大学物理 第四章 刚体转动(二)

只有保守内力做功
则: E1 = E2 = 常量
例题：如图所示，一质量为M、半径为R的圆盘，可绕
一无摩擦的水平轴转动。圆盘上绕有轻绳，一端悬挂质
量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度的
大小为多少？设绳的质量忽略不计。
R
解：对于圆盘，根据转动动能定律
TR ＝ 1 Jw
2
2
1 Jw
2
2
0
J＝ 1 MR2
O
d drr r
r F
元功：dA
=
F
dr
=
F
dr
cos
ds
=
rd
= Fds cos cos = sin
= Fr cos d
= Fr sin d = Md
定义：力矩的功 dA = Md
对转动物体，力做的功力矩的功
1 2 : A =
dA = 2 Md 1
说明 （1）若M为恒力矩 A = M(2 1)
定轴转动刚体的机械能：
E机械
=
mghc
1 2
Jw 2
五、一般体系
体系中包含做定轴转动的刚体 和平动的物体
1. 动能定理
M
m2 m1
A外 A内 = (Ek平2 Ek转2 ) (Ek平1 Ek转1 )
2. 功能原理
A外 A非保内 = E2 E1 E = Ek平 Ek转 Ep
3. 机械能守恒定律
z
O
x
ri yi
xi y
mi
对于薄板刚体，若建立
坐标系Oxyz，其中z轴与薄板 垂直，Oxy平面在薄板内，则 薄板刚体对z 轴的转动惯量等 于对x 轴的转动惯量和对y 轴 的转动惯量之和 。
J z = miri 2 = mi ( yi 2 xi 2 )
= Jx Jy
Jz = Jx Jy
例：求对薄圆盘的一条直径的转动惯量。
注意以下几点：
1.力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的； 2.要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角 速度的正负； 3. 系统中有转动和平动，
转动物体——转动定律 平动物体——牛顿定律
例题1 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两
端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1< m2 如图所
速度w0＝0，下摆到竖直位置时的角速度为w ，按 力矩的功和转动动能增量的关系式得
mg l = 1 Jw 2
22
由此得 w = mgl
J
因 J = 1 ml 2 代入上式得 3
w = 3g
l
所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度
分别为
vA = lw = 3gl
vC
=
lw
2
=
1 2
3gl
小结
2
对于物体，由质点动能定理，得
T’
N’
h
P’
mgh T'h
=
1 2
m v2
1 2
m v02
T
P
由牛顿第三定律
T = T'
由于绳与圆盘之间无相对滑动，故有
h = R v = Rw
解上述方程，可得
v=
M
m
/ 2
m
2
gh
例题: 一根质量为m、长为 L的均匀细棒OA（如图 ），可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动 ，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖 直位置时其中点C和端点A的速度。
•刚体转动惯量的计算 •刚体定轴转动的转动定律的应用 •刚体定轴转动的功能关系
作业
思考题： 习 题： P144 4.13 4.16 预 习： §4－4, §4－5
3
2
dt
设圆盘经过时间t停止转动，则有
2 3
g
t
0
dt
=
1 2
R
0
w0
dw
由此求得
t
=
3 4
R
g
w0
§4.3 定轴转动中的功能关系
力的空间累积效应： 力的功、动能、动能定理．
力矩的空间累积效应： 力矩的功、转动动能、动能定理．
一、力矩的功 力矩对空间的累积效应
r F
在转动平面内
dt : 刚体角位移为d 质点元位移为 drr
例2 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置，
其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．由于 此竖直放置的细杆处于非
m,l θ mg
O
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细
杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时
的角加速度和角速度．
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力FN
（2）合外力矩的功
A =
2 Md =
1
2(
1
M
1
M2L
Mn )d
=
2 1
M
1d
2 1
M
2d
L
2 1
M
nd
= A1 A2 L An 力矩的功率 P = dA = M d = Mw
dt dt
二、刚体的转动动能
mi
:
E ki
=
1 2
m
i
v
2 i
=
1 2
m i ri 2w 2
Ek
=
的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是
M = rdmg = g rreddr
=
ge02
d
R
0
r
2dr
= 2 geR3
3
因m=eR2，代入得
M
=
2 mgR
3
根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即
获得负的角加速度.
