(0,+∞)上是减函数.

总结步骤：1.设x1、x2属于要证的区间，且x1 2.求f(x1)-f(x2),并整理，该步的结果必须化成几个因式的积或商，便于与0比较.
3.讨论上式的正负，从而得到f(x1)与f(x2)的大小关系；
4.回答问题.(依据增（减）函数定义，得函数在所给区间上为增（减）函数)
练习：1.请证明反比例函数xy1，在(-∞,0)上为减函数.
2.证明函数f(x)=-2x+1在上是减函数.

四、尝试归纳以下结论,对于直接判断函数单调性有好处:
①函数f(x)与f(x)+C（C为常数）的单调性相同.
②函数f(x)与)(xfa,当0a时，单调性相同，当0a时，单调性相反.
特别地：函数y = - f(x)与函数y = f(x)的单调性相______.
如：函数y=-x与y=x
③当f(x)≠0，则y=)(1xf与y=f(x) 的单调性相_______。

如：函数y=x1与y=x；
请判断函数f(x)= 1-x1的单调性。
④在公共区间内，对于函数f(x)g(x)可以总结为:增 + 增= 增, 增 - 减= 增, 减 + 减= 减,减 - 增= 减.
如：函数y=x-x1是___函数.
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⑤当f(x)，g(x)都是增（减）函数时，若两者都恒大于0，则f(x)﹒g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于0，则
f(x)﹒g(x)是减(增)函数.
如：y=x︱x︱ (x>0) 是___函数.
（请记熟以上结论，记忆一分钟）
五、小结：本节课重点掌握增（减）函数定义，证明增（减）函数的定义法的步骤，和五条性质。
六、作业：1.证明函数f(x)=x2+1在(-∞,0)上是减函数.

2. 证明函数f(x)= 1-x1在(-∞,0)上是增函数.
3.探究一次函数y=mx+b (x∈R)的单调性，并证明.