§2等差数列知能目标解读1.通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列.2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法.3.体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决等差数列问题.4.掌握等差中项的定义，并能运用它们解决问题.5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.重点难点点拨重点：等差数列的概念.难点：等差数列的通项公式及其运用.学习方法指导1.等差数列的定义（1）关于等差数列定义的理解，关键注意以下几个方面：①如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列.②一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列.③求公差时，要注意相邻两项相减的顺序.d=a n+1-a n(n∈N+)或者d=a n-a n-1 (n∈N+且n≥2).（2）如何证明一个数列是等差数列?要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只需证明对任意正整数n,a n+1-a n 是同一个常数(或a n-a n-1 (n>1)是同一个常数).这里所说的常数是指一个与n无关的常数.注意:判断一个数列是等差数列的定义式：a n+1-a n=d(d为常数).若证明一个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也可以证明a n+1-a n或a n-a n-1 (n>1)不是常数，而是一个与n 有关的变数即可.2.等差数列的通项公式（1）通项公式的推导常用方法：方法一（叠加法）：∵{a n}是等差数列，∴a n-a n-1=d,a n-1-a n-2=d,a n-2-a n-3=d,…,a3-a2=d,a2-a1=d.将以上各式相加得：a n-a1=(n-1)d,4.等差中项如果在数a 与b 之间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做数a 与b 的等差中项.注意:(1)等差中项A =2b a +⇔a ,A ,b 成等差数列； (2)若a,b,c 成等差数列，那么b =2c a +，2b=a+c ,b-a=c-b,a-b=b-c 都是等价的； (3)用递推关系a n+1=21 (a n +a n+2)给出的数列是等差数列，a n+1是它的前一项a n 与后一项a n+2的等差中项. 知能自主梳理1.等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的 是 ，我们称这样的数列为等差数列.2.等差中项如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a,A,b 成等差数列，那么A 叫做 .3.等差数列的判断方法（1）要证明数列{a n }是等差数列，只要证明：当n ≥2时， .（2）如果a n+1=22++n n a a 对任意的正整数n 都成立，那么数列{a n }是 . （3）若a,A,b 成等差数列，则A ＝ .4.等差数列的通项公式等差数列的通项公式为，它的推广通项公式为 . 5.等差数列的单调性当d >0时，{a n }是数列；当d =0时，{a n }是 数列；当d <0时，{a n ｝是 数列.［答案］ 1.差 同一个常数2.a 与b 的等差中项。
《等差数列》教学设计第1课时等差数列●三维目标1．知识与技能掌握等差数列通项公式及推导，掌握判断等差数列的方法．2．过程与方法通过对等差数列图像的应用进一步渗透数形结合思想，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想．3．情感、态度与价值观通过对等差数列的研究，使学生明白等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辨证唯物主义观点．●重点难点重点：等差数列的判定．难点：求等差数列的通项公式及其应用．●教学建议问题：数列：1，3，()，7，9，…2，5，8，()，14，…－2，3，8，()，18，…师：先根据数列的特点填空，再思考一下这些数列的共同特点？生：后一项减前一项都等于常数．与a n)?师：对这样的数列，如何表示相邻两项的关系(a n＋1生：a n－a n＝d(d为常数)．＋1师：这样的数列就是我们这节课要讲的等差数列．(板书课题)●教学流程创设情境，提出了2个问题⇒引导学生根据问题引入等差数列⇒通过例1及互动探究，使学生掌握等差数列的判定⇒通过例2及变式训练，使学生掌握如何求通项公式⇒通过例3及变式训练，使学生掌握等差数列通项公式的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(对应学生用书第7页)对于数列2，4，6，8，…该数列相邻两项的差(后项减去前项)有什么特点？