高中数学试卷答题卡

高一数学期中试卷带答案考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.锐角三边长分别为，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．2.在区间【-，】内随机取两个数分别记作a ，b 。

则使得函数=+－+有零点的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．3.设集合U={1，2，3，4，5}，集合M={3，5}，N={1，4，5}，则M∩=" " （ ） A ．{5} B ．{3} C ．{2，3，5} D ．{1，3，4，5} 4.在△ABC 中，="2," b=6,C=60°,则三角形的面积S=（ ） A ．6B ．C ．D ．65.如图，若图中直线1, 2, 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2 6.函数在区间上的最小值是( )A ．B ．0 C ． 1 D ．27.已知某单位有职工120人，男职工有90人，现采用分层抽样(按男、女分层)抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为( ) A ．30 B ．36 C ．40 D ．没法确定8.数据,的标准差是（）A． B． C． D．9.在四边形中,,,则该四边形的面积为（）A． B． C．5 D．1010.马先生于两年前购买了一部手机，现在这款手机的价格已降为1000元，设这种手机每年降价20%，那么两年前这部手机的价格为() A．1535.5元B．1440元C．1620元D．1562.5元11.在R上定义运算，若不等式成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．12.下列对应是从到的映射，且能构成函数的是A．，，；B．，，；C．，，；D．，，作矩形的外接圆．13.方程的解所在区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）14.在中，角所对应的边分别为，则是的（）.A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件15.在等差数列{an}中，已知a1+a2=4，a2+a3=8，则a7等于（）A．7 B．10 C．13 D．1916.幂函数的图象过点(2, ), 则它的单调递增区间是（）A．(－∞, 0)B．[0, ＋∞）C．(0, ＋∞)D．(－∞, ＋∞)17.（2014•南昌模拟）若正数x，y满足x2+3xy﹣1=0，则x+y的最小值是（）A． B． C． D．18.将函数的图像向左平移个单位长度后，所得到的函数图像关于轴对称，则实数的最小值是（）A． B． C． D．19.（2011春•兴国县校级期中）设f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，且a+b≤0，则下列各式成立的是（）A．f（a）+f（b）≤0B．f（a）+f（b）≥0C．f（a）+f（b）≤f（﹣a）+f（﹣b）D．f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）20.执行如图所示的程序框图，若输入的值为3，则输出的值是（）A．1 B．2 C．4 D．7二、填空题21.已知定义在实数集上的偶函数在区间上是单调递增，若，则的取值范围是22.在锐角三角形ABC 中，的值23.在数列1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13，，34,…中，=_______24.已知数列的前项和，把数列的各项排成三角形形状如下：记第行第列上排的数为，则_____________．25.已知函数，那么=_____________。

2024年山西高考数学试题及答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．已知1i z =--，则z =（ ）A ．0B ．1C D ．22．已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ）A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题3．已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （ ）A ．12B C D ．14．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）频数612182410据表中数据，结论中正确的是（ ）A ．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB ．100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C ．100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D ．100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间5．已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）6．设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （ ）A ．1-B ．12C ．1D ．27．已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．38．设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．1二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列正确的有（ ）A ．()f x 与()g x 有相同零点B ．()f x 与()g x 有相同最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴10．抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个11．设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S = .13．已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=，则sin()αβ+= .14．在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．16．已知函数3()e x f x ax a =--．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．17．如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =90ADC ︒∠=，30BAD ︒∠=，点E ，F 满足25AE AD = ，12AF AB =，将AEF △沿EF 对折至PEF !，使得PC =(1)证明：EF PD ⊥；(2)求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值．18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．(1)若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19．已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ；(2)证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；(3)设n S 为12n n n P P P ++ 的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.1．C【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【详解】若1i z =--=故选：C.2．B【分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题.故选：B.3．B【分析】由()2b a b -⊥ 得22b a b =⋅，结合1,22a a b =+= ，得22144164a b b b +⋅+=+= ，由此即可得解.【详解】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，故选：B.4．C【分析】计算出前三段频数即可判断A ；计算出低于1100kg 的频数，再计算比例即可判断B ；根据极差计算方法即可判断C ；根据平均值计算公式即可判断D.【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, 612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于 1050kg , 故 A 错误；对于B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+，所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=，故B 错误；对于C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300-=，最小为1150950200-=，故C 正确；对于D ，由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=，所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 错误.故选；C.5．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 6．