第10讲 三角函数及其性质
【基础知识】
1．三角函数定义:角α终边上任一点P ),(y x ,设||OP r = 则：sin ,cos ,tan y x y
αααr r x
===
2．⑴sin()y A ωx φ=+ 对称轴：令2
x k +=+π
ωϕπ，得2π
k πφx ω
-+
=
对称中心：))(0,(Z k k ∈-ω
ϕπ；
⑵cos()y A ωx φ=+ 对称轴：令ωx φk π+=，得k πφx ω
-=
；对称中心：))(0,2
(
Z k k ∈-+
ω
ϕ
π
π；
3.周期公式:①函数sin()y A x =+ωϕ及cos()y A x =+ωϕ的周期2πT ω
=
②函数()φω+=x A y tan 的周期πT ω
=
.
4．同角三角函数的基本关系：22sin sin cos 1;
tan cos x
x x x x +==
[例1] (1)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域是________．
(2)函数2sin(
)(09)63
y x x π
π
=-≤≤的最大值与最小值之和为________．
[例2] (2014·福建高考)已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+．
(1)求5(
)4
f π
的值；(2)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间． [例3] (2012·新课标全国卷)已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2
π
π上是减函数，则
ω的取值范围是( )
A.15[,]24
B.13[,]24
C.1
(0,]2
D ．(0，2]
【基础训练】
1、（2012·福建高考文科）函数)4
sin()(π
-
=x x f 的图象的一条对称轴是（ ）
（A ）4
π
=
x (B) 2
π
=
x
(C) 4
π
-
=x
(D) 2
π
-
=x
2、（2013·天津高考文科）函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值是（ ）
A. -1
B.
D. 0
3、3.（2012·安徽高考文科·Ｔ7）要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象（ ）
（A ）向左平移1个单位 （B ）向右平移1个单位 （C ）向左平移
21个单位 （D ）向右平移2
1
个单位 4、(2013·江苏高考)函数)4
2sin(3π
+=x y 的最小正周期为 .
【典例分析】
1、（2013·湖北高考文科）将函数y =3cos x +sin x （x ∈R ）的图象向左平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）
A.
12
π
B.
6π C. 3
π D 65π
2、（2011·新课标全国高考文科）设函数()sin(2)cos(2)4
4
f x x x ππ
=+++，则( )
（A ）()y f x =在0,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递增，其图象关于直线4
x π
=
对称
（B ）()y f x =在0,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递增，其图象关于直线2
x π
=
对称
（C ）()y f x =在0,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭内单调递减，其图象关于直线4x π
=对称 （D ）()y f x =在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
内单调递减，其图象关于直线2
x π
=
对称
3、（2013·陕西高考文科）已知向量1(cos ,),,cos 2),2
a x
b x x x R =-=∈
, 设函数()f x a b =⋅ .
(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x ) 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.
【提高训练】
1、（2012·山东高考文科）设命题p ：函数x y 2sin =的最小正周期为
2
π
；命题q ：函数x y cos =的图象关于直线2
π
=
x 对称，则下列判断正确的是（ ）
(A)p 为真 (B)q ⌝为假 (C)q p ∧为假 (D)q p ∨为真
2、（2012·天津高考文科）将函数x x f ωsin )(=(其中ω>0)的图象向右平移
4
π
个单位长度，所得图象经过点
304π
（，），则ω的最小值是（ ） （A ）13 (B)1 （C ）5
3
(D)2
3、（2012·北京高考文科）已知函数x
x
x x x f sin 2sin )cos (sin )(-=
.
（1）求)(x f 的定义域及最小正周期.（2）求)(x f 的单调递减区间.
