2020年河南中考复习专题八二次函数压轴题课件(共37张PPT)

2020年中考数学复习：《二次函数的综合》压轴专题训练1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；（3）设∠DEO＝β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），函数的对称轴为：x＝﹣1，故点D（﹣1，﹣4a）；（2）无关，理由：由抛物线的表达式得，点C（0，﹣3a），将点C、D的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线CD的表达式为：y＝ax﹣3a，令y＝0，则x＝3，故点E（3，0），即OE＝3，OE的长与a值无关；（3）tanβ＝＝＝﹣a，故﹣≤a≤﹣1；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE，则PD＝PE，∠DPE＝90°，而点D（﹣1，﹣4a），点E（3，0），过点P作y轴的平行线交过点D与x轴的平行线于点M，交x轴于点N，∵∠PDM+∠MPD＝90°，∠MPD+∠EPN＝90°，∴∠MPD＝∠EPN，∠PMD＝∠ENP＝90°，PD＝PE，∴△PMD≌△ENP（AAS），∴MD＝PN，MP＝NE，即n＝﹣1﹣m，﹣4a﹣n＝3﹣m，解得：n＝﹣1﹣m，m＝2a+1，∵a＜0，故m＝2a+1＜1，故n＝﹣m﹣1（m＜1）．2．如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）在△ABC内是否存在一点M，使得点M到点A、点B和点C的距离相等，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，P 是抛物线上一点，Q 为射线CA 上一点，且P 、Q 两点均在第三象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，△QPB 的面积为2d ，且∠PAQ ＝∠AQB ，求点Q 的坐标． 解：（1）∵y ＝﹣x 2+（a +1）x ﹣a 令y ＝0，即﹣x 2+（a +1）x ﹣a ＝0 解得x 1＝a ，x 2＝1 由图象知：a ＜0∴A （a ，0），B （1，0） ∵S △ABC ＝6∴（1﹣a ）（﹣a ）＝6 解得：a ＝﹣3，（a ＝4舍去）；（2）如图①，∵A （﹣3，0），C （0，3）， ∴OA ＝OC ，∴线段AC 的垂直平分线过原点，∴线段AC 的垂直平分线解析式为：y ＝﹣x ， ∵由A （﹣3，0），B （1，0）， ∴线段AB 的垂直平分线为x ＝﹣1 将x ＝﹣1代入y ＝﹣x ， 解得：y ＝1∴△ABC 外接圆圆心的坐标（﹣1，1）（3）如图②，作PM ⊥x 轴交x 轴于M ，则S △BAP ＝AB •PM ＝×4d ∵S △PQB ＝S △PAB∴A 、Q 到PB 的距离相等， ∴AQ ∥PB设直线PB 解析式为：y ＝x +b ∵直线经过点B （1，0）所以：直线PB的解析式为y＝x﹣1联立．解得：．∴点P坐标为（﹣4，﹣5）又∵∠PAQ＝∠AQB，∴∠BPA＝∠PBQ，∴AP＝QB，在△PBQ与△BPA中，，∴△PBQ≌△ABP（SAS），∴PQ＝AB＝4设Q（m，m+3）由PQ＝4得：（m+4）2+（m+3+5）2＝42解得：m＝﹣4，m＝﹣8（当m＝﹣8时，∠PAQ≠∠AQB，故应舍去）∴Q坐标为（﹣4，﹣1）．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．并且A，B两点的坐标分别是A（﹣1，0），B（3，0）．（1）①求抛物线的解析式；②顶点D的坐标为（1，4）；③直线BD的解析式为y＝﹣2x+6；（2）若P为线段BD上的一个动点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥x轴于点Q，求当m 为何值时，四边形PQOC的面积最大？（3）若点M是抛物线在第一象限上的一个动点，过点M作MN∥AC交x轴于点N．当点M的坐标为（2，3）时，四边形MNAC是平行四边形．解：（1）①把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得：，∴y＝﹣x2+2x+3；②函数的对称轴为：x＝1，则D的坐标为：（1，4），故答案为（1，4）；③将点B、D的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BD的表达式为：y＝﹣2x+6，故答案为：y＝﹣2x+6；（2）∵点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣2m+6．当x＝0时，y＝0+0+3＝3．∴C（0，3）．由题意可知：OC＝3，OQ＝m，PQ＝﹣2m+6．∴s＝（OC+PQ）×OQ＝（﹣2m+6+3）m＝．∵﹣1＜0，1＜＜3，∴当时，s＝；最大值（3）如图所示，四边形MNAC是平行四边形，则CM∥x轴，则点M和点C关于函数对称轴对称，故点M（2，3），故答案为：（2，3）．4．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是抛物线上的一动点（不与B，C两点重合），△BEC面积记为S，当S取何值时，对应的点E有且只有三个？解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则B（0，3），当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝4，则C（4，0），把B（0，3），C（4，0）代入y＝ax2+x+c得，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）当E点在直线BC的下方的抛物线上时，一定有两个对应的E点满足△BEC面积为S，所以当E点在直线BC的上方的抛物线上时，只能有一个对应的E点满足△BEC面积为S，即此时过E点的直线与抛物线只有一个公共点，设此时直线解析式为y＝﹣x+b，方程组只有一组解，方程﹣x2+x+3＝﹣x+b有两个相等的实数解，则△＝122﹣4×3×（﹣24+8b）＝0，解得b＝，解方程得x1＝x2＝2，E点坐标为（2，2），此时S＝×4×（2﹣）＝1，△BEC所以当S＝1时，对应的点E有且只有三个．5．已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与直线y＝﹣x+3交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式及点M的坐标．（2）点P为直线BC上方抛物线上一点，设d为点P到直线CB的距离，当d有最大值时，求点P的坐标．（3）若点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C，A'F，当△FA'C 是直角三角形时，直接写出点F的坐标．解：（1）直线y＝﹣x+3故点B和点C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x+3），故﹣2a＝2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，函数的对称轴为：x＝1，当x＝1时，y＝4，故点M（1，4）；（2）过点P作y轴的平行线交BC于点H，过点P作PD⊥BC于点D，OC＝OB＝3，则∠DPH＝∠CBA＝45°，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），d＝PD＝PH＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝（﹣x2+3x），∵＜0，故d有最大值，此时x＝，则点P（，）；（3）点A关于y轴的对称点A'（1，0），设点F（m，3﹣m），而点C（0，3），A′C2＝10，A′F2＝（m﹣1）2+（3﹣m）2，FC2＝2t2，由题目知，∠A′CF≠90°，则当△FA'C是直角三角形时，分以下两种情况：当CF为斜边时，即10+（m﹣1）2+（3﹣m）2＝2t2，解得：m＝；当A′C为斜边时，同理可得：m＝2，故点F的坐标为：（，）或（2，1）．