2014高考数学一轮课时专练(理科浙江省专用)(二十六)B[第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例]

浙江省2014届理科数学复习试题选编26：三视图及空间几何体的体积与表面积一、选择题1 ．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,当xy 最大时,该几何体的体积为（ ）A ．72B ．73C ．74D ．762 ．（浙江省温州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）若某几何体的二视图如图所示,则此几何体的体积是()3 ．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．12 4 ．（浙江省杭州二中2013届高三6月适应性考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为俯视图（ ）ABCD5 ．（浙江省绍兴市2013届高三教学质量调测数学（理）试题（word 版） ）某四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于正视图侧视图 俯视图 5xy7俯视图正视图（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46 ．（浙江省嘉兴市2013届高三第二次模拟考试理科数学试卷）某几何体的三视图如图所示,其中三角形的三边长与圆的直径均为2,则该几何体的体积为 （ ）A ．π334+ B ．π33832+ C ．π3332+ D ．π3334+7 ．（浙江省宁波市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（ ）A ．338 B ．3316C ．38 D ．3168 ．（【解析】浙江省镇海中学2013届高三5月模拟数学（理）试题）右图是某几何体的三视图,则该几何体的表面积等于（ ） A．34+B ．6+C ．6+D．17+正视图 侧视图俯视图 （第6题）9 ．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题 ）某三棱锥的三视图如图所示,已知该三视图中正视图和俯视图均为边长为2的正三角形,侧视图为如图所示的直角三角形,则该三棱锥的体积为 （ ）A ．1B ．3C ．4D ．510．（浙江省考试院2013届高三上学期测试数学（理）试题）已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是．．该三棱锥的三视图是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（浙江省温州八校2013届高三9月期初联考数学（理）试题）如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积是（ ）A ．27B ．30C ．33D ．36 12．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（ ）A ．8B ．203C ．173D ．14313．（浙江省宁波市2013届高三第一学期期末考试理科数学试卷）已知某四棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该四棱锥的体积是侧视图 正视图俯视图侧视图俯视图侧视图正视图 俯视图侧视图俯视图（ ）A3 B3C3D314．（浙江省金华十校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是（ ）A ．83B ．4C ．2D ．4315．（浙江省建人高复2013届高三第五次月考数学（理）试题）若一个螺栓的底面是正六边形,它的正视图和俯视图如图所示,则它的体积是（ ）A3225πB．3225πC．3225πD．12825π 16．（浙江省宁波一中2013届高三12月月考数学（理）试题）若某多面体的三视图如图所示,则此多面体的体积是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．12二、填空题17．（浙江省绍兴一中2013届高三下学期回头考理科数学试卷）如图为长方体木块堆成的几何体的三视图,则组成此几何体的长方体木块块数共有_____个.正视图侧视图俯视图18．（浙江省温州市十校联合体2013届高三上学期期末联考理科数学试卷）已知一个三棱锥的三视图如右下图所示,其中俯视图是顶角为120 的等腰三角形,则该三棱锥的体积为____.俯视图左视图主视图1 22319．（浙江省丽水市2013届高三上学期期末考试理科数学试卷）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________.20．（浙江省湖州市2013年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word版) ）已知某几何体的三视图如图所示,则这个几何体21．（浙江省考试院2013届高三上学期测试数学（理）试题）在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2.若存在各棱长均相等的四面体P1P2P3P4,其中P1,P2,P3,P4分别在棱AB,A1B1,C1D1,CD所在的直线上,则此长方体的体积为________.正视图俯视图(第12题)侧视图正视图侧视图俯视图（第12题图）22．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图是全等的矩形,底边长为2,高为3,俯视图是半径为1的圆,则该几何体的体积是_______.23．（浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的数据,则这个几何体的体积为_______.俯视图24．（浙江省嘉兴市第一中学2013届高三一模数学（理）试题）—个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为____25．（浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图为等腰直角三角形,侧视图与俯视图为正方形,则该几何体的体积为________.A BCDA1B1C1D1(第17题图)26．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）一空间几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为______________.27．