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三角形培优训练100题集锦(学生用)

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三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

1、已知，如图ABC中，5AB，3AC，求中线AD的取值范围。

分析：本题的关键是如何把AB，AC，AD三条线段转化到同一个三角形当中。 解:延长AD到E，使DADE，连接BE 又∵CDBD，CDABDE

E C

A B D ∴SASCDABDE，3ACBE ∵BEABAEBEAB (三角形三边关系定理) 即822AD ∴41AD

2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DFDE，D是中点，试比较CFBE与EF

的大小。 证明：延长FD到点G，使DFDG，连接BG、EG ∵CDBD，DGFD，CDFBDG ∴CDFBDG ∴CFBG ∵DFDE ∴EGEF 在BEG中，EGBGBE ∵CFBG，EGEF ∴EFCFBE

3、如图，ABC中，ACDCBD，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.

证明方法一：利用相似论证。 证明：∵ACDCBD ∴BCAC21 ∵E是DC中点 ∴ACDCEC2121，BCAACE ∴BCA∽ACE ∴CAEABC ∵DCAC ∴DACADC，BADABCADC

E C A B D

G F E C

A

B D 图 1 M N C A B D N E C A B D M 图 2

∴CAEDAEBADABC ∴DAEBAD 即AD平分BAE 证明方法二：利用全等论证。 证明：延长AE到M，使AEEM，连结DM 易证CEADEM ∴MDEC，DMAC 又∵ACDCBD ∴DMBD，CADADC 又∵CADCADB，ADCMDEADM ∴ADBADM ∴ADBADM ∴DAEBAD 即AD平分BAE

4、以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90CAEBAD，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点。探究：AM与DE的位置关系及数量关系。 （1）如图1 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；

（2）将图1中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转（900）后，如图2所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由。

解：（1）AMED2，EDAM；

M E C A B D 证明：延长AM到G，使AMMG，连BG，则ABGC是平行四边形 ∴BGAC，180BACABG 又∵180BACDAE ∴DAEABG 再证：ABGDAE ∴AMDE2，EDABAG 延长MN交DE于H ∵90DAHBAG ∴90DAHHDA ∴EDAM （2）结论仍然成立． 证明：如图，延长CA至F，使FAAC，FA交DE于点P，并连接BF ∵BADA，AFEA ∴EADDAFBAF90 ∵在FAB和EAD中





DABAEADBAFAEFA

∴EADFAB（SAS） ∴DEBF，AENF ∴90AENAPEFFPD ∴DEFB 又∵AFCA，MBCM ∴FBAM//，且FBAM21 ∴DEAM，DEAM21

5、如图，ABC中，ACAB2，AD平分BAC，且BDAD，求证：ACCD 证明：过D作ABDM，垂足为M

G C H A B

D

M N

E

F C P A

B

D

M N

E ∴90BMDAMD 又∵BDAD，DMDM ∴BDMADM ∴BMAM ∵ACAB2 ∴AMAC ∵AD平分BAC ∴CADBAD 在ADC和ADM中 AMAC，CADBAD，ADAD ∴ADCADM ∴90ADMACD 即: ACCD 6、如图，BDAC//，EA，EB分别平分CAB，DBA，CD过点E，求证：BDACAB 证明：在AB上截取ACAF，连接EF 在CAE和FAE中





AEAEFAECAEAFAC

∴FAECAE ∴FEACEA ∴90FEBFEABEDCEA 即DEBFEB 在DEB和FEB中





DBEFBEBEBEDEBFEB

∴FEBDEB（ASA） ∴BFBD

M C

A

B D

F E

D

A

B C ∴BDACBFAFAB 7、如图，已知在ABC内，60BAC，40C，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BPABAQBQ 证明：延长AB到D，使BPBD，连接PD．则5D ∵AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线，60BAC，40C ∴3021，804060180ABC，C4043 ∴QCQB 又80435D ∴40D 在APD与APC中 APAP，21，40CD ∴APCAPD（AAS） ∴ACAD 即QCAQBDAB ∴BPABAQBQ