D【分析】解法一：令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，分析可知曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得2a =，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1h x f x g x x =-∈-，可知()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即可得2a =，并代入检验即可.【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，原题意等价于当(1,1)x ∈-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-，则220,1cos 0x x ≥-≥，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +-≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=，则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-，又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时，等号成立，可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意；故选：D.7．B【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高h =的结构特征求得AM =111ABC A B C -补成正三棱锥-P ABC ，1A A 与平面ABC 所成角即为PA 与平面ABC 所成角，根据比例关系可得18P ABC V -=，进而可求正三棱锥-P ABC 的高，即可得结果.【详解】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D ，则11AD A D =可知1111166222ABC A B C S S =⨯⨯==⨯= 设正三棱台111ABC A B C -的为h ，则(11115233ABC A B C V h -==，解得h =如图，分别过11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，则1AADN AD AM MN x=--=，可得1DD==结合等腰梯形11BCC B可得22211622BB DD-⎛⎫=+⎪⎝⎭,即()221616433x x+=-++，解得x=所以1A A与平面ABC所成角的正切值为11tan1A MA ADAMÐ==；解法二：将正三棱台111ABC A B C-补成正三棱锥-P ABC，则1A A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，因为11113PA A BPA AB==，则111127P A B CP ABCVV--=，可知1112652273ABC A B C P ABCV V--==，则18P ABCV-=，设正三棱锥-P ABC的高为d，则11661832P ABCV d-=⨯⨯⨯=，解得d=，取底面ABC的中心为O，则PO⊥底面ABC，且AO=所以PA与平面ABC所成角的正切值tan1POPAOAO∠==.故选：B.8．C【分析】解法一：由题意可知：()f x的定义域为(),b-+∞，分类讨论a-与,1b b--的大小关系，结合符号分析判断，即可得1b a =+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln()x b +的符号，进而可得x a +的符号，即可得1b a =+，代入可得最值.【详解】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；若-≤-a b ，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >；当[)1,x b ∈-+∞时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥；可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+>，此时()0f x <，不合题意；综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b ∈--时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a -+≤；()1,x b ∈-+∞时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a -+≥；故10b a -+=， 则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12.故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.9．BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A 选项，令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =∈Z ，即为()f x 零点，令π()sin(2)04g x x =-=，解得ππ,28k x k =+∈Z ，即为()g x 零点，显然(),()f x g x 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然max max ()()1f x g x ==，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 选项正确；D 选项，根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=+∈Z ，()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+⇔=+∈Z ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 选项错误.故选：BC 10．ABD【分析】A 选项，抛物线准线为=1x -，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =-是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长PQ ===，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)AB k -==--，不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)AB k --==--，不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k -=，于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=，2164301360∆=-⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，214t =+，整理得216300t t -+=，2164301360∆=-⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD11．AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x =-为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增，(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值，由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <，根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<，则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确；B 选项，()6()f x x x a '=-，a<0时，(,0),()0x a f x '∈<，()f x 单调递减，,()0x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-，即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a-=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax '=-，()126f x x a ''=-，由()02af x x ''=⇔=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =⇔=，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x ''=的解，即,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心12．95【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出1,a d ，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列n a 为等差数列，则由题意得()1111237345a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则()10110910104453952S a d ⨯=+=⨯-+⨯=.故答案为：95.13．