（浙江省温岭中学2013届高三冲刺模拟考试数学（理）试题）某几何体的三视图及相应尺寸(单位:cm )如图所示,则该几何体的体积为___________.28．（浙江省温州中学2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）一个空间几何体的三视图如图所示,则这个空间几何体的体积是____.29．（浙江省杭州四中2013届高三第九次教学质检数学（理）试题）一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为m ),则该棱锥的全面积是______(单位:m 2).正视图俯视图（第11题图）侧（左）视图正视图 侧视图 俯视图30．（浙江省诸暨中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）正三棱柱的三视图如图所示, 则这个三棱柱的体积为___________31．（浙江省重点中学协作体2013届高三摸底测试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为________.32．（浙江省嘉兴市2013届高三上学期基础测试数学（理）试题）若某空间几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积是_______________.33．（浙江省杭州二中2013届高三6月适应性考试数学（理）试题）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中,点1P ,2P 分别是线段AB ,1BD (不包括端点)上的动点,且线段12P P 平行于平面11A ADD ,则四面体121PP AB 的体积的最大值为_________________.34．（温州市2013年高三第一次适应性测试理科数学试题）已知正四面体的俯视图如图所示,其中四边形ABCD 是边长为2的正正视图侧视图俯视图方形,则这个正四面体的体积为____.35．（浙江省黄岩中学2013年高三5月适应性考试数学(理)试卷 ）如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为________.正视图侧视图俯视图36．（浙江省新梦想新教育新阵地联谊学校2013届高三回头考联考数学（理）试题 ）如图所示,一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,则该三棱锥的体积为_________37．（浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）一个组合体的三视图如图,则其体积为______________38．（浙江省温州市2013届高三第三次适应性测试数学(理)试题（word 版） ）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是______.243正视图侧视图俯视图第15题39．（浙江省六校联盟2013届高三回头联考理科数学试题）所图所示,一个三棱锥的三视图是三个直角形,则该三棱锥的体积为____________________40．（浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为_______________________.41．（浙江省名校新高考研究联盟2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积是_______.42．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几cm.何体的体积等于________243．（浙江省乐清市普通高中2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为____.44．（浙江省海宁市2013届高三2月期初测试数学（理）试题）已知几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为____.45．（浙江省金丽衢十二校2013届高三第二次联合考试理科数学试卷）如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是______（第12题）正视图 侧视图 俯视图正视图浙江省2014届理科数学复习试题选编26：三视图及空间几何体的体积与表面积参考答案一、选择题1. A 提示 如图所示,题设三视图所表示的立体图形是三棱锥A —BCD,从图中可得32752222=+=+y x ,16222=+≤y x xy ,当y x =时取“=”,此时y x ==4,723742131=⨯⨯⨯⨯=-BCD A V .2. A3. B4. A5. B6. A;7. A8. 【答案】A解析:这是一个底面为矩形有一个侧面垂直底面的四棱锥,左右两侧面积和为10,底面面积为12,前后两个面的面积为12+,故表面积为34+.9. A10. D11. B12. C 【解析】几何体是正方体截去一个三棱台, 311172(22323V=-⋅++⨯= 13. C14. B15. C16. A二、填空题17. 4 18. 332 19. π3108+21. 422. 2π24. 6π25. 32 26. 2; 27. 38; 28. 76π 29. 624+30. 31. π332. 8 33. 12434. 83 35. 82+π 36. 4V = 37. 20π38. 3 39. 4V = 40. )31(50+ 41. 31742. 245 43.3+44. 644π45. 3。

【规范解答】（1）选A.由|a·b|＝|a||b|知，a∥b. 所以sin 2x＝2sin2x,即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)， 所以sin x＝cos x，即 x＝ ，故tan x＝1.
4
(2)选A.由题意得，BQ AQ AB 1 AC AB，
5．平面向量数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ ，则
数量积
x1x2＋y1y2 a·b＝_________
2 2 x1＋y1 ①|a|＝_______
模
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2 2 （x1－x 2） ＋（y1－y2） 则 | AB| ＝____________________
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ 为a与b(或e)的夹
角．则
(1)e·a=a·e=|a|cos
a·b=0 (2)a⊥b⇔_______.
