《3.1.1两角差的余弦公式》教案
玉林高中数学科授课人：饶蔼
一. 教材分析
本节课选自人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节课“3.1.1两角差的余弦公式”。变换是数学的重要工具，而三角恒等变换处于三角函数知识与数学变换的结合点和交汇点，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材。两角差的余弦公式是“三角恒等变换”这一章的基础和出发点，公式的发现和证明是本节课的重点，也是难点。
教材选择两角差的余弦公式作为基础，其基本出发点是使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。教材里面没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行，从简单情况入手得出结果，有利于学生学会探究和思维的发展.
由于本节课可以从不同的角度提出不同的问题，并且可以用不同的途径与方法解决问题，因此本节课为学生的思维发展提供了很好的空间和平台，教师要注意引导学生用观察、联想、对比、化归等方法分析问题，寻找解决问题的思路.
二. 教学目标
1. 知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，通过
公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础.
2. 过程与方法：在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题、
合作交流的能力；通过两角差的余弦公式的简单运用,掌握不同方法求值.
3. 情感态度：通过课题背景的设计，增强学生的探究、应用意识，认识到数学来
源于生活，激发学生的学习积极性.
三．教学重、难点
1. 重点：两角差余弦公式的探究、证明过程和公式的初步应用.
2. 难点：探究过程的组织和适当引导.
四．学情分析
学生已经掌握了利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数，也学习了同角三角函数式的变换；理解了平面向量及其运算的意义，并能用数量积表示两个向量的夹角，经历了用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，具有一定的推理能力、运算能力和解决实际问题的能力，但利用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量夹角的联系与区别.
五. 教法、学法
1. 教法：问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学.
2. 学法：课前预习、小组探究、反思小结等.
六. 教学过程
（一）创设情境，引入课题
金城超市电梯长度约为8米，坡度（与地面夹角）约为30度，请问当我们上完电梯后，在水平方向上前进了多少米？
设前进量为x 米，则3430cos 8=︒=x 米
提问：当电梯坡度为45度时，其他不变，x 等于多少？
答：2445cos 8=︒=x 米
提问：当电梯坡度为15度时，此时x 又等于多少？ 答：︒=15cos 8x 米
问题1：︒15cos 等于多少？能否用特殊角三角函数值来表示？
【设计意图】从学生的实际生活出发，自然地引出问题，培养学生把实际问题抽象为数学模型来解决的能力，让学生感知数学来源于生活，并应用于生活，激发学生的学习兴趣；
（二）探究归纳，提出猜想
问题2：对任意的βα,，βαβαcos cos )cos(-=-是否成立？ 1. 思考：︒15能否用特殊角表示？ 预案1：)3045cos(15cos ︒-︒=︒
问：︒-︒=︒30cos 45cos 15cos 是否成立？为什么？ 预案2：)4560cos(15cos ︒-︒=︒
问：︒-︒=︒45cos 60cos 15cos 是否成立？为什么？
【设计意图】让学生经历提出假设 证明假设的过程，知道要证明一个假设不成立，只需举出反例即可，即明白特殊与一般的辩证关系。
2. 探究：︒15cos 能否用特殊角三角函数来表示？如何表示？
提示：构造特殊三角形或利用单位圆、向量知识 预案1：构造直角三角形 321
+==BC AB 26+=AC 42
62
63215cos +=
++==︒AC BC 8 m
x
︒30
A
B
C
150 D
1
︒30
预案2：利用单位圆、向量知识
得出结论：30sin 45sin 30cos 45cos )3045cos(︒+︒︒=︒-︒
提出猜想：对任意的βα,，都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-.
【设计意图】通过求︒15cos 的值，让小组展示成果，不仅培养学生合作探究能力、表达能力，还培养了观察能力、归纳能力，并由此提出猜想，使学生懂得如何探究问题，从特殊情况迁移到一般情况下的讨论，为下个环节能突出重点起到铺垫作用。
（三）小组合作，证明猜想
问题3：以上探究︒15cos 值时，都是用到特殊角来求值，对一般情况下的角是否成立？
探究：证明对任意的βα,都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-. 预案1：利用单位圆、向量知识。
问题4：如何探讨βα,的任意性？
若 则 而
O
x
y
O
x
y
︒30
︒45 B )45sin ,45(cos ︒︒
A )30sin ,30
(cos ︒︒ =•OB OA )
30sin ,30(cos )45sin ,45(cos ︒︒•︒︒︒
︒+︒︒=30sin 45sin 30cos 45cos =•OB OA 又θ
cos OB OA •)
3045cos(cos ︒-︒==θ︒
︒+︒︒=︒-︒∴30sin 45sin 30cos 45cos )3045cos()sin ,(cos αα=OA )
sin ,(cos ββ=OB )
sin ,(cos )sin ,(cos ββαα•=•OB OA β
αβαsin sin cos cos +=)
cos(AOB OB OA OB OA ∠•=•又β
αβαβαsin sin cos cos )cos(+=-∴β
α-θ
βα-=-θ
θπβαcos )2cos()cos(=±=-∴k β
αβαθsin sin cos cos )cos(+=-θπβα±=-k 2β
αβαsin sin cos cos +=