6．如图1：抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A、B，连接AC、BC，tan∠ABC＝1，tan∠BAC ＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P在第一象限的抛物线上，连接PC、PA，若点P横坐标为t，△PAC 的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当S＝3时，点G为第二象限抛物线上一点，连接PG，CH⊥PG于点H，连接OH，若tan∠OHG＝，求GH的长．解：（1）c＝3，故OC＝3，tan∠ABC＝1，则OA＝3，tan∠BAC＝3，则OA＝1，故点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点C坐标代入上式并解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）点P（t，﹣t2+2t+3），点A（﹣1，0），将点P、A坐标代入一次函数表达式y＝kx+b并解得：直线PA的表达式为：y＝（3﹣t）（x+1），设直线AP交y轴于点R，则R（0，3﹣t），S＝CR×（x P﹣x A）＝（3﹣3+t）（t+1）＝t2+t；（3）S＝t2+t＝3，解得：t＝﹣3（舍去）或2，故点P（2，3），而点C（0，3），连接CP，则CP∥x轴，CH⊥GP，则∠CPH＝∠OCH＝α，HM⊥CP，则∠CHM＝∠HCO＝α，过点O作ON⊥CH交CH的延长线于点N，作HM⊥CP于点M，CP＝2，OC＝3，CH＝CP sinα＝2sinα，ON＝OC sinα＝3sinα，CN＝OC cosα＝3cosα，∵ON⊥CN，GH⊥CH，∴∠HON＝∠OHG，故tan∠HON＝＝＝＝tan∠OHG＝，解得：tan，则sinα＝，cosα＝，MH＝CH cosα＝2sinα•cosα＝，CM＝CH sinα＝，故点H（，）；设点G（m，﹣m2+2m+3），而点P（2，3），由点G、P的坐标得，直线PG表达式中的k值为：﹣m＝﹣tanα＝，故点G（﹣，），由点G、H的坐标得，GH＝．7．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x＝﹣1和x＝3时，y值相等．直线y＝与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M．（1）求这条抛物线的表达式．（2）动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t秒．①求t的取值范围．②若使△BPQ为直角三角形，请求出符合条件的t值；③t为何值时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是多少？直接写出答案．解：（1）∵在抛物线中，当x＝﹣1和x＝3时，y值相等，∴对称轴为x＝1，∵y＝与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M，∴顶点M（1，﹣），另一交点为（6，6），∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣，将点（6，6）代入y＝a（x﹣1）2﹣，得6＝a（6﹣1）2﹣，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣；（2）①在y＝（x﹣1）2﹣中，当y＝0时，x1＝﹣2，x2＝4；当x＝0时，y＝﹣3，∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣3），∴在Rt△OCB中，OB＝4，OC＝3，∴BC＝＝5，∴＝，∵＜4，∴0≤t≤；②当△BPQ为直角三角形时，只存在∠BPQ＝90°或∠PQB＝90°两种情况，当∠BPQ＝90°时，∠BPQ＝∠BOC＝90°，∴PQ∥OC，∴△BPQ∽△BOC，∴＝，即＝，∴t＝；当∠PQB＝90°时，∠PQB＝∠BOC＝90°，∠PBQ＝∠CBO，∴△BPQ∽△BCO，∴＝，即＝，∴t＝，综上所述，t 的值为或；③如右图，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ， 则∠BHQ ＝∠BOC ＝90°， ∴HQ ∥OC ， ∴△BHQ ∽△BOC ， ∴＝，即＝，∴HQ ＝，∴S 四边形ACQP ＝S △ABC ﹣S △BPQ ＝×6×3﹣（4﹣t ）×t ＝（t ﹣2）2+，∵＞0，∴当t ＝2时，四边形ACQP 的面积有最小值，最小值是．8．如图，抛物线y ＝ax 2+bx 与x 轴相交于O ，A 两点，顶点D 在第一象限，点P 在该抛物线上．（1）若点P 坐标为（1，3）． ①求b 与a 的函数关系式；②已知两点M （2，0），N （5，0），当抛物线y ＝ax 2+bx 与线段MN 没有交点时，求a 的取值范围；（2）若P 点在该抛物线的曲线段OD 上（不与点O ，D 重合），直线DP 交y 轴于点C ，过P 点作PB ⊥x 轴于点B ，连接DA ，CB ．求证：DA ∥CB ．解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx经过点P（1，3），∴a+b＝3，∴b＝3﹣a；②由①得y＝ax2+（3﹣a）x，（Ⅰ）当抛物线与x轴的另一个交点A在M（2，0）左侧时，抛物线与线段MN没有交点，∵抛物线y＝ax2+（3﹣a）x开口向下，经过原点且顶点在第一象限，∴，解得：a＜﹣3；（Ⅱ）当抛物线与x轴的另一个交点A在N（5，0）右侧时，抛物线与线段MN没有交点，∴，解得：﹣＜a＜0，综上所述：当a＜﹣3或﹣＜a＜0时，该抛物线与线段MN没有交点；（2）如图，过点D作DH⊥x轴于H点，∵抛物线y＝ax2+bx的顶点D（﹣，﹣），∴DH＝﹣，H（﹣，0），在y＝ax2+bx中，当y＝0时，x1＝0，x2＝﹣，∴点A（﹣，0），HA＝OA﹣OH＝﹣，设直线PD的解析式为y＝mx+n，P（x，ax2+bx），则B（x，0），将P（x，ax2+bx），D（﹣，﹣）代入y＝mx+n，∴，解得，∴C（0，bx），∴CO＝bx，OB＝x，∵＝＝﹣，＝＝﹣，∴＝，又∵∠COB＝∠DHA＝90°，∴△COB∽△DHA，∴∠CBO＝∠DAH，∴DA∥CB．9．如图①，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C（0，3），直线l经过B、C两点．抛物线的顶点为D．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）判断△BCD的形状并说明理由．（3）如图②，若点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点，过E点作EF⊥x轴于点F，EF交线段BC于点G，当△ECG是直角三角形时，求点E的坐标．