θ .
(3)当a与b同向时，a·b=|a|·|b|.
当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|, |a|2 a a 特别地，a·a＝____或者|a|＝____.
第三节 平面向量的数量积
1.两个向量的夹角 定义 范围 向量夹角θ 的范围是 0°≤θ ≤180° _______________, 0°或180° 当θ = ___________时，两向 量共线； 90° 当θ = _____时，两向量垂直， 记作a⊥b（规定零向量可与任 一向量垂直）
非零 已知两个_____向量a,b， 作 OA a,OB b, ∠AOB=θ 叫作向量a与b的 夹角（如图）.
又∵a,b为两个不共线的单位向量，

课时作业(二十六) [第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量AB →＝(1，1)，n ＝(1，－1)，且n ·AC →＝2，则n ·BC →等于( )A ．－2B ．2C ．0D ．2或－22．已知a ＝(1，2)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，－2)，若(a ＋2b )⊥c ，则k ＝( )A ．2B ．－2C ．8D ．－83．已知向量a ＝(1，1)，2a ＋b ＝(4，2)，则向量a ，b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π24．[2014·温州模拟] 在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( )A . 2B ．2C . 6D ．65．已知向量a 和向量b 的夹角为135°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝________．6．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．能力提升7．已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( )A ．0B ．2 2C ．4D ．88．已知两个非零向量a 与b ，定义|a ×b |＝|a||b |sin θ，其中θ为a 与b 的夹角．若a ＝(－3，4)，b ＝(0，2)，则|a ×b |的值为( )A ．－8B ．－6C ．8D ．69．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，若在x 轴上存在一点P ，使AP →·BP→有最小值，则点P 的坐标为( )A ．(－3，0)B ．(2，0)C ．(3，0)D ．(4，0)10．[2014·郑州一检] 已知向量a 是与单位向量b 的夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t ，|t a －b |的最小值是( )A ．0 B.12C.32D ．1 11．已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且OA →2＋BC →2＝OB →2＋CA →2＝OC →2＋AB →2，则点O一定为△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心12．已知点A(1，－2)，若向量AB →与a ＝(2，3)同向，|AB →|＝2 13，则点B 的坐标为________．13．若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是________．14．(10分)已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且a·b ＝－12，求： (1)|a ＋b |的值；(2)a 与b －a 的夹角．15．(13分)在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝(－12，32)． (1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直； (2)求当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时α的大小．难点突破16．(12分)已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，且x ∈[0，π2]． (1)求a·b 及|a ＋b|的值；(2)若f (x )＝a·b －2λ|a ＋b|的最小值是－32，求λ的值．课时作业(二十六)1．B 2.C 3.B 4.C 5.－3 2 6.120° 7.B8．D 9.C 10.C 11.C 12.(5，4) 13.菱形14．(1)|a ＋b |＝1 (2)56π 15．(1)略 (2)α＝30°或α＝210°16．(1)a·b ＝cos 2x ，|a ＋b |＝2cos x(2)λ＝12。

5-3平面向量的数量积基 础 巩 固一、选择题1．(文)(2012·辽宁文，1)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x ＝( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．1[答案] D[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算． 由a ·b ＝1得，1×2－1×x ＝1，得x ＝1.(理)(2012·辽宁理，3)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b [答案] B[解析] 本题考查向量的运算由题意知|a ＋b |＝|a －b |，∵|a ＋b |2＝|a －b |2， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2， ∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .2．(文)若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3 [答案] C[解析] (8a －b )·c ＝(6·3)·(3，x )＝18＋3x ＝30， ∴x ＝4.(理)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16[答案] D[解析] 因为∠C ＝90°，所以AC →·CB →＝0，所以AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝(AC →)2＋AC →·CB →＝16.3．