【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得()tan αβ+=-，再缩小αβ+的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++===--因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m αβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,Z k m ∈，则()()()22ππ,22π2πm k m k αβ+∈++++，,Z k m ∈，又因为()tan 0αβ+=-<，则()()3π22π,22π2π2m k m k αβ⎛⎫+∈++++ ⎪⎝⎭，,Z k m ∈，则()sin 0αβ+<，则()()sin cos αβαβ+=-+ ()()22sin cos 1αβαβ+++=，解得()sin αβ+=法二： 因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos 0,cos 0αβ><,cos α==，cos β=则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )αβαβαβαβαβ+=+=+4cos cos αβ=====故答案为：14． 24 112【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有432124⨯⨯⨯=种选法；每种选法可标记为(,,,)a b c d ，a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为152********+++=.故答案为：24；112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.15．(1)π6A =(2)2+【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 12A A =，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ∈⇒+∈，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos A =又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos f A A A '==，即tan A =又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅== ，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan A A A ⋅=⇔又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22sin 21t A A t ==+整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 1t A t ==-，又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ==，即2ππ7πsin sin sin6412b c==，解得b c ==故ABC 的周长为216．(1)()e 110x y ---=(2)()1,+∞【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a ≤和0a >两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e '=-xf x a 有零点，可得0a >，进而利用导数求()f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可.【详解】（1）当1a =时，则()e 1x f x x =--，()e 1x f x '=-，可得(1)e 2f =-，(1)e 1f '=-，即切点坐标为()1,e 2-，切线斜率e 1k =-，所以切线方程为()()()e 2e 11y x --=--，即()e 110x y ---=.（2）解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '≥对任意x ∈R 恒成立，可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减，在()ln ,a +∞内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，则()120g a a a'=+>，可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为()1,+∞；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ，若()f x 有极小值，则()e '=-x f x a 有零点，令()e 0x f x a '=-=，可得e x a =，可知e x y =与y a =有交点，则0a >，若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减，在()ln ,a +∞内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，符合题意，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，因为则2,ln 1y a y a ==-在()0,∞+内单调递增，可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为()1,+∞.17．(1)证明见解析【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得2EF =，利用勾股定理的逆定理可证得EF AD ⊥，则,EF PE EF DE ⊥⊥，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明PE ED ⊥，建立如图空间直角坐标系E xyz -，利用空间向量法求解面面角即可.【详解】（1）由218,,52AB AD AE AD AF AB ====，得4AE AF ==，又30BAD ︒∠=，在AEF △中，由余弦定理得2EF ,所以222AE EF AF +=，则AE EF ⊥，即EF AD ⊥，所以,EF PE EF DE ⊥⊥，又,PE DE E PE DE =⊂ 、平面PDE ，所以EF ⊥平面PDE ，又PD ⊂平面PDE ，故EF ⊥PD ；（2）连接CE，由90,3ADC ED CD ︒∠===，则22236CE ED CD =+=，在PEC中，6PC PE EC ===，得222EC PE PC +=，所以PE EC ⊥，由（1）知PE EF ⊥，又,EC EF E EC EF =⊂ 、平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，又ED ⊂平面ABCD ，所以PE ED ⊥，则,,PE EF ED 两两垂直，建立如图空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0),(0,0,(2,0,0),(0,E P D C F A -，由F 是AB的中点，得(4,B ，所以(4,(2,0,PC PD PB PF =-=-=-=-，设平面PCD 和平面PBF 的一个法向量分别为111222(,,),(,,)n x y z m x y z == ，则11111300n PC x n PD ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，222224020m PB x m PF x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令122,y x ==，得11220,3,1,1x z y z ===-=，所以(0,2,3),1,1)n m ==-，所以cos ,m nm n m n ⋅===设平面PCD 和平面PBF 所成角为θ，则sin θ==，即平面PCD 和平面PBF.18．(1)0.686(2)（i ）由甲参加第一阶段比赛；（i ）由甲参加第一阶段比赛；【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i ）首先各自计算出331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，331(1)Pq p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到X 和Y 的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，∴比赛成绩不少于5分的概率()()3310.610.50.686P =--=.（2）（i ）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，0p q << ，3333()()P P q q pq p p pq ∴-=---+-甲乙()2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq ⎡⎤=-+++-⋅-+-+--⎣⎦()2222()333p q p q p q pq =---3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q =---=---->，P P ∴>甲乙，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X 的所有可能取值为0，5，10，15，333(0)(1)1(1)(1)P X p p q ⎡⎤==-+--⋅-⎣⎦，32123(5)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦，3223(10)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦，33(15)1(1)P X p q ⎡⎤==--⋅⎣⎦，()332()151(1)1533E X p q p p p q⎡⎤∴=--=-+⋅⎣⎦记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩Y 的所有可能取值为0，5，10，15，同理()32()1533E Y q q q p=-+⋅()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q ∴-=+---15()(3)p q pq p q =-+-，因为0p q <<，则0p q -<，31130p q +-<+-<，则()(3)0p q pq p q -+->，∴应该由甲参加第一阶段比赛.