8、如图，在四边形ABCD中，BABC，CDAD，BD平分ABC. 求证：180CA 解：过点D作BCDE于E，过点D作ABDF交BA的延长线于F ∵BD平分ABC ∴DFDE，90DEBF 在CDERt和ADFRt中

DFDECDAD

∴CDERtADFRt（HL） ∴CFAD ∴180FADBADCBAD

4 5

2 3D Q P C A B 1

E F D

C A B 9、如图，在ABC中，ACAB，CADBAD，P为AD上任意一点。

求证：PCPBACAB 证明：如图，在AB上截取AE，使ACAE，连接PE 在AEP和ACP中





APAPCADBADACAE

∴ACPAEP（SAS） ∴PCPE 在PBE中，PEPBBE，即PCPBACAB

10、在四边形ABCD中，BCAD//，点E是AB上一个动点，若60B，BCAB，且60DEC，判断AEAD与BC的关系并证明你的结论。 分析：此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。 解：有AEADBC 连接AC，过E作BCEF//并AC于F点 则可证AEF为等边三角形 即EFAE，60AFEAEF ∴120CFE 又∵BCAD//，60B ∴120BAD 又∵60DEC ∴FECAED 在ADE与FCE中 CFEEAD，EFAE，FECAED ∴FCEADE ∴FCAD

D E A

C B

E D

A P C B

D E A

C B

F

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专题01 30°、45°、60°的三角函数值(专项培优训练)学生版

专题01 30°、45°、60°的三角函数值(专项培优训练)学生版

专题01 30°、45°、60°的三角函数值（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.56题号一二三总分得分评卷人得分一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2023秋•香坊区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，．则cos A的值为（ ）A．B．C．D．2．（2分）（2022秋•海淀区校级期末）已知0°＜θ＜45°，则下列各式中正确的是（ ）A．cosθ＜B．tanθ＞1C．sinθ＞cosθD．sinθ＜tanθ3．（2分）（2022秋•松原期末）的值等于（ ）A．1B．C．3D．4．（2分）（2023•泉港区模拟）已知∠A是锐角△ABC的内角，，则cos A的值是（ ）A．B．C．D．5．（2分）（2023•西湖区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，定义：斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割，用“csc A”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（ ）A．csc B•sin A＝1B．C．csc A•cos B＝1D．csc2A+csc2B＝16．（2分）（2023秋•肇源县校级月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为（ ）A．B．C．D．7．（2分）（2022秋•蚌埠月考）若锐角A满足sin A＝cos35°，则∠A的度数是（ ）A．65°B．55°C．45°D．35°8．（2分）（2020秋•文登区期末）若sinα＞cosα，则锐角α的取值范围是（ ）A．0°＜α＜45°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．45°＜α＜90°9．（2分）（2021秋•碑林区校级月考）在△ABC中，sin A＝cos（90°﹣C）＝，则△ABC的形状是（ ）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定10．（2分）（2022秋•汝州市期末）在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，则cos A的值为（ ）A．B．C．D．2评卷人得分二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2023•南岗区校级开学）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝3，则sin B ＝ ．12．（2分）（2023•南岗区校级开学）已知α为锐角，tanα＝3，则sinα的值为 ．13．（2分）（2023•夹江县模拟）2sin45°＝ ．14．（2分）（2023•未央区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为 ．15．（2分）（2023•怀宁县一模）若∠A是锐角，且tan A＝2sin A，则∠A＝ ．16．（2分）（2023•新邵县校级一模）已知△ABC中，∠A＝90°，tan B＝，则sin C ＝ ．17．（2分）（2022秋•嘉峪关校级期末）在△ABC中，，则△ABC的形状是 ．18．（2分）（2022秋•黄浦区校级期中）已知0°＜α＜90°，如果，那么tanα＝ ．19．（2分）（2022秋•西岗区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若sin B＝，则tan A ＝ ．20．（2分）（2021•佛冈县校级模拟）在△ABC中，|cos A﹣|+（1﹣tan B）2＝0，则∠C的度数是 ．评卷人得分三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2023秋•张店区期中）计算：（1）2sin30°﹣sin45°•cos45°；（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．22．（6分）（2023•封丘县模拟）计算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．23．（8分）（2022秋•定远县期末）计算：（1）cos30°sin45°+sin30°cos45°；（2）．24．（8分）（2022秋•红旗区校级期末）计算：（1）（）﹣1+sin45°﹣（π+1）0+tan60°（2）sin230°+cos230°﹣tan245°25．（8分）（2022秋•甘井子区校级期末）如图，在△ABC中，BC＝4，∠A＝90°，．（1）求AB；（2）求tan C．26．（8分）（2021秋•泗县期末）计算：（1）解方程：4x2+1＝4x；（2）sin260°+cos260°﹣tan45°．27．（8分）（2022秋•管城区校级月考）计算或解方程：（1）sin60°•cos60°﹣tan30°•tan60°+sin245°+cos245°；（3）（2x﹣5）2＝9（x+2）2．28．（8分）（2023•建邺区校级二模）规定：sin（﹣x）＝﹣sin x，cos（﹣x）＝cos x，sin（x+y）＝sin x•cos y+cos x•sin y．据此（1）判断下列等式成立的是 （填序号）．①cos（﹣60°）＝﹣；②sin2x＝2sin x•cos x；③sin（x﹣y）＝sin x•cos y﹣cos x•sin y．（2）利用上面的规定求①sin75° ②sin15°．。