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12 [答案] D[解析] 本题考查了有坐标的向量的运算．包括数乘向量，向量的加减法及数量积，同时还考查了考生细心运算的能力．∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )， ∴a ·(2a －b )＝(2,1)·(5,2－k )＝10＋2－k ＝0， ∴k ＝12.4．(2012·浙江理，5)设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | [答案] C[解析] 本题考查向量共线的条件．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a 与b 方向相反． 则存在b ＝λa .反之则不然．5．(文)(2011·大纲全国卷文，3)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( )A. 2B. 3C. 5D.7[答案] B[解析] 本题主要考查了向量的基本运算，向量的数量积、向量的模与向量的平方的转化|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2 ＝1＋4×(－12)＋4×1＝ 3.(理)(2013·烟台市第一学期检测)已知向量a 、b ，其中|a |＝2，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是( )A.π4B.π2 C.3π4 D ．π[答案] A[解析] 由题意知(a －b )·a ＝a 2－a ·b ＝2－a ·b ＝0，∴a ·b ＝2.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝22，∴θ＝π4，故选A. 6．已知a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( )A ．－2 B.2－2 C ．－1D ．1－ 2[答案] D[解析]本题考查数量积的运算．(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－c·b＋c2＝0－(a＋b)·c＋1＝1－(a＋b)·c＝1－|a＋b|·|c|cos〈a＋b，c〉＝1－2·1·cos〈a＋b，c〉∴最小值为1－2，即a＋b与c同向共线时取得最小值．二、填空题7．(2012·安徽文，11)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.[答案] 2[解析]本题考查平面向量的垂直充要条件、数量积、模等．a＋c＝(3,3m)，∵(a＋c)⊥b，∴(a＋c)·b＝0，即(3,3m)·(m＋1,1)＝0，∴3(m＋1)＋3m＝0,6m＋3＝0，∴m＝－12，∴a＝(1，－1)，∴|a|＝ 2.8．(文)已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则|2e1－e2|＝________. [答案] 3[解析]本题主要考查向量的模及数量积等基础知识．∵|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°，∴e1·e2＝|e1||e2|cos60°＝1 2.∴|2e1－e2|＝(2e1－e2)·(2e1－e2)＝4|e1|2＋|e2|2－4e1·e2＝4＋1－2＝ 3.(理)已知向量a 、b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．[答案] 60°[解析] 本题主要考查平面向量的数量积及其运算．(a ＋2b )·(a －b )＝－6，则|a |2＋a ·b －2|b |2＝－6，即12＋a ·b －2×22＝－6，a ·b ＝1，即cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12，所以〈a ，b 〉＝60°.三、解答题9．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32x ，sin 32x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4. (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．[分析] 利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求|a ＋b |时注意x 的取值范围．[解析] (1)a ·b ＝cos 32x cos x 2－sin 32x sin x 2＝cos2x ， |a ＋b |＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 32x ＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32x －sin x 22＝2＋2cos2x ＝2|cos x |，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴cos x >0，∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－32. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32； 当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.[点评] 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变形的相关知识.能 力 提 升一、选择题1．(2012·安阳模拟)在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形[答案] C[解析] 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2得 (BC →＋BA →)·AC →－|AC →|2＝0， 即AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0， 即AC →·(2BA →)＝0，故有AC →⊥BA →.2．(文)已知两单位向量a ，b 的夹角为60°，则两向量p ＝2a ＋b 与q ＝－3a ＋2b 的夹角为( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．150° [答案] B[分析] 本题求解中，要注意充分利用两向量的数量积及求向量模的运算公式及方法．