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C（0，3），∴y＝﹣x2+bx+3，将点B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得0＝﹣9+3b+3，∴b＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；∵直线l经过B（3，0），C（0，3），∴可设直线l的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入，得0＝3k+3，∴k＝﹣1，∴直线l的解析式为y＝﹣x+3；（2）△BCD是直角三角形，理由如下：如图1，过点D作DH⊥y轴于点H，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D（1，4），∵C（0，3），B（3，0），∴HD＝HC＝1，OC＝OB＝3，∴△DHC和△OCB是等腰直角三角形，∴∠HCD＝∠OCB＝45°，∴∠DCB＝180°﹣∠HCD﹣∠OCB＝90°，∴△BCD是直角三角形；（3）∵EF⊥x轴，∠OBC＝45°，∴∠FGB＝90°﹣∠OBC＝45°，∴∠EGC＝45°，∴若△ECG是直角三角形，只可能存在∠CEG＝90°或∠ECG＝90°，①如图2﹣1，当∠CEG＝90°时，∵EF⊥x轴，∴EF∥y轴，∴∠ECO＝∠COF＝∠CEF＝90°，∴四边形OFEC为矩形，∴y E＝y C＝3，在y＝﹣x2+2x+3中，当y＝3时，x1＝0，x2＝2，∴E（2，3）；②如图2﹣2，当∠ECG＝90°时，由（2）知，∠DCB＝90°，∴此时点E与点D重合，∵D（1，4），∴E（1，4），综上所述，当△ECG是直角三角形时，点E的坐标为（2，3）或（1，4）．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣3）（x+1）与x轴交于A、B两点，与轴交于点C（0，﹣），连接AC、BC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，连接CD，点E为第二象限抛物线上的一动点，EF∥BC，直线EF与抛物线交于点F，设直线EF的表达式为y＝kx+b．①如图①，直线y＝kx+b与抛物线对称轴交于点G，若△DGF∽△BDC，求k、b的值；②如图②，直线y＝kx+b与y轴交于点M，与直线y＝x交于点H，若﹣＝，求b的值．解：（1）将C（0，﹣）代入y＝a（x﹣3）（x+1），得﹣3a＝﹣，∴a＝，∴抛物线的函数表达式为y＝（x﹣3）（x+1）＝x2﹣x﹣；（2）①如图1，过点F作FN⊥DG，垂足为点N，在y＝（x﹣3）（x+1）中，令y＝0，得x1＝3，x2＝﹣1，∴B（3，0），设直线BC的解析式为y＝mx﹣，将点B（3，0）代入y＝mx﹣，得0＝3m﹣，∴m＝，∴直线BC的表达式为y＝x﹣，∵抛物线y＝（x﹣3）（x+1）的对称轴为x＝1，∴D（1，0），∴CD＝＝2，∴CD＝BD＝2，在Rt△COD中，tan∠ODC＝，∴∠ODC＝60°，∠CDB＝120°，∵△DGF∽△BDC，∴DG＝FG，∠DGF＝120°，设DG＝FG＝2m，在Rt△NGF中，∠NGF＝60°，FG＝2m，∴NG＝m，NF＝m，∴F（1+m，3m），将点F（1+m，3m）代入y＝（x﹣3）（x+1）中，得m1＝﹣（不合题意，舍去），m2＝，∴点F（5，4），∵EF∥BC，∴EF的表达式为y＝x+b，将点F（5，4），代入y＝x+b，得4＝×5+b，∴b＝，∴k＝1，b＝；②如图2，分别过点F、H、E作y轴的垂线，垂足分别为P、Q、S，联立，得点H（，），联立，得x2﹣3x﹣3﹣b＝0，设点E、F的横坐标分别为x1，x2，则，由ES∥HQ∥FP，可得△MHQ∽△MES，△MHQ∽△MFP，∴＝＝，＝＝，∵﹣＝，∴﹣＝1，∴﹣＝1，∴＝﹣1，∴b＝2．11．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使△EDC的周长最小，求符合条件的E点坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出PB2的值；若不存在，请说明理由．解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，此时EC+ED为最小，则△EDC的周长最小，抛物线的顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），将C′、D的坐标代入一次函数表达式并解得：∴直线C′D的表达式为：y＝7x﹣3，当y＝0时，x＝，故点E（，0），（3）①当点P在x轴上方时，如图2，∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB，过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝a，则PB＝PA＝a，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，16＝a2+（a﹣a）2，解得：a2＝8+4，则PB2＝2a2＝16+8．②当点P在x轴下方时，同理可得．综合以上可得，PB2的值为16+8．12．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，已知点P为抛物线第一象限上一动点，连接PB、PC、BC．（1）求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的顶点坐标；（2）当△PBC的面积最大时，求出点P的坐标；（3）如图②，当点P与抛物线顶点重合时，过点B的直线与抛物线交于点E，在直线BE上方的抛物线上是否存在一点M，使得∠BEM＝∠PBC？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；（2）如图1，过点P作x轴的垂线，交BC于点N，在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入y＝kx+3，得3k+3＝0，∴k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（x，﹣x2+2x+3），则N（x，﹣x+3），∴PN＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，∴S＝×PN×OB＝（﹣x2+3x）×3＝﹣（x﹣）2+，△PBC∴当x＝时，△PBC的面积最大，∴P（，）；（3）存在，如图2，过点P作PH⊥x轴于H，设直线与y轴交于点Q，则Q（0，﹣），在Rt△OBQ中，tan∠OBQ＝＝＝，在Rt△PHB中，tan∠BPH＝＝＝，∴∠OBQ＝∠BHP，∵∠BPH+∠PBH＝90°，∴∠OBQ+∠PBH＝90°，即∠PBE＝90°，将点B（3，0）代入直线，得3k﹣＝0，∴k＝，∴y＝x﹣，联立，解得，x1＝3，x2＝﹣，∴E（﹣，﹣），过点E作EF⊥BC于点F，则∠FEB+∠FBE＝90°，∵∠PBC+∠FBE＝90°，∴∠FEB＝∠PBC，则此时射线EF与抛物线的交点即为所求的点M，∵BC＝＝3，PC＝＝，PB＝＝2，∴BC2+PC2＝PB2，∴△PCB为直角三角形，且∠PCB＝90°，∴sin∠PBC＝＝＝，∴sin∠FEB＝＝，∵EB＝＝，∴FB＝，过点F作FD⊥x轴于点D，∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠DBF＝∠DFB＝45°，∴DB＝DF＝FB＝，∴F（，），设直线EF的解析式为y＝kx+b，将点E（﹣，﹣），F（，）代入y＝kx+b，得，解得，∴直线EF的解析式为y＝x﹣，联立，解得，x1＝，x2＝﹣，当x＝时，y＝，∴M（，）．