2 mgR = J = 1 mR2 dw
示。设滑轮的质量为m ，半径为r，所受的摩擦阻力矩为 Mτ。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳 的张力。
解:滑轮具有一定的转动惯 量。在转动中受到阻力矩 的作用，两边的张力不再 相等，设物体1这边绳的张 力为T1、 T1’(T1’= T1) ，
物体2这边的张力为
m1
T2、 T2’(T2’= T2)
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全 ？
Βιβλιοθήκη Baidu大都分布于外轮缘？
4－2 转动定律 (下)
四、平行轴定理
质量为m 的刚体，
如果对其质心轴的转动
惯量为 JC ，则对任一与
该轴平行，相距为 d 的
转轴的转动惯量
d
C mO
JO = JC md 2
证明：
JO = JC md 2
OP 2＝x 2 y 2
1 2
m
r
当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，
有
T1
= T2
=
2m1m2 m2 m1
g
a = m2 m1 g m2 m1
上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量
重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、r和 J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，
再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1 和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小， 这样就能角精确地测出a来。
n i =1
12mi ri2w 2
ri vr i mi
wM
=
1n (
2 i=1
mi ri2 )w 2
=
1 2
Jw 2
说明 转动动能是转动时各个质元动能之和，
而不是一种新能量。
三、定轴转动动能定理
刚体内力做功之和为零：A内 = 0
dA = Md = Jb d = J dw d = Jw dw
1 2 :
O' P2＝x2 y＋d 2
P对Z轴的转动惯量
m O' P2 = m x2 y＋d 2 = m x2 y2＋d 2 2yd
= m OP2＋d 2 2yd
J＝ m O' P2 = m OP 2＋d 2 2 yd
＝ m OP 2 m d 2 m 2 yd
是变力矩，大小等于mg(L/2) cos ，棒转过一极
小的角位移d 时，重力矩所作的元功是
dA = mg l cosd
2
在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力
矩所作的功是
A = dA =
02
mg
l 2
cosd
=
mg l 2
应该指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可
用重力势能的差值来表示。棒在水平位置时的角
→ J＝Jc md 2 2d m y
yc
=
my m
=
0
J＝J ＋md 2 C
J = Jc md2
圆盘对P 轴的转动惯量 P R O m
JP
=
1 2
mR 2
mR2
质量为m，长为L的细棒绕其一端的J
Jc
=
1 12
mL2
O1
O1’
J
=
Jc
m( L)2 2
=
1 3
mL2
d=L/2
O2
O2’
五、垂直轴定理
大学物理学电子教案
刚体的转动
4-2 转动定律(下) 4-3 定轴转动的功能关系
复习
M = Jα = J dw
dt
（1） M 一定，J
α 转动惯量是转动
惯性大小的量度；
（2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速
的力矩为正；
（3）J 和质量分布有关；
（4）J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转
动惯量不同。
作用，由转动定律得
1 mgl sin = J
2
m,l
FN
θ
mg O
式中 J = 1 ml2 3
得 = 3g sin
2l
由角加速度的定义
= dω = dω dθ = ω dω
dt dθ dt dθ
有 ωdω = 3g sin θdθ 2l
对上式积分，利用初始条件，
m,l FN θ
O
mg
w
w
0
dw
解 先对细棒OA所受的力
作一分析；重力G 作用在 O
棒的中心点C，方向竖直向
下；轴和棒之间没有摩擦
力，轴对棒作用的支承力N
垂直于棒和轴的接触面且
通过O点，在棒的下摆过
G
程中，此力的方向和大小
是随时改变的。
w
A
A
在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支撑力N通过
O点，所以支撑力N的力矩等于零，重力G的力矩则
T1 T1
a m1
G1 m2
T2 T2
a
a
m2
G2
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以 顺时针方向旋转，Mτ的指向如图所示。可列出下列方 程
T1 G1 = m1a G2 T2 = m2a
T2r T1r M = J
式中 是滑轮的角加速度，a 是物体的加速度。滑
轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即
dt
A =
2 Md
1
=
w2Jw dw
w1
=
1 2
Jw
2 2
1 2
Jw
2 1
2
1
Md
=
1 2
Jw
2 2
1 2
Jw12
定轴转动刚体的动能定理： 合外力矩做的功等于刚体转动动能的增量。
四、刚体的重力势能
mihi
Ep =
mi ghi = m i
i
m
g = mghc
hc 为刚体质心的高度
结论 刚体的重力势能，等于把刚体的全部 质量集中于质心时质心的势能。
=
0
3g 2l
sin
d
解得： ω = 3g (1 cos θ) l
例题3 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗
糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆 盘最初以角速度w0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转
，问它经过多少时间才停止转动？
w
d r R
dr
e
解 由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在 整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分 法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元
a = r
从以上各式即可解得
a
=
m2 m1g
m2 m1
Mr J
r2
/
r
=
m2
m2
m1 g M
m1
1 2
m
/
r
而
T1
=
m1g
a
=
m1
2m2
1 2
m
g
M
m2
m1
1 2
m
/
r
T2
=
m1g－a
=
m2
2m1
1 2
m
g＋M
m2
m1
1 2
m
/
r
= a = m2 m1g M / r
r
m2
m1
已知圆盘
Jz
=
1 2
mR 2
解：Jz = J x J y
Jx
=
Jy
=
1 2
Jz
x
= 1 mR 2
4
z m
R
y
六、刚体定轴转动定律的应用
题目类型
已知两个物理量，求另一个： 1.已知J和M，求 2.已知J和 ，求M 3.已知M和 ，求J
解题步骤
1.确定研究对象； 2.受力分析； 3.选择参考系与坐标系； 4.列运动方程； 5.解方程； 6.必要时进行讨论。