人教版 八年级数学 13.3 等腰三角形 培优训练(含答案)

人教版 八年级数学 13.3 等腰三角形 培优训练(含答案)

人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知P A＝PB，在证明∠A＝∠B时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法：甲：作底边AB的中线PC；乙：作PC平分∠APB交AB于点C.则()A．甲、乙两种作法都正确B．甲的作法正确，乙的作法不正确C．甲的作法不正确，乙的作法正确D．甲、乙两种作法都不正确2. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对3. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A. 5B. 6C. 8D. 104. 如图，∠AOB＝50°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，则∠MAB等于()A．50°B．40°C．25°5. 如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是()A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC．AD⊥BC，BD＝CD D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD6. 如图所示，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为E. 若AE=1，则△ABC的边长为()A. 2B. 4C. 6D. 87. 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠BCD的度数为()A．150°B．160°C．130°D．60°8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形()A．0个B．1个C．2个D．3个9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形．．．．．，那么符合题意的点C的个数是()A. 6B. 7C. 8D. 910. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是()A．60°B．65°C．75°D．80°二、填空题（本大题共6道小题）11. 如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE 折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF＋∠CEF＝________°.12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BC＝BD.若∠CBD＝46°，则∠A＝________°.13. 在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝40°，AC＝5，则AB＝________．14. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．15. 如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝________．16. 一个等腰三角形的一边长是2，一个外角是120°，则它的周长是________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F.求证：DE＝DF.18. 如图，在等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE ⊥AC交BC于点F，且DF＝EF.(1)求证：CD＝BE；(2)若AB＝12，求BF的长．19. 如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G.(1)求∠CEF的度数；(2)求证：△EFG是等腰三角形．20. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A2. 【答案】B【解析】∵|x －4|＋y －8＝0，∴x －4＝0，y －8＝0，解得x ＝4，y ＝8.分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的等腰三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，这样能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.3. 【答案】C 【解析】∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴根据等腰三角形三线合一性质可知AD ⊥BC ，BD ＝CD ，在Rt △ABD 中，AB ＝5，AD ＝3，由勾股定理得BD ＝4，∴BC ＝2BD ＝8.4. 【答案】C[解析] ∵OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于点A ，MB ⊥OB 于点B ，∴∠AOM ＝∠BOM ＝25°，MA ＝MB.∴∠OMA ＝∠OMB ＝65°.∴∠AMB ＝130°.∴∠MAB ＝12×(180°－130°)＝25°.故选C.5. 【答案】D[解析] 选项A 由等角对等边可得△ABC 是等腰三角形；选项B 由所给条件可得△ADB ≌△ADC ，由全等三角形的性质可得AB ＝AC ；选项C 由垂直平分线的性质可得AB ＝AC ；选项D 不可以得到AB ＝AC. 6. 【答案】B7. 