第一届中国东南地区数学奥林匹克试题
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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 第 1 页 共 6 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 首届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 （2004年7月10日 8：00 — 12：00 温州）
一、设实数a、b、c满足2223232abc，求证：39271abc 二、设D是ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N。如果DE=DF， 求证：DM=DN
三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}na，使得对任意的正整数n都有2122nnnaaa。
（2）是否存在正无理数的无穷数列{}na，使得对任意的正整数n都有2122nnnaaa。 四、给定大于2004的正整数n，将1、2、3、…、2n分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。
第二天 （2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州）
五、已知不等式62(23)cos()2sin2364sincosaa对于0,2
恒成立，求a的取值范围。 六、设点D为等腰ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的圆与边AB交于点E。求证：CDEFDFAEBDAF 七、n支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛，球n的最大值。 注：A、B两队在A方场地举行的比赛，称为A的主场比赛，B的客场比赛。
八、求满足0xyyzzuxyyzzu，且110xyzu、、、的所有四元有序整数组 （,,,xyzu）的个数。 首届中国东南地区数学奥林匹克（答案） 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 第 2 页 共 6 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 一、解：由柯西不等式，2222222(23)(123)(1)(2)(3)9abcabc 所以，233abc，所以 33(23)3392733331abcabc 二、证明： 对AMD和直线BEP用梅涅劳斯定理得：
1(1)APDEMBPDEMBA，
对AFD和直线NCP用梅涅劳斯定理得： 1(2)ACFNDPCFNDPA，
对AMF和直线BDC用梅涅劳斯定理得： 1(3)ABMDFCBMDFCA （1）（2）（3）式相乘得： 1DEFNMDEMNDDF，又DE=DF，
所以有DMDNDMDEDNDE， 所以DM=DN。
一、解： （1）假设存在正整数数列{}na满足条件。
212212221231112,0,...,3,4,....,222nnnnnnnnnnnaaaaaaaanaaaa
又2222111,2aaaa所以有221112nnnaaaa对n=2，3，4，…成立。 222221222(2)(3)(2)(3)...1111111...222nnnnnnnnnaaaaaaaaaa
所以122222112nnnnaaa。 设212[2,2),kkakN，取3Nk，则有1221222221111121122NkkNNNkkaaaa
，这与Na是正整数矛盾。
所以不存在正整数数列{}na满足条件。
FABDCPMN金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com
第 3 页 共 6 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com （2）(1)(2)2nnna就是满足条件的一个无理数数列。此时有212242nnnnnaaaaa。 四、解：为叙述方便，如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格中所填的数，则称此格为行优的。由于每一行中填较小的2004个数的格子不是行优的，所以每一行中有n－2004个行优的。一个方格为“优格”一定是行优的，所以棋盘中“优格”个数
不大于(2004)nn。
另一方面，将棋盘的第i(1,2,3,...,)in行，第1...2003iii、、、（大于n时取模n的余数）列中的格子填入“*”。将1、2、3、…、2004n填入有“*”的格子，其余的数填入没有“*”的格子。没有“*”的格子中填的数大于有“*”的格子中任何一个
数，所以棋盘上没有“*”的格子都为“优格”，共有(2004)nn个。 此时每行有2004个格子有“*”，每列也有2004个格子有“*”（如图）。实际上，当12003i时，第i列的第1、2、…、i、n+i－2003、n+i－2002、...、n行中有“*”。当2004i 时，第i列的第i－2003、i－2002、...、i行中有“*”。所以每行有2004个格子有“*”，每列也有2004个格子有“*”（如图） * * *
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
所以棋盘中“优格”个数的最大值是(2004)nn。
五、解：设sincosx，则22cos(),sin21,1,242xxx 从而原不等式可化为：26(23)2(1)36axxax 即2622223340,2()3()0xaxxaxxaxaxxx， 2(23)01,2(1)xxaxx
原不等式等价于不等式（1）
1,2,230xx 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 第 4 页 共 6 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com （1）不等式恒成立等价于201,2xaxx恒成立。 从而只要max2()(1,2)axxx。 又容易知道2()fxxx在1,2上递减，max2()3(1,2)xxx。 所以3a。 六、证明：设AF的延长线交BDF于K，
,AEFAKBAEFAKB，
因此,EKBKAEAKAFABAFAB。于是要证（1）， 只需证明：(2)CDBKDFAKBDAB 又注意到KBDKFDC。 我们有1sin2DCKSCDBKC
进一步有1sin21sin2ABDADKSBDABCSAKDFC 因此要证（2），只需证明ABDDCKADKSSS（3） 而（3）//(4)ABCAKCSSBKAC 事实上由BKAFDBKAC知（4）成立，得证。 七、解：（1）如右图所示：表格中有“*”， 表示该球队在该周有主场比赛，不能出访。 容易验证，按照表中的安排，6支球队四周 可以完成该项比赛。 （2）下面证明7支球队不能在四周
完成该项比赛。设(1,2,3,4,5,6,7)iSi表示 i号球队的主场比赛周次的集合。假设4周内 能完成该项比赛，则iS是{1，2，3，4}的非空真子集。 一方面由于某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛，所以(1,2,3,4,5,6,7)iSi中，没有一个集是另一个的子集。 另一方面，设{1},{1,2},{1,2,3},{2},{2,3},{2,3,4},{3},{1,3},{1,3,4}ABC
{4},{1,4},{1,2,4},{2,4},{3,4}DEF 由抽屉原理，一定存在
D123EFBAC球 队 第 一 周 第 二 周 第 三 周 第 四 周 1 * * 2 * * 3 * * 4 * * 5 * * 6 * * 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com
第 5 页 共 6 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com ,,,,{1,2,3,4,5}ijijij，,ijSS属于同一集合A或B或C或D或E或F，必有
ijSS或jiSS发生。
所以，n的最大值是6。 八、解：设(,,,)abbccdfabcdabbccd。
记:{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}Axyzuxyzufxyzu， :{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}Bxyzuxyzufxyzu，
:{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}Cxyzuxyzufxyzu，
显然4()()()10cardAcardBcardC。 我们证明()()cardAcardB。对每一个(,,,)xyzuA，考虑(,,,)xuzy。 (,,,)(,,,)000(,,,)0(,,,)xyyzzuuxxyzuAfxyzuxyyzzuuxxuuzzyyxfxyzuxuzyBxuuzzyyx
接着计算()cardC。
(,,,)()()()0()()()()xzyuxzyuxyzuCzxuyxzyuxyzuyzux
设1{(,,,)|,1,,,10}Cxyzuxzxyzu， 2{(,,,)|,,1,,,10}Cxyzuxzyuxyzu，
3{(,,,)|,,,1,,,10}Cxyzuxzyuxzyuxyzu。
满足,(,,,)abcdabcd为1、2、3、...、10的两两不同的无序四元组只有
1623,1824,11025,2634,2936,21045, 3846,31056,41058。
满足,,xyzuxz的四元组共90个，满足,,xzyuxz的四元组共90个，
312()4299090252,()1000,()900cardCcardCcardC。
所以，()2152,()3924cardCcardA。