13．如图，已知二次函数y＝﹣x2+2mx+3m2（m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）点B的坐标为（3m，0），点D的坐标为（m，4m2）；（用含有m的代数式表示）（2）连接CD，BC．①若CB平分∠OCD，求二次函数的表达式；②连接AC，若CB平分∠ACD，求二次函数的表达式．解：（1）在二次函数y＝﹣x2+2mx+3m2中，当y＝0时，x1＝3m，x2＝﹣m，∵点A在点B的左侧，m＞0，∴A（﹣m，0），B（3m，0），∵y＝﹣x2+2mx+3m2＝﹣（x﹣m）2+4m2，∴顶点D（m，4m2），∴故答案为：（3m，0），（m，4m2）；（2）①如图1，过点D作DH⊥AB，交BC于点E，则DH∥OC，∴∠DEC＝∠OCE，∵BC平分∠OCD，∴∠OCE＝∠DCE，∴∠DEC＝∠DCE，∴CD＝DE，由（1）知，C（0，3m2），A（﹣m，0），B（3m，0），∴OC＝3m2，OB＝3m，∵，∴HE＝2m2，∴DE＝DH﹣HE＝4m2﹣2m2＝2m2，∵CD＝DE，∴CD2＝DE2，∴m2+m4＝4m2，解得：m1＝，m2＝﹣（舍去），∴二次函数的关系式为：；②如图2，过点D作DH⊥AB，交BC于点E，过点C作y轴的垂线CK，过点B作x轴的垂线交CK于点K，连接AE，∵tan∠DCG＝＝m，tan∠KCB＝＝m，∴∠DCG＝∠KCB，∴CK∥AB，∴∠KCB＝∠EBA，由对称性知，DH垂直平分AB，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠EBA，∴∠DCG＝∠KCB＝∠EBA＝∠EAB，∵∠AEC＝∠EAB+∠EBA，∠DCB＝∠DCG+∠KCB，CB平分∠ACD，∴∠DCB＝∠AEC＝∠ACE，∴AC＝AE，∴AC2＝AE2＝EH2+AH2，∴m2+9m4＝4m4+4m2，解得：m1＝，m2＝﹣（舍去），∴二次函数的关系式为：．14．抛物线y＝﹣x2+x+b与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）若B点坐标为（2，0）①求实数b的值；②如图1，点E是抛物线在第一象限内的图象上的点，求△CBE面积的最大值及此时点E的坐标．（2）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点D，若抛物线上存在点P，使得P、B、C、D 四点能构成平行四边形，求实数b的值．（提示：若点M，N的坐标为M（x₁，y₁），N （x₂，y₂），则线段MN的中点坐标为（，）解：（1）①将点B（2，0）代入y＝﹣x2+x+b，得到0＝﹣4+2+b，∴b＝2；②C（0，2），B（2，0），∴BC的直线解析式为y＝﹣x+2，设E（m，﹣m2+m+2），过点E与BC垂直的直线解析式为y＝x﹣m2+2，∴直线BC与其垂线的交点为F（，﹣+2），∴EF＝（﹣+2）＝[﹣（m﹣1）2+]，当m＝1时，EF有最大值，∴S＝×BC×EF＝×2×＝1，∴△CBE面积的最大值为1，此时E（1，2）；（2）∵抛物线的对称轴为x＝，∴D（，0），∵函数与x轴有两个交点，∴△＝1+4b＞0，∴b＞﹣，可求C（0，b），B（，0），设M（t，﹣t2+t+b），①当CM和BD为平行四边形的对角线时，C、M的中点为（，），B、D的中点为（，0），∴＝，＝0，∴b＝﹣1+或b＝﹣1﹣，∴b＝﹣1+；②当BM和CD为平行四边形的对角线时，B、M的中点为（，），C、D的中点为（，），∴＝，＝，∴b无解；③当BC和MD为平行四边形的对角线时，B、C的中点为（，），M、D的中点为（，），∴＝，＝，∴b＝或b＝﹣（舍）；综上所述：b＝﹣1+或b＝．15．平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A、B两点，点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C，直线y＝kx+2经过A、C两点．（1）如图1，求a、c的值；（2）如图2，点P为抛物线y＝ax2+x+c在第一象限的图象上一点，连接AP、CP，设点P的橫坐标为t，△ACP的面积为S，求S与t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，点D为线段AC上一点，直线OD与直线BC交于点E，点F 是直线OD上一点，连接BP、BF、PF、PD，BF＝BP，∠FBP＝90°，若OE＝，求直线PD的解析式．解：（1）∵直线y＝kx+2经过C点，∴C（0，2），把点B的坐标为（4，0），C（0，2）代入y＝ax2+x+c，得到，解得；（2）如图1，过点P作x轴的垂线，与直线AC交于点K，分别过点A、点C作PK的垂线，垂足分别为点M、N，∵y＝﹣x2++2，∴A（﹣1，0），∵直线y＝kx+2经过A点，∴k＝2，∴y＝2x+2，∵P点的横坐标为t，∴P（t，﹣t2+t+2），K（t，2t+2），∴PK＝t2+t，∴S＝S△AMK ﹣S△AMP﹣S△CPK＝﹣﹣＝＝，∴S＝t2+t（0＜t＜4）；（3）∵OC＝2，OB＝4，∴tan∠OBE＝，如图2：过点O作OH⊥BC于点H，易得OH＝，BH＝，∵OE＝，∴由勾股定理得EH＝，∴BE＝，∴CE＝，过点E作EG⊥y轴于点G，∵tan∠CEG＝tan∠OBE＝，∴CG＝，EG＝，∴E（﹣，），∴易得直线OE的解析式y＝﹣2x，∵直线AC的解析式为y＝2x+2，∴联立直线OE与直线AC的解析式，解得D（﹣，1），过点B作x轴的垂线，与过点P、F作的y轴的垂线分别交于Q、R两点，∵∠FBP＝90°，∴∠PBQ＝∠BFR，∵BP＝BF，∴△PQB≌△BRF（AAS），∴BR＝PQ＝4﹣t，FR＝BQ＝﹣t2+t+2，∴F（t2﹣t+2，t﹣4），设FR交x轴于点I，∵tan∠OEG＝2＝tan∠OFI，∴t﹣4＝﹣2（t2﹣t+2），解得t＝2或t＝0（舍），∴P（2，3），∴易求直线PD的解析式为y＝x+．。

2020中考数学 压轴专题 二次函数的中的线段问题（含答案）1. 如图①，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5与x 轴交于点A 、点B ，与y轴交于点C .直线y ＝x ＋2经过点A ，交抛物线于点D ，AD 交y 轴于点E ，连接CD ，且CD ∥x 轴．第1题图(1)求抛物线的解析式；(2)如图②，过点A 的直线交抛物线第四象限于点F ，若tan ∠BAF ＝12，求点F 的坐标；(3)在(2)的条件下，P 为直线AF 上方抛物线上一点，过点P 作PH ⊥AF ，垂足为H ，若HE ＝PE ，求点P 的坐标．解：(1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5与y 轴交于点C ， 当x ＝0时，y ＝5，即C (0，5)， ∵CD ∥x 轴， ∴D 点的纵坐标为5，∴当y ＝5时，x ＋2＝5，解得x ＝3， ∴D (3，5)， 当y ＝0时，x ＝－2， ∴A (－2，0)，将A (－2，0)，D (3，5)代入y ＝ax 2＋bx ＋5中，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋5＝09a ＋3b ＋5＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－12b ＝32，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋5；(2)设F (t ，－12t 2＋32t ＋5)，如解图①，过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，则G (t ，0)，第1题解图①由tan ∠BAF ＝FG AG ＝12，得AG ＝2FG ，即t －(－2)＝2×[0－(－12t 2＋32t ＋5)]，化简，得t 2－4t －12＝0， 解得t 1＝－2，t 2＝6， ∵点F 在第四象限， ∴t >0，∴t ＝6，即F 点坐标为(6，－4)； (3)∵A (－2，0)，F (6，－4)， 设直线AF 的解析式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－2k ＋b－4＝6k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝－1， ∴直线AF 的解析式为y ＝－12x －1.