怎样表示相邻两项间的关系？【提示】等于同一常数．a n＋1－a n＝2或a n－a n－1＝2(n≥2)．你能观察出数列2，4，6，8，…的通项公式吗？能否给予证明？【提示】a n＝2n，证明如下：－a n＝2，由a n＋1＝2，可知a2－a1＝2，a3－a2＝2，…，a n－a n－1将它们相加，得a n－a1＝2(n－1)，∴a n＝2n.若等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则这个数列的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d．(对应学生用书第8页)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝lg 532n ＋1(n ∈N ＋)，判断该数列是否为等差数列？若是等差数列，公差是多少？【思路探究】 用等差数列的定义来判断，即判断a n ＋1－a n (n ∈N ＋)是否为同一个常数．【自主解答】 ∵a n ＋1－a n ＝lg 532（n ＋1）＋1－lg 532n ＋1＝lg(532n ＋1×32×32n ＋15)＝lg 13(常数)．∴数列{a n }是等差数列，公差是lg 13.1．本题在证明a n ＋1－a n ＝d (常数)时，注意应用对数运算的性质变形化简．注意切记不可通过计算a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3等几个有限的式子的值后，发现它们都是同一个常数，就得出该数列为等差数列的结论．2．等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据，要证明一个数列是等差数列，可用a n ＋1－a n ＝d (常数)或a n －a n －1＝d (d 为常数且n ≥2)．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．本例中，若a n ＝pn ＋q (p 、q 为常数)，问{a n }是否为等差数列？ 【解】 ∵a n ＝pn ＋q ， ∴a n ＋1＝p (n ＋1)＋q ，∴a n ＋1－a n ＝p (常数)．∴{a n }是公差为p ，首项为p ＋q 的等差数列．n 58n 【思路探究】 欲求a n ，只需求首项a 1和公差d ，故可利用a 5和a 8建立a 1和d 的方程组求解．【自主解答】 设数列{a n }的公差为d ， 由a 5＝11，a 8＝5，得⎩⎨⎧a 1＋（5－1）d ＝11，a 1＋（8－1）d ＝5，解得a 1＝19，d ＝－2，所以，数列{a n }的通项公式a n ＝19＋(n －1)×(－2)＝21－2n .1．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；2．有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解，学会运用方程的思想和方法来解决问题，注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．在等差数列{a n }中，已知a 3＝7，a 5＝11，求a n . 【解】 设数列{a n }的公差为d ，由题意知 ⎩⎨⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝11，解得⎩⎨⎧a 1＝3d ＝2. ∴a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1.n 156075(2)已知数列{a n }为等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，求a 2＋a 8. 【思路探究】 (1)由a 15，a 60建立a 1，d 的方程，求出a 1，d 再求a 75. (2)由a 2＋a 8得到a 1和d 的关系式，整体代入求解．【自主解答】(1)∵⎩⎨⎧a 1＋14d ＝8，a 1＋59d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6415，d ＝415，∴a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24. (2)∵a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450， ∴5a 1＋20d ＝450，a 1＋4d ＝90， ∴a 2＋a 8＝2a 1＋8d ＝2×90＝180.1．利用等差数列的通项公式求出首项a 1及公差d ，从而可求数列的其他项，注意方程的思想．2．利用通项公式求出首项a 1和公差d 的关系式，从而可求指定的几项和，注意整体代入的思想．在等差数列{a n }中，a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项． 