2022-2023学年苏科版九年级数学下册《第5章二次函数》解答优生辅导训练题（附答案）
1．已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．
（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．
①直接写出△BDQ的周长 ；
②直接写出tan∠BDQ的值 ．
2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，过点A的直线l：y＝﹣x﹣1交抛物线于点C（2，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）在y轴上是否存在点D，使得以点A，C，D为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于O点、A点，B为抛物线上一点，C为y轴上一点，连接BC，且BC∥OA，已知点O（0，0），A（6，0），B（3，m），AB＝3．
（1）求B点坐标及抛物线的解析式；
（2）M是CB上一点，过点M作y轴的平行线l交抛物线于点E，交OB于点D，求DE的最大值；
（3）在（2）的条件下，坐标平面内是否存在一点F，使得以C、B、D、F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出符合条件的点F坐标；若不存在，请说明理由．
4．已知抛物线y＝x2﹣x﹣m2﹣m．
（1）求证：抛物线与x轴必定有公共点；
（2）若P（a，y1），Q（﹣2，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2．求a的取值范围；
（3）设抛物线与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），点A在点B的左侧，与y轴负半轴交于点C，且|x1|+|x2|＝3，若点D是直线BC下方抛物线上一点，连接CD、DB，△DBC面积是否存在最大值，若存在，求点D的坐标，若不存在说明理由．
苏科版九年级下册数学第5章 二次函数 含答案
一、单选题(共15题，共计45分)
1、下列说法错误的是（ ）
A.抛物线y=﹣x 2+x的开口向下 B.两点之间线段最短 C.角平分线上的点到角两边的距离相等 D.一次函数y=﹣x+1的函数值随自变量的增大而增大
2、二次函数y=a（x+k）2+k，无论k为何实数，其图象的顶点都在（ ）
A.直线y=x上 B.直线y=﹣x上 C.x轴上 D.y轴上
3、如图，是二次函数 的部分图像，有图像可知：不等式
的解集是（ ）
A. B. C. D.
4、下列抛物线中，与 轴有两个交点的是（ ）
A.y=5x 2-7x+5 B.y=16x 2-24x+9 C.y=2x 2+3x-4 D.y=3x 2-2
x+2
5、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表给出了以下结论： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12 …
①二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；②当﹣ ＜x＜2时，y＜0；③二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴的两侧；④当x＜1时，y随x的增大而减小．则其中正确结论有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6、定义：如果抛物线：y=a1x2+bx+c1(a1≠0)与抛物线y=a2x2+bx+c2(a2≠0)满足：a1+a2=0,c1+c2=0,则称这两条抛物线互为“同胞抛物线”．现有下列结论：①抛物线y=(x+1)2-2的同胞抛物线是抛物线y=(x+1)2+2;②若两条抛物线互为同胞抛物线，则它们的顶点关于原点对称;③已知抛物线C1与抛物线C2互为同胞抛物线，若点M(2，3)在抛物线C1上，则N(-3,-2)在抛物线C2上；④已知抛物线C1与抛物线C2互为同胞抛物线。则它们一定有两个不同的交点．
2021年九年级数学中考复习专题之二次函数考察：
最值问题综合（五）
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限抛物线上一点，设P点的横坐标为m．过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，连接PE，当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标；
（3）连接AC，Q是线段BC上一动点，过Q作QF⊥AC于F，QG⊥AB于G，连接FG．请直接写出FG的最小值和此时点Q的坐标．
2．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝x﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；
（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．点D是AC上方抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，如图1，△CDE，△BCE的面积分别为S1，S2，求的最大值；
（3）过点D作DF⊥AC于F，连接CD，如图2，是否存在点D，使得△CDF中的某个角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，说明理由．
4．已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点为A（﹣1，0）和点B，与y轴交点为C（0，﹣3），直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D．
（1）求抛物线和直线L的解析式；
（2）如图，点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M作MN∥x轴交L于点N，求MN的最大值；
二次函数的性质之对称
教学目标：
（1） 进一步深化理解二次函数图像抛物线的对称性，并学会利用其对称性解决相关问题。
（2） 在探究抛物线对称性问题的过程中，培养学生数形结合思想和函数、方程思想。
教学重点：
掌握抛物线的对称性的特点，并灵活运用此性质解决问题。
教学过程：
引例：一门迫击炮炮弹的飞行高度y与飞行时间t满足二次函数关系，若发射后5秒爆炸，则问何时炮弹飞行弹道最高点？抛一个小球后1.1秒后达到最高点，如果间隔1秒同样抛第二个小球，试问从抛第一个小球开始计时何时两球高度相同？
一 二次函数图像抛物线是轴对称图形。对称轴可以表示为
（1）2(0)yaxbxca的对称轴为直线2bxa
（2）2()(0)yaxhka的对称轴为直线 xh 导出结论
（3）12()()(0)yaxxxxa的对称轴为直线122xxx
二 探究二次函数图像抛物线上对称点的性质与条件
抛物线上任一对对称点A、B，点A在B的左侧（Ax < Bx）
① 离对称轴距离相等 A、B为对称点 纵坐标相等
（BAxhhx即2ABxxh ） （AByy）
② 开口向上的抛物线上离对称轴较近的点其纵坐标较小；
开口向下的抛物线上离对称轴较远的点其纵坐标较小。
三 基础题型演练：
（1）2112yxx 的对称轴为直线 1x ；2(1)3yx的对称轴为直线 1x ；4(1)(3)yxx的对称轴为直线 1x
（2）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为直线 2x ．
（3）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，方程ax2+bx+c=0的根是31xx或 ．