∵直线AD 的解析式y ＝x ＋2交y 轴于E 点， ∴当x ＝0时，y ＝2，即E 点坐标为(0，2)； 如解图②，设直线PE 交AF 于点Q ，第1题解图②∵HE ＝PE ， ∴∠EHP ＝∠EPH ， ∵PH ⊥AF 于点H ， ∴∠PHA ＝90°，∴∠EPH ＋∠PQH ＝90°， ∠EHP ＋∠EHQ ＝90°， ∴∠PQH ＝∠EHQ ， ∴EQ ＝EH ，∴EQ ＝EP ，即E 为PQ 的中点， 设P (m ，－12m 2＋32m ＋5)，∵E (0，2)，∴Q (－m ，12m 2－32m －1)，∵点Q 在直线AF 上， ∴12m 2－32m －1＝－12(－m )－1， 整理，得m 2＝4m ， 解得m 1＝0，m 2＝4， 当m 1＝0时，P 1(0，5)， 当m 2＝4时，P 2(4，3)，综上所述，点P 的坐标为(0，5)或(4，3)．2.如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F、E的坐标．第2题图解：(1)∵直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，∴A(－1，0)，C(0，5)，∵二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象过A，C两点，∴405a cc-+=⎧⎨=⎩，解得15ac=-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5；(2)如解图①，第2题解图①∵点B是二次函数的图象与x轴的交点，∴由二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5得，点B的坐标B(5，0)，设直线BC解析式为y＝kx＋b，∵直线BC过点B(5，0)，C(0，5)，∴505k bb+=⎧⎨=⎩，解得15 kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC解析式为y＝－x＋5，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的坐标为(n，－n＋5)，D点的坐标为(n，－n2＋4n＋5)，则d＝|－n2＋4n＋5－(－n＋5)|，由题意可知：－n2＋4n＋5＞－n＋5，∴d＝－n2＋4n＋5－(－n＋5)＝－n2＋5n＝－(n－52)2＋254，∴当n＝52时，线段ND长度的最大值是254；（3）∵点M(4，m)在抛物线y＝－x2＋4x＋5上，∴m＝5，∴M(4，5)．∵抛物线y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴顶点坐标为H(2，9)，如解图②，作点H(2，9)关于y轴的对称点H1，则点H1的坐标为H1(－2，9)；作点M(4，5)关于x轴的对称点M1，则点M1的坐标为M1(4，－5)，连接H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，∴H1M1＋HM 的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F，E即为所求的点．第2题解图②设直线H1M1的函数表达式为y＝mx＋n，∵直线H1M1过点H1(－2，9)，M1(4，－5)，∴9254m nm n=-+⎧⎨-=+⎩，解得73133mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y＝－73x＋133，∴当x＝0时，y＝133，即点E坐标为(0，133)，当y＝0时，x＝137，即点F坐标为(137，0)，故所求点F，E的坐标分别为(137，0)，(0，133)．3.已知二次函数的解析式为y＝－x2＋4x，该二次函数交x轴于O、B两点，A为抛物线上一点，且横纵坐标相等(原点除外)，P为二次函数上一动点，过P作x轴垂线，垂足为D(a，0)(a>0)，并与直线OA交于点C.(1)求A、B两点的坐标；(2)当点P在线段OA上方时，过P作x轴的平行线与线段OA相交于点E，求△PCE周长的最大值及此时P 点的坐标；(3)当PC＝CO时，求P点坐标．第3题图解：(1)令y＝0，则－x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝4.∴点B坐标为(4，0)，设点A坐标为(x，x)，把A(x，x)代入y＝－x2＋4x得，x＝－x2＋4x，解得x1＝3，x2＝0(舍去)，∴点A的坐标为(3，3);（2）如解图①，设点P的坐标为(x，－x2＋4x)，第3题解图①∵点A坐标为(3，3)；∴∠AOB＝45°，∴OD＝CD＝x，∴PC＝PD－CD＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，∵PE∥x轴，∴△PCE是等腰直角三角形，∴当PC取最大值时，△PCE周长最大．∵PE与线段OA相交，∴0≤x≤1，由PC＝－x2＋3x＝－(x－32)2＋94可知，抛物线的对称轴为直线x＝32，且在对称轴左侧PC随x的增大而增大，∴当x＝1时，PC最大，PC的最大值为－1＋3＝2，∴PE＝2，CE＝22，∴△PCE的周长为CP＋PE＋CE＝4＋22，∴△PCE周长的最大值为4＋22，把x＝1代入y＝－x2＋4x，得y＝－1＋4＝3，∴点P的坐标为(1，3)；（3）设点P坐标为(x，－x2＋4x)，则点C坐标为(x，x)，如解图②，第3题解图②①当点P在点C上方时，P1C1＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，OC12x，∵P1C1＝OC1，∴－x2＋3x，解得x1＝3x2＝0(舍去)．把x＝3y＝－x2＋4x得，y＝－(3)2＋4(3)＝1＋，∴P1(3，1＋，②当点P在点C下方时，P2C2＝x－(－x2＋4x)＝x2－3x，OC2，∵P2C2＝OC2，∴x2－3x x，解得x1＝3x2＝0(舍去)，把x＝3y＝－x2＋4x，得y＝－(32＋4(3)＝1－，∴P2(3，1－．综上所述，P点坐标为(31＋)或(3，1－)．4.如图，一抛物线过原点和点A(1，△AOB.(1)求过点A、O、B的抛物线解析式；(2)在(1)中抛物线的对称轴上找到一点M，使得△AOM的周长最小，求△AOM周长的最小值；(3)点F为x轴上一动点，过点F作x轴的垂线，交直线AB于点E，交抛物线于点P，是否存在点F，使线段PE＝233？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)过点A作AC⊥x轴于点C，如解图①，第4题解图①∵A (1，∴AC，∵S △AOB ＝12BO ·AC ＝12BO ×3，∴BO ＝2，∴B (－2，0)．