[解析] p ·q ＝(2a ＋b )·(－3a ＋2b )＝－6a 2＋a·b ＋2b 2 ＝－6a 2＋|a |·|b |·cos60°＋2b 2＝－72， |p |＝|2a ＋b |＝(2a ＋b )2＝4a 2＋4a·b ＋b 2 ＝4a 2＋4|a ||b |·cos60°＋b 2＝7，|q |＝|－3a ＋2b |＝(－3a ＋2b )2＝9a 2－12a·b ＋4b 2 ＝9a 2－12|a ||b |·cos60°＋4b 2＝7，而cos 〈p ，q 〉＝p ·q |p |·|q |＝－12.即p 与q 的夹角为120°.(理)(2013·辽宁省沈阳四校期中联考)已知两点A (1,0)为，B (1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，设OC →＝－2OA →＋λOB →，(λ∈R )，则λ等于( )A ．－1B ．2C ．1D ．－2[答案] C[解析] 由条件知，OA →＝(1,0)，OB →＝(1，3)，OC →＝(λ－2，3λ)，∵∠AOC ＝120°，cos ∠AOC ＝OA →·OC→|OA →|·|OC →|＝λ－2(λ－2)2＋3λ2， ∴λ－2(λ－2)2＋3λ2＝－12，解之得λ＝1，故选C.二、填空题3．(2012·浙江理，15)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.[答案] －16[解析] 本题考查向量的数量积运算． 如图．AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →＋MC →) ＝|AM →|2－|MB →|2＝32－52＝－16.4．(文)(2012·上海文，12)在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．[答案] [1,4][解析] 本题考查了数量积的坐标运算，由题意以矩形的顶点A 建立坐标系如图所示，则B (2,0)，D (1,0)，C (2,1)．设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝a ，则0≤a ≤1，|CN →|＝2a ，|BM →|＝a ，M (2，a ) ，N (2－2a,1)．AM →＝(2，a )，AN →＝(2－2a,1)∴AM →·AN →＝4－3a ，又0≤a ≤1，∴1≤4－3a ≤4， ∴AM →·AN →∈[1,4]．(理)(2012·上海理，12)在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________． [答案] [2,5][解析] 本题考查向量的线性运算与数量积的求法．如图：令|BM →||BC →|＝t ，则0≤t ≤1， AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋tAD → AN →＝AD →＋DN →＝AD →＋(1－t )AB →∴AM →·AN →＝AB →·AD →＋t |AD →|2＋(1－t )|AB →|2＋(t －t 2)AB →·AD →＝1＋t ＋(1－t )·4＋(t －t 2) ＝5－2t －t 2 ＝6－(t ＋1)2，∵0≤t ≤1，∴2≤AM →·AN →≤5.三、解答题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．[解析] 本题主要考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积等知识点，考查考生的运算求解能力．(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得 (3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115.6．(2012·盐城一模)已知向量a ＝(sin θ，3)，b ＝(1，cos θ)，θ∈(－π2，π2)．(1)若a ⊥b ，求θ； (2)求|a ＋b |的最大值．[解析] (1)因为a ⊥b ，所以sin θ＋3cos θ＝0. 得tan θ＝－ 3.又θ∈(－π2，π2)，所以θ＝－π3.(2)因为|a ＋b |2＝(sin θ＋1)2＋(cos θ＋3)2＝5＋4sin(θ＋π3)．所以当θ＝π6时，|a ＋b |2的最大值为5＋4＝9.故|a ＋b |的最大值为3.7．(文)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.[解析] (1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 和|c |＝25可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4. ∴c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0.∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0.∴a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－525·52＝－1，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.(理)在平行四边形ABCD 中，A (1,1)，AB →＝(6,0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .(1)若AD →＝(3,5)，求点C 的坐标．(2)当|AB →|＝|AD →|时，求点P 的轨迹．[解析] (1)设点C 的坐标为(x 0，y 0)．∵AC →＝AD →＋AB →＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)，即(x 0－1，y 0－1)＝(9,5)，∴x 0＝10，y 0＝6，即点C 的坐标为(10,6)．(2)设P (x ，y )，则BP →＝AP →－AB →＝(x －1，y －1)－(6,0)＝(x －7，y －1)，AC →＝AM →＋MC →＝12AB →＋3MP →＝12AB →＋3(AP →－12AB →)＝3AP →－AB →＝(3(x －1)，3(y －1))－(6,0)＝(3x －9,3y －3)．∵|AB →|＝|AD →|，∴平行四边形ABCD 为菱形，∴AC →⊥BP →，∴(x －7)(3x －9)＋(y －1)(3y －3)＝0，∴x 2＋y 2－10x －2y ＋22＝0 (y ≠1)．故点P 的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆去掉与直线y ＝1的两个交点．。