4．假设1000元在半年后成为1200元，求 ⑴
)2(i ，⑵ i, ⑶ )3(d 。
解：⑴ 1200)2
1(1000)
2(=+⨯i ；所以
4.0)2(==i
⑵2
)2()2
1(1i i +=+；所以44.0=i ⑶n n m m n
d d i m i ---=-=+=+)1()1(1)1()
(1)(；
所以， 13)3()1()3
1(-+=-i d ；34335.0)3(=d 5．当1>n
时，证明：
i i
d
d n n <<<<)
()
(δ。
证明：①)
(n d d <
因为， +⋅-⋅+⋅-⋅=-=-3)(3
2)(2)
(10)()()(1)1(1n
d C n d C n d C C n d d n n n n n n n n n )
(1n d ->所以得到，
)(n d d <；
②
δ<)
(n d )1()
(m
n e
m d
δ
-
-=；m
m C m C m C m e
n
n
n
m
δ
δ
δ
δ
δ
δ
-
>-⋅+⋅-⋅+-
=-
1)()()(14
43
32
2
所以，
δ
δ
=-
-<)]1(1[)
(m
m d
n
③
)(n i <δ
i n
i n
n +=+1]1[)(， 即，δ=+=+⋅)1ln()1ln()(i n i n n 所以，
)1()(-⋅=n n e n i δ
m
m
C m
C m
C m
e n n n n δ
δ
δ
δ
δ
δ
+
>+⋅+⋅+⋅++
=1)(
)(
)(
144
33
22
δ
δ
=-+>]1)1[()(n
n i n
④
i i n <)(
i n
i n
n +=+1]1[)
(，)(2)(2)(10)(1)(1]1[n n n n n n n n i n i C n i C C n i +>+⋅+⋅+⋅=+
所以，
i
i
n <)
(
6．证明下列等式成立，并进行直观解释：
⑴n m
m
n m a v a a +=+；
解：i
v
a n
m n
m ++-=
1，
i
v a m m
-=
1，i
v v i v v a v n
m m n m
n
m +-=-=1
所以，n m n
m m m n m
m
a i
v v v a v a ++=-+-=+1
⑵n m
m
n m s v a a -=-；
解：
i
v a n
m n
m ---=
1，i
v a m m
-=
1，i
v v s v n
m m n m
--=
-
所以，n m n
m m m n m
m
a i
v v v s v a --=-+-=-1
⑶
n
m
m n m a i s s )1(++=+；
解：
i i s m m
1)1(-+=，i
i i i i i s i m n m n m n m )1()1(1)1()
1()1(+-+=-++=++
所以，n
m m
n m m n m
m
s i
i i i a i s ++=+-++-+=++)1()1(1)1()1(
⑷
n
m
m n m a i s s )1(+-=-。
解：（同上题）略。
7．某人今年30岁， 其计划每年初存300元，共存30年建立个人存款能从60岁退休开始每年年末得到固定金额，共能领取20年。假设存款利率在前十年为6%，后20年为12%，求每年能取的养老金额。
解：2
10
2202110120
2021030
1)1()1(1)1()1(i i i i i s i s s
-+++⋅-+=++⋅=
所以60岁时存款有5.5975930030=⋅s （元）
由此知，20
20s a X =⋅，可得X=7774.12（元）
8．某单位在20年内每年存入银行5000元建立职工奖励基金。从存入最后一笔款后的第2年起，每年提取固定金额奖励一名有突出贡献的职工，这种奖励形式将永远持续下去。假设存款的利率为8%，求每次能够提取的最大金额。
解：82.22880950001
20=⋅=⋅=⋅∞
s i
X A X 。所以79.18304=X （元）
10．假设每年第一年收付200元，以后每隔一年增加收付100元，增加到一次收付1000元时不在增加，并一直保持每年1000元的水平连续收付。假设年利率为12%，求这一年金的现值。
解：
94
.436211000)1(8100
)1(1001000)(1001009881
91=⋅⋅++-++=++=--∞
v i
i
i a
i a Ia a a
1．依据生命表的基础填充下表：
x
x l
x d
x p
x q
0 1000 100 0.9 0.1 1 (900) (150) (5/6) (1/6) 2 750 (150) 0.8 (0.2) 3 (600) (300) (0.5) (0.5) 4 300 (180) (0.4) 0.6 5 (120) (120) (0) (1) 6
3.已知)120
1(1000x
l x -=，计算： ⑴0l
，120l
，
33d ，3020p ，2030q ；
⑵25岁的人至少再活20，最多活25年的概率； ⑶三个25岁的人均存活到80岁的概率。
解：⑴1000)120
1(10000=-
=l ；0)1201201(1000120=-=l 3
25
12011000343333=⋅
=-=l l d
9
7
305030
20
==l l p ；3.020502020
30=-=l l l q ⑵19
1
25504525
520=
-=l l l q
⑶074646449.0)19
8()(3
3258025
55
===l l p