由题意可设抛物线解析式为y ＝ax 2＋bx ，把A 、B两点的坐标代入可得420a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴过A 、B 、O 三点的抛物线的解析式为y＝3x 2＋3x ；(2)由(1)可求得抛物线的对称轴为直线x ＝－1，设AB 交对称轴于点M ，如解图②，连接OM ，第4题解图②∵OA长为定值，∴△AOM周长的最小值即为OM＋AM的最小值，∵B、O两点关于对称轴对称，∴MO＝MB.∴A，M，B三点共线时，OM＋AM最小．设直线AB的解析式为y＝kx＋b，把A、B两点的坐标代入可得3 20 k bk b⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得33233kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB的解析式为y 3x23，当x＝－1时，y3∴点M 的坐标为(－1，33)． 由勾股定理可求得AB ＝22[1(2)](3)23--+=，AO ＝221(3)2+=，∴△AOM 周长的最小值为AM ＋MO ＋AO ＝AB ＋AO ＝23＋2；(3)存在．点F 的坐标为(0，0)或(－1，0)或(1172-+，0)或(1172--，0)． 【解法提示】假设存在满足条件的点F ，设其坐标为(x ，0)，第4题解图③则E (x ，33x ＋233)，P (x ，33x 2＋233x )，如解图③，①当－2≤x ≤0时，PE ＝PF ＋EF ＝－(33x 2＋33x )＋33x ＋33＝33-x 2－33x ＋233，由PE ＝233得－33x 2－33x ＋33＝233，解得x 1＝0，x 2＝－1， 当x ＝0时，点P 与点F 重合，点F 的坐标为(0，0)；当x ＝－1时，点F 的坐标为(－1，0)；②当0<x ≤1时，此时PE 恒小于233； ③当x ＞1或x <－2时，PE ＝PF －EF ＝33x 2＋233x －(33x ＋233)＝33x 2＋33x －233，由PE ＝233得33x 2＋33x －233＝233， 解得x 1＝1172-+，x 2＝1172--， ∴点F 的坐标为(1172-+，0)或(1172--，0)． 综上所述：点F 的坐标为(0，0)或(－1，0)或(1172-+，0)或(1172--，0)． 5. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1经过点(2，6)，且与直线y ＝12x ＋1相交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (4，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)若P 是直线AB 上方该抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交AB 于点E ，求线段PE 的最大值；(3)在(2)的条件下，设PC 与AB 相交于点Q ，当线段PC 与BE 互相平分时，请求出点Q 的坐标.解：(1)∵BC ⊥x 轴，垂足为点C (4，0)，且点B 在直线y ＝12x ＋1上，将x =4代入得y =12×4+1=3，第5题图∴点B 的坐标为(4，3)，∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1经过点(2，6)和点B (4，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋1＝616a ＋4b ＋1＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝92，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋92x ＋1；(2)设动点P 的坐标为(x ，－x 2＋92x ＋1)（0≤x ≤4），则点E 的坐标为(x ，12x ＋1)，∵PD ⊥x 轴于点D ，且点D 在x 轴上， ∴PE ＝PD －ED＝(－x 2＋92x ＋1)－(12x ＋1)＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，则当x ＝2时，线段PE 的值最大，最大值为4； (3)∵线段PC 与BE 互相平分， ∴BQ =EQ ，PQ =CQ ， 又∵∠PQE =∠CQB ， ∴ △PQE ≌△CQB （SAS ） ∴PE ＝BC ，∴－x 2＋4x ＝3，即x 2－4x ＋3＝0， 解得x 1＝1，x 2＝3，∵点Q 分别是PC ，BE 的中点，且点Q 在直线y ＝12x ＋1上，∴①当x ＝1时，点Q 的横坐标为1＋42＝52，∴点Q 的坐标为(52，94)；②当x ＝3时，点Q 的横坐标为3＋42＝72，∴点Q 的坐标为(72，114)．综上所述，点Q 的坐标为(52，94)或(72，114).6. 如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，A 、B 两点的坐分别为(－1，0)、(0，－3)． (1)求抛物线的解析式；(2)点E 为抛物线的顶点，点C 为抛物线与x 轴的另一个交点，点D 为y 轴上一点，且DC ＝DE ，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，直线DE 上是否存在点P ，使得以C 、D 、P 为顶点的三角形与△DOC 相似？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．第6题图解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (－1，0)、B (0，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝－3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3； (2)令y ＝0，则x 2－2x ＋3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3， ∴点C 的坐标为(3，0)， ∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4， ∴点E 的坐标为(1，－4)，设点D 的坐标为(0，m )，如解图①，过点E 作EF ⊥y 轴于点F ，第6题解图①∵DC 2＝OD 2＋OC 2＝m 2＋32，DE 2＝DF 2＋EF 2＝(m ＋4)2＋12， ∵DC ＝DE ，∴m 2＋9＝m 2＋8m ＋16＋1， 解得m ＝－1，∴点D 的坐标为(0，－1)；(3)存在点P 使得以C 、D 、P 为顶点的三角形与△DOC 相似的， 其坐标为(－13，0)、(13，－2)、(－3，8)、(3，－10)．