【答案】A[解析] ∵AB ∥ED ，∴∠E ＝180°－∠EAB ＝180°－120°＝60°. 又∵AD ＝AE ，∴△ADE 是等边三角形．∴∠EAD ＝60°.∴∠BAD ＝∠EAB －∠EAD ＝120°－60°＝60°.∵AB ＝AC ＝AD ，∴∠B ＝∠ACB ，∠ACD ＝∠ADC.在四边形ABCD 中，∠BCD ＝∠B ＋∠ADC ＝12(360°－∠BAD)＝12×(360°－60°)＝150°. 故选A.8. 【答案】D[解析] ∵∠BAC ＝72°，∠C ＝36°，∴∠ABC ＝72°.∴∠BAC ＝∠ABC. ∴CA ＝CB.∴△ABC 是等腰三角形．∵∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴∠CAD＝∠C.∴CD＝AD，∴△ACD是等腰三角形．∵∠ADB＝∠CAD＋∠C＝72°，∴∠ADB＝∠B.∴AD＝AB.∴△ADB是等腰三角形．9. 【答案】C10. 【答案】D[解析] ∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC.∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC.∵∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°.∵∠CDE＋∠ODC＝180°－∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°－∠ODC＝80°.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】120[解析] 由于△ABC是等边三角形，所以∠A＝60°.所以∠ADE＋∠AED＝120°.因为将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，所以∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF.所以∠ADF＋∠AEF＝2(∠ADE＋∠AED)＝240°.所以∠BDF＋∠CEF＝360°－(∠ADF＋∠AEF)＝120°.12. 【答案】46[解析] ∵BC＝BD，∠CBD＝46°，∴∠C＝∠BDC＝12(180°－46°)＝67°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67°.∴∠A＝46°.13. 【答案】514. 【答案】30[解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC. ∵∠OBM＝∠OBC，∴∠MOB＝∠OBM.∴MO＝MB.同理NO＝NC.∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.15. 【答案】16[解析] 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则△ADC是含30°角的直角三角形，那么DC＝12AC＝4，∴S△ABC＝12AB·DC＝12×8×4＝16.16. 【答案】6[解析] 已知三角形的一外角为120°，则相邻内角度数为60°，那么含有60°角的等腰三角形是等边三角形．已知等边三角形的一边长为2，则其周长为6.三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】证明：连接AD.∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.18. 【答案】解：(1)证明：如图，过点D作DM∥AB，交CF于点M，则∠MDF＝∠E.∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠C＝60°.∵DM∥AB，∴∠CDM＝∠CAB＝60°，∠CMD＝∠CBA＝60°.∴△CDM是等边三角形．∴CM＝CD＝DM.在△DMF 和△EBF 中，⎩⎨⎧∠MDF ＝∠E ，DF ＝EF ，∠DFM ＝∠EFB ，∴△DMF ≌△EBF(ASA)．∴DM ＝BE. ∴CD ＝BE.(2)∵ED ⊥AC ，∠CAB ＝∠CBA ＝60°， ∴∠E ＝∠FDM ＝30°. ∴∠BFE ＝∠DFM ＝30°. ∴BE ＝BF ，DM ＝MF.∵△DMF ≌△EBF ，∴MF ＝BF. ∴CM ＝MF ＝BF.又∵BC ＝AB ＝12，∴BF ＝13BC ＝4.19. 【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠BEG ＝∠AGC′＝48°. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠CEF ＝12(180°－48°)＝66°. (2)证明：∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠GFE ＝∠CEF. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠GFE ＝∠C′EF.∴GE ＝GF ，即△EFG 是等腰三角形．20. 【答案】证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°. ∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°，∠DEC ＝∠A ＝60°. ∵EF ⊥DE ，∴∠DEF ＝90°. ∴∠F ＝90°－∠EDC ＝30°.∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC. ∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝2DC.。