【解】 ∵⎩⎨⎧a 1＋4d ＝15，a 1＋16d ＝39，解得⎩⎨⎧a 1＝7，d ＝2，∴a n ＝7＋2(n －1)＝2n ＋5. 令2n ＋5＝91，∴n ＝43.∵n 为正整数，∴91是此数列中的项．(对应学生用书第9页)忽视n 的范围致误已知数列{a n }，a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)． (1)判断数列{a n }是否为等差数列，说明理由． (2)求{a n }的通项公式．【错解】 (1)∵a n ＝a n －1＋2，∴a n －a n －1＝2， ∴{a n }是等差数列．(2)由(1)知a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.【错因分析】 判断{a n }是否为等差数列时，未考虑等式a n －a n －1＝2成立的条件是n ≥3，即不包括a 2－a 1，不符合等差数列的定义，进而得{a n }的通项公式，显然不正确．【防范措施】 注意a n －a n －1＝d 中n 的范围是n ≥2. 【正解】 (1)当n ≥3时，a n ＝a n －1＋2， 即a n －a n －1＝2，而a 2－a 1＝0不满足a n －a n －1＝2(n ≥3)， ∴{a n }不是等差数列． (2)当n ≥2时，令a 2＝b 1＝1，a 3＝b 2＝3，a 4＝b 3＝5，…，则{b n }是等差数列， a n ＝b n －1＝1＋2[(n －1)－1]＝2n －3(n ≥2)． 又a 1＝1，∴a n ＝⎩⎨⎧1（n ＝1），2n －3（n ≥2）.1．等差数列的通项公式：(1)等差数列的通项公式由首项和公差确定；(2)在等差数列中，已知a 1，n ，d ，a n 这四个量中的三个，可以求得另一个量．2．等差数列的判定方法：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇒{a n }是等差数列．(2)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k 、b 为常数)⇒{a n }是等差数列．(对应学生用书第10页)1．数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列【解析】 a n ＝2n ＋5＝2(n －1)＋7，∴公差d ＝2，故选A. 【答案】 A2．等差数列32，－12，－52，…的第10项为( ) A ．－372 B ．－332 C.372 D.332【解析】 由a 1＝32，d ＝－12－32＝－2，得 a n ＝32＋(n －1)(－2)＝－2n ＋72. 当n ＝10时，a 10＝－2×10＋72＝－332. 【答案】 B3．等差数列{a n }，a 1＝7，a 7＝1，则a 5＝________． 【解析】 a 1＝7，a 7＝1，由a n ＝a 1＋(n －1)d 得1＝7＋6d ， ∴d ＝－1， ∴a 5＝a 1＋4d ＝3. 【答案】 34．如果数列{a n }是等差数列，数列{b n }中，b n ＝3a n ＋2.求证：{b n }是等差数列．【证明】 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋)， 由b n ＝3a n ＋2，得b n ＋1＝3a n ＋1＋2,∴b n ＋1－b n ＝3(a n ＋1－a n )＝3d (n ∈N ＋)是常数. ∴数列{b n }是等差数列．(对应学生用书第83页)一、选择题1．等差数列－3，－7，－11，…的通项公式为( ) A ．4n －7 B ．－4n －7 C ．4n ＋1 D ．－4n ＋1【解析】 ∵a 1＝－3，d ＝(－7)－(－3)＝－4， ∴a n ＝－3－4(n －1)＝－4n ＋1. 【答案】 D2．已知等差数列{a n }，a 1＝4，公差d ＝2，若a n ＝4 012，则n 等于( ) A ．2 004 B ．2 006 C ．2 005 D ．2 003【解析】 由通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，得4 012＝4＋2(n －1)，∴n ＝2 005. 【答案】 C3．已知等差数列{a n }的前三项分别是a －1，a ＋1，2a ，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 由定义知，a ＋1－(a －1)＝2a －(a ＋1)，得a ＝3. 【答案】 C4．已知数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 11＝24，a 4＝3，则数列{a n }的公差等于( )A ．1B ．3C ．5D ．6【解析】 设{a n }的首项为a 1，公差为d ， ∴⎩⎨⎧（a 1＋2d ）＋（a 1＋10d ）＝24a 1＋3d ＝3⇒d ＝3.【答案】B5．(2013·黄冈高二检测)已知点(n，a n)(n∈N＋)都在直线3x－y－24＝0上，那么在数列{a n}中有()A．