【解法提示】∵点C (3，0)，D (0，－1)，E (1，－4)， ∴CO ＝DF ＝3，DO ＝EF ＝1，根据勾股定理得，CD ＝OC 2＋OD 2＝32＋12＝10， 在△COD 和△DFE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CO ＝DF ∠COD ＝∠DFE ＝90°DO ＝EF， ∴△COD ≌△DFE (SAS)， ∴∠EDF ＝∠DCO ， 又∵∠DCO ＋∠CDO ＝90°， ∴∠CDE ＝180°－90°＝90°， ∴CD ⊥DE ，①OC 与CD 是对应边时， ∵△DOC ∽△PDC ， ∴OC DC ＝OD DP ，即310＝1DP， 解得DP ＝103， 如解图②，过点P 作PG ⊥y 轴于点G ，∵EF ⊥y 轴，∴△DGP ∽△DFE ， ∴DG DF ＝GP FE ＝DP DE， 即DG 3＝PG1＝10310， 解得DG ＝1，PG ＝13，当点P 在点D 的左边时，OG ＝DG －DO ＝1－1＝0， ∴点P 1(－13，0)，当点P 在点D 的右边时，OG ＝DO ＋DG ＝1＋1＝2， ∴点P 2( 13，－2)；②OC 与DP 是对应边时， ∵△DOC ∽△CDP ， ∴OC DP ＝DO CD ，即3DP ＝110， 解得DP ＝310，如解图③，过点P 作PG ⊥y 轴于点G ， ∵EF⊥y ，∴△DGP ∽△DFE ，第6题解图②第6题解图③∴DG DF ＝PG EF ＝DP DE， 即DG 3＝PG 1＝31010， 解得DG ＝9，PG ＝3，当点P 在点D 的左边时，OG ＝DG －OD ＝9－1＝8，∴点P 3的坐标是(－3，8)，当点P 在点D 的右边时，OG ＝OD ＋DG ＝1＋9＝10，∴点P 4的坐标是(3，－10)，综上所述，满足条件的点P 共有4个，其坐标分别为(－13，0)、( 13，－2)、(－3，8)、 (3，－10)．7. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－3,0)、B (0，3)、C (1，0)三点．(1)求抛物线的解析式和它的顶点坐标；(2)若在该抛物线的对称轴l 上存在一点M ，使MB ＋MC 的值最小，求点M 的坐标以及MB ＋MC 的最小值；(3)若点P 、Q 分别是抛物线的对称轴l 上两动点，且纵坐标分别为m ，m ＋2，当四边形CBQP 周长最小时，求出此时点P 、Q 的坐标以及四边形CBQP 周长的最小值．第7题图 备用图解：(1)将A 、B 、C 的坐标代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0c ＝3a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴ 抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，配方，得y ＝－(x ＋1)2＋4，即顶点坐标为(－1，4)；（2）如解图①，连接AB 交对称轴于点M ，连接MC ，由A 、C 关于对称轴对称，得AM ＝MC ，∴ MB ＋MC ＝AM ＋MB ＝AB ，此时，MB +MC 的值最小，由勾股定理，得AB ＝OA 2＋OB 2＝32，即MB ＋MC ＝32，设AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A 、B 两点坐标代入，得 303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为y ＝x ＋3，当x ＝－1时，y ＝2，即M (－1，2)，此时MB ＋MC 的最小值为32；（3）如解图②，将B 点向下平移两个单位，得D 点，连接AD 交对称轴于点P ，作BQ ∥PD 交对称轴于Q 点，∵PQ ∥BD ，BQ ∥PD ， 第7题解图①第7题解图②∴四边形BDPQ 是平行四边形，∴BQ ＝PD ，PQ ＝BD ＝2，∴BQ ＋PC ＝PD ＋AP ＝AD ，由勾股定理，得AD ＝AO 2＋OD 2＝32＋12＝10，BC ＝OC 2＋OB 2＝12＋32＝10，∴四边形CBQP 周长的最小值为BC ＋BQ ＋PQ ＋PC＝BC ＋PQ ＋(BQ ＋PC )＝BC ＋PQ ＋AD ＝10＋2＋10＝210＋2，设AD 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A 、D 点坐标代入得，301k b b -+=⎧⎨=⎩，解得131k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AD 的解析式为y ＝13x ＋1， 当x ＝－1时，y ＝23，即P (－1，23)， 由|PQ |＝2，且Q 点纵坐标大于P 点纵坐标得Q (－1，83)， 故当四边形CBQP 周长最小时，点P 的坐标为(－1，23)，点Q 的坐标为(－1，83)，四边形CBQP 周长的最小值是210＋2.8. 已知点A (-1,1),B (4,6)在抛物线y =ax 2+bx 上.(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点F 的坐标为(0，m )(m>2)，直线AF 交抛物线于另一点G ，过点G 作x 轴的垂线，垂足为H ，设抛物线与x 轴的正半轴交于点E ，连接FH ，AE ，求证：FH ∥AE ;(3)如图②，直线AB 分别交x 轴，y 轴于C ，D 两点，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向匀速运动，速度为个单位长度，同时点Q 从原点O 出发，沿x 轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ 与抛物线的一个交点，当运动到t 秒时，QM =2PM ，直接写出t 的值.第8题图（1）解：将A （-1，1）、B （4，6）代入抛物线y=ax 2+bx 得： 11646-=⎧⎨+=⎩a b a b 解得1212⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩a b , ∴抛物线的解析式为y =21x 2-21x ; (2)证明：∵A (-1,1),F (0,m )，∴直线AF 的解析式为y=(m -1)x +m . 联立2(1)1122=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩y m x m y x x 整理得：21x 2-(m -21)x-m =0， ∵A 、G 为直线AF 与抛物线的交点,∴x A +x G =1()212---m =2m -1, ∴x G =2m -1-(-1)=2m ,∴H (2m ,0),又∵F （0，m ），设直线HF 的解析式为：y ＝k 0x+b 0，则00002=+⎧⎨=⎩mk b m b 解得0012⎧=-⎪⎨⎪=⎩k b m∴直线HF 的解析式为：y =-21x+m . 令y ＝21x 2-21x =0， 解得x 1=0，x 2＝1，∴E （1，0），∵A(-1,1),设直线AE 的解析式为y =k 1x +b 1，则111110=-+=⎧⎨+⎩k b k b ，解得111212⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩k b ， ∴直线AE 的解析式为：y =-21x +21, ∵k 0=k 1，∴AE ∥HF ;(3)解：当t=156+或t＝156-或t＝132+或t＝132-时，QM ＝2PM . 【解法提示】由题意知：直线AB 的解析式为y =x +2,∴设P (t -2,t ),Q (t ,0)，M (x 0,y 0),则直线PQ 的解析式为：y ＝222-+t t x . 由QM =2PM 可得:|x 0-t |=2|x 0-t +2|,解得：x0=t-43或x0=t-4.(i)当x0=t-43时,y0=23t，∴M(t-43,23t),将点M代入y=12x2-12x中得：1 2(t-43)2-12(t-43)=23t,解得：t1=156,t2=156-，(ii)当x0＝t-4时,y0=2t，∴M(t-4,2t),将点M代入y=12x2-12x中得：1 2(t-4)2-12(t-4)=2t,解得：t3=132+,t4=132-.综上所述,当t=156+或t＝156或t＝132+或t＝132-时，QM＝2PM.9.