四年级下册数学奥数试题-培优拓展训练--第3讲：三角形(学生版)

四年级下册数学奥数试题-培优拓展训练--第3讲：三角形(学生版)

第三讲三角形(1).三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形(2).三角形有三个顶点，三条边和三个角。

从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。

为了表达方便，用字母A,B,C分别表示三角形的三个顶点，这个三角形可以表示成三角形ABC。

(3).三角形具有稳定的特性，这一特性在生活中有着广泛的应用(4).三角形边的关系：三角形任意两边的和大于第三边，如果用a,b,c表示三角形三条边的长度，则有：a+b＞c;a+c＞b;b+c＞a。

(5).认识几种三角形锐角三角形：三个角都是锐角的三角形直角三角形：有一个角是直角的三角形钝角三角形：有一个角是钝角的三角形(6).三角形的分类：（1）按角分有：锐角三角形，直角三角形和钝角三角形。

（2）按边分有：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中还包括三条边都相等的等边三角形。

(7).等腰三角形各部分的名称;在等腰三角形里，相等的两条边叫做腰；另一条边叫做底；两腰的夹角叫做顶角；底边上的两个角叫做底角。

等腰三角形的两个底角相等。

(8).三角形的内角和：任何三角形三个内角的和都是180度。

一个三角形，已知两个角的度数，可以根据“三角形的内角和是180度”求出第三个角的度数。

(9).用三角形拼四边形两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形；两个完全相同的直角三角形可以拼成一个长方形；两个完全相同的等腰直角三角形可以拼成一个正方形；三个完全相同的三角形可以拼成一个梯形。

一：三角形内角和定理的应用。

二：三角形三边关系的应用，及画钝角三角形高。

1．两个椭圆圈重合的部分应是什么三角形?2．在能组成的三角形的三个角后面画“√”。

1． 900 500 400 ( )2． 500 500 500 ( )3． 1200 300 300 ( )4． 1000 320 190 ( )5． 600 600 600 ( )3．在能组成三角形的三条线段后面画“√”。

北师大版数学八年级上册 三角形解答题(培优篇)(Word版 含解析)

北师大版数学八年级上册 三角形解答题(培优篇)(Word版 含解析)

北师大版数学八年级上册三角形解答题（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°< ∠OAC < 90°）．（1）∠ABO的度数为°，△AOB（填“是”或“不是”灵动三角形）；（2）若∠BAC＝60°，求证：△AOC为“灵动三角形”；（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）∠OAC=80°或52.5°或30°.【解析】【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；（3）分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．【详解】（1）答案为：30°；是；（2）∵AB⊥OM∴∠B AO＝90°∵∠BAC＝60°∴∠OAC＝∠B AO-∠BAC=30°∵∠MON＝60°∴∠ACO＝180°-∠OAC-∠MON＝90°∴∠ACO＝3∠OAC，∴△AOC为“灵动三角形”；（3）设∠OAC= x°则∠BAC=90-x, ∠ACB=60+x ,∠ABC＝30°∵△ABC为“智慧三角形”，Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，°，∴30＝3（90-x），∴x=80Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时，∴30=3（60+x）∴x= -50 （舍去）∴此种情况不存在，Ⅲ、当∠BCA ＝3∠BAC 时，∴60+x ＝3（90-x ）， ∴x ＝52.5°，Ⅳ、当∠BCA ＝3∠ABC 时，∴60+x ＝90°，∴x ＝30°，Ⅴ、当∠BAC ＝3∠ABC 时，∴90-x ＝90°，∴x ＝0°（舍去）Ⅵ、当∠BAC ＝3∠ACB 时，∴90-x ＝3（60+x ），∴x= -22.5（舍去），∴此种情况不存在，∴综上所述：∠OAC=80°或52.5°或30°。