a7＋a9>0 B．a7＋a9<0C．a7＋a9＝0 D．a7·a9＝0【解析】∵(n，a n)在直线3x－y－24＝0，∴a n＝3n－24，∴a7＝3×7－24＝－3，a9＝3×9－24＝3，∴a7＋a9＝0.【答案】C二、填空题6．已知等差数列14，16，18，…，那么数列的第1 001项为________．【解析】由题意知a1＝14，d＝2，∴a n＝14＋2(n－1)＝2n＋12，∵a1 001＝2×1 001＋12＝2 014.【答案】 2 0147．在等差数列{a n}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝________．【解析】a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝3a1＋3d＋4d＋5d＝3a1＋12d＝6＋36＝42.【答案】428．(2013·台州高二检测)在数列{a n}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，)在直线x－y－3＝0上，则数列{a n}的通项公式为a n＝________．点(a n，a n－1)在直线x－y－3＝0上，∴a n－a n－1－3＝【解析】∵点(a n，a n－10，即a n－a n－1＝3(n≥2)．则数列{a n}是以3为首项，3为公差的等差数列，∴a n＝3＋3(n－1)＝3n，∴数列{a n}的通项公式为a n＝3n2.【答案】3n2三、解答题9．已知数列{a n}的通项公式是a n＝7n＋2，求证：数列{lg a n}是等差数列．【证明】设b n＝lg a n，则b n ＋1－b n ＝lg a n ＋1－lg a n＝(n ＋3)lg 7－(n ＋2)lg 7＝lg 7(常数)．所以数列{b n }是等差数列，即数列{lg a n }是等差数列．10．已知数列{}log 2（a n －1）(n ∈N ＋)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9，求数列{a n }的通项公式．【解】 设等差数列{}log 2（a n －1）的公差为d ，则 log 2(a 3－1)－log 2(a 1－1)＝2d .代入a 1＝3，a 3＝9得， log 28－log 22＝2d ，∴d ＝1.∴log 2(a n －1)＝log 2(a 1－1)＋(n －1)×1＝n .∴a n －1＝2n ，∴a n ＝2n ＋1.11．在等差数列{a n }中，已知a 4＝70，a 21＝－100.(1)求首项a 1与公差d ，并写出通项公式；(2){a n }中有多少项属于区间[－18，18]?【解】 (1)由题意，得a n ＝a 1＋(n －1)d .∴⎩⎨⎧70＝a 1＋（4－1）d ，－100＝a 1＋（21－1）d ，得a 1＝100，d ＝－10. ∴通项公式a n ＝100－10(n －1)＝－10n ＋110.(2)由题意得－18≤－10n ＋110≤18，解得9.2≤n ≤12.8，∵n ∈N ＋，∴n ＝10，11，12.∴属于区间[－18，18]的项有3项，它们是a 10，a 11，a 12.(教师用书独具)已知f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }满足x n ＝f (x n －1)(n ≥2且n ∈N ＋)． (1)求证：{1x n }是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 100.【思路探究】 寻找x n 与x n －1的关系→求1x n－1x n －1的值→ 判定结论成立→求1x n →求1x 100→求x 100 【自主解答】 (1)∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2，n ∈N ＋)， ∴1x n＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13. ∴数列{1x n}为等差数列，公差为13. (2)1x n ＝1x 1＋(n －1)·13， ∵x 1＝12，∴1x 100＝2＋(100－1)·13＝35. ∴x 100＝135.1．本例中{x n }本身不是等差数列，要证它各项的倒数成等差数列，应通过变形得到1x n ＋1－1x n＝d (常数)． 2．本题属于“生成数列问题”，关键是把1x n 看成一个整体．另外，在遇到一题多问的题目时，解答后面的问题要注意应用前面的结论．数列{a n }各项的倒数组成一个等差数列，若a 3＝2－1，a 5＝2＋1，求a 11.【解】 设b n ＝1a n，则{b n }为等差数列，设公差为d . 由已知得b 3＝1a 3＝12－1＝2＋1， b 5＝1a 5＝12＋1＝2－1， ∴⎩⎨⎧b 1＋2d ＝2＋1，b 1＋4d ＝2－1， 解得⎩⎨⎧b 1＝3＋2，d ＝－1.∴b 11＝b 1＋10d ＝2－7. ∴a 11＝1b 11＝12－7＝－7－247.。