如图，直线y＝－33x＋3分别与x轴、y轴交于B，C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A，B两点．(1)求A，B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．第9题图解：(1)∵直线y ＝－33x ＋3与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ， ∴令x ＝0得y ＝3，令y ＝0得x ＝3，∴点B 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，3)．∴tan ∠CBO ＝OC BO ＝33， ∴∠CBO ＝30°，∴∠BCO ＝60°，∵AC ⊥BC ，∴∠ACO ＝30°，∴AO ＝CO ·tan ∠ACO ＝3×33＝1， ∴点A 的坐标为(－1，0)；(2)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点， ∴{a －b ＋3＝09a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－33b ＝233， ∴抛物线的解析式为y ＝－33x 2＋233x ＋3； (3)∵MD ∥y 轴，∴∠MDH ＝60°，∵MH ⊥BC ，∴∠DMH ＝30°，∴HD ＝12MD ，MH ＝32MD ， 设点D 的坐标为(t ，－33t ＋3)，则点M 的坐标为(t ，－33t 2＋233t ＋3)， ∵点M 在BC 直线上方抛物线上，∴MD ＝(－33t 2＋233t ＋3)－(－33t ＋3) ＝－33t 2＋3t ＝－33(t －32)2＋334. ∵0＜t ＜3， ∴当t ＝32时，MD 最大，且MD 的最大值为334， 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－23x 2－43x ＋2与x 轴交于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧)，与y 轴交于点A ，抛物线的顶点为D .(1)填空：点A 的坐标为(____，____)，点B 的坐标为(____，____)，点C 的坐标为(____，____)，点D 的坐标为(____，____)；(2)点P 是线段BC 上的动点(点P 不与点B 、C 重合)．①过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E ，若PE ＝PC ，求点E 的坐标；②在①的条件下，点F 是坐标轴上的点，且点F 到EA 和ED 的距离相等，请直接写出线段EF 的长； ③若点Q 是线段AB 上动点(点Q 不与点A 、B 重合)，点R 是线段AC 上的动点(点R 不与点A 、C 重合)，请直接写出△PQR 周长的最小值．解：(1)0，2，－3，0，1，0，－1，83；【解法提示】∵抛物线y ＝ －23x 2－43x ＋2与x 轴交于B 、C 两点，∴－23x 2－43x ＋2＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∵点B 在点C 的左侧，∴B (－3，0)，C (1，0)，∵抛物线与y 轴交于点A ，∴当x ＝0时，y ＝2，∴A (0，2)，∵－b 2a ＝－－432×（－23）＝－1，∴当x ＝－1时，y ＝－23×(－1)2－43×(－1)＋2＝83，∴顶点D 的坐标为(－1，83)．(2)①设点P 的坐标为(n ，0)(－3＜n ＜1)，∵EP ⊥x 轴，点E 在抛物线上，∴点E 的坐标为(n, －23n 2－43n ＋2)，又∵PE ＝PC ，∴－23n 2－43n ＋2＝1－n ， 解得n 1＝－32，n 2＝1(不符合题意，舍去)， ∴当n ＝－32时，1－n ＝52， ∴E (－32，52)； ②32或52. 【解法提示】如解图①，设直线DE 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，直线EA 与x 轴交于点K ，第10题解图①根据点E 、D 的坐标求得直线ED 的解析式为y ＝13x ＋3，根据点E 、A 的坐标求得直线EA 的解析式为y ＝－13x ＋2， ∴△MEK 是以MK 为底边的等腰三角形，△AEN 是以AN 为底边的等腰三角形，∵到EA 和ED 的距离相等的点F 在顶角的平分线上，根据等腰三角形的性质可知，EF 的长是E 点到坐标轴的距离，∴EF ＝32或52. ③326565. 【解法提示】如解图②，作点O 关于AB 的对称点E ，作点O 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AB 于点Q ，交AC 于点R ，过E 作EM ⊥x 轴于M ，过F 作FN ⊥x 轴于N ，第10题解图②此时△PQR 的周长为PQ ＋QR ＋PR ＝EF ，周长最小，∵A (0，2)，B (－3，0)，C (1，0)，∴AB ＝22＋32＝13，AC ＝12＋22＝5，∵S △AOB ＝12×12OE ·AB ＝12OA ·OB ， ∴OE ＝1213， ∵△OEM ∽△ABO ，∴OM OA ＝EM OB ＝OE AB ， 即OM 2＝EM 3＝121313， ∴OM ＝2413，EM ＝3613， ∴E (－2413，3613)， 同理可求得F (85，45)， ∴△PQR 周长的最小值为EF ＝（85＋2413）2＋（3613－45）2＝326565.11. 已知二次函数y ＝x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k (k ＞0)．(1)当k ＝12时，求二次函数的顶点坐标； (2)求证：关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0(k ＞0)有两个不相等的实根；(3)如图，该二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点(A 点在B 点的左侧)，与y 轴交于C 点，P 是y 轴负半轴上一点，且OP ＝1，直线AP 交BC 于点Q .求证：1OA 2＋1AB 2＝1AQ 2.第11题图(1)解：当k ＝12时，y ＝x 2－2x ＋34＝(x －1)2－14， ∴顶点坐标为(1，－14)； (2)证明：∵b 2－4ac ＝(2k ＋1)2－4(k 2＋k )＝4k 2＋4k ＋1－4k 2－4k ＝1＞0，∴原方程一定有两个不相等的实根；(3)证明：由题意得，A (k ，0)，B (k ＋1，0)，C (0，k 2＋k )，∴OA ＝k ，AB ＝1，设P A 的解析式为y 1＝mx ＋n ，代入P (0，－1)，A (k ，0)，解得，m ＝1k ，n ＝－1，于是y 1＝1kx －1， 设BC 的解析式为：y 2＝sx ＋t ，代入B (k ＋1，0)，C (0，k 2＋k )，解得，s ＝－k ，t ＝k 2＋k ，于是y 2＝－kx ＋k 2＋k ，联立,11221⎪⎩⎪⎨⎧++-=-=k k kx y x ky 解得,11222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=k k y k k k x ∴点Q 的坐标为(k ＋k 2k 2＋1，k k 2＋1)． ∴AQ 2＝(k ＋k 2k 2＋1－k )2＋(k k 2＋1)2＝k 2k 2＋1. ∴1AQ 2＝k 2＋1k 2＝1＋1k 2. ∵1OA 2＋1AB 2＝1k 2＋1＝1AQ 2. ∴1OA 2＋1AB 2＝1AQ 2.。