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论.19．(1)23x =，20y =(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出2P 的坐标即可；（2）根据等比数列的定义即可验证结论；（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.【详解】（1）由已知有22549m =-=，故C 的方程为229x y -=.当12k =时，过()15,4P 且斜率为12的直线为32x y +=，与229x y -=联立得到22392x x +⎛⎫-= ⎪⎝⎭.解得3x =-或5x =，所以该直线与C 的不同于1P 的交点为()13,0Q -，该点显然在C 的左支上.故()23,0P ，从而23x =，20y =.（2）由于过(),n n n P x y 且斜率为k 的直线为()n n y k x x y =-+，与229x y -=联立，得到方程()()229n n x k x x y --+=.展开即得()()()2221290n n n n k x k y kx x y kx ------=，由于(),n n n P x y 已经是直线()n n y k x x y =-+和229x y -=的公共点，故方程必有一根n x x =.从而根据韦达定理，另一根()2222211n n n n nn k y kx ky x k x x x k k ---=-=--，相应的()2221n n nn n y k y kx y k x x y k +-=-+=-.所以该直线与C 的不同于n P 的交点为222222,11n n n n n nn ky x k x y k y kx Q k k ⎛⎫--+- ⎪--⎝⎭，而注意到n Q 的横坐标亦可通过韦达定理表示为()()2291n n ny kx k x----，故n Q 一定在C 的左支上.所以2212222,11n n n n n nn x k x ky y k y kx P k k +⎛⎫+-+- ⎪--⎝⎭.这就得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n nn y k y kx y k ++-=-.所以2211222211n n n n n nn n x k x ky y k y kx x y k k +++-+--=---()()222222*********n n n n n n n nn n x k x kx y k y ky k k kx y x y k k k k+++++++=-=-=-----.再由22119x y -=，就知道110x y -≠，所以数列{}n n x y -是公比为11k k +-的等比数列.（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点,,U V W ，若(),UV a b = ，(),UW c d =，则12UVW S ad bc =- .（若,,U V W 在同一条直线上，约定0UVW S = ）证明：1sin ,2UVW S UV UW UV UW =⋅=12UV UW =⋅===12ad bc ===-.证毕，回到原题.由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n nn y k y kx y k ++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n n n n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+.再由22119x y -=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk-+的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+-----()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+-()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而又有()()()111,n n n n n n P P x x y y +++=---- ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=--，故利用前面已经证明的结论即得()()()()1212112112n n n n P P P n n n n n n n n S S x x y y y y x x ++++++++==---+-- ()()()()12112112n n n n n n n n x x y y y y x x ++++++=-----()()()1212112212n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x ++++++++=-+---2219119119112211211211k k k k k k k k k k k k ⎛⎫-+-+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这就表明n S 的取值是与n 无关的定值，所以1n n S S +=.方法二：由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n n n y k y kx y k ++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n nn n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+.再由22119x y -=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk-+的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+-----()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+-()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这就得到232311911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++-+⎛⎫-=-=- ⎪+-⎝⎭，以及22131322911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.两式相减，即得()()()()232313131122n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x x y y x ++++++++++++---=---.移项得到232131232131n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x y x x y y x x y ++++++++++++--+=--+.故()()()()321213n n n n n n n n y y x x y y x x ++++++--=--.而()333,n n n n n n P P x x y y +++=-- ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=--.所以3n n P P + 和12n n P P ++ 平行，这就得到12123n n n n n n P P P P P P S S +++++= ，即1n n S S +=.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.。

2024年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学本试卷共5页25题.全卷满分100分.考试用时90分钟.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名､准考证号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2､选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑､涂匀､涂实，未涂､错涂､多涂或填涂不规范均不得分.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.非选择题的作答：用黑色签字笔将答案写在答题卡上对应的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效.在试卷､草稿纸上答题无效.4.考试结束后，请将本试卷､答题卡和草稿纸一并上交.一､选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知{}{}2,4,6,8,6,8U A ==，则U A =ð（）A ．{}2B ．{}2,4C ．{}2,4,6D ．{}2,4,6,82．πcos 2θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．sin θB ．sin θ-C ．cos θD ．cos θ-3．欧拉恒等式iπe 10+=（其中i 为虚数单位，e 为欧拉常数）被誉为数学中最奇妙的公式之一，它是欧拉公式i e cos isin x x x =+的特例，即当πx =时，iπe cosπisinπ1=+=-，得iπe 10+=.根据欧拉公式，πi 4e 表示的复数是（）A 22+B ．22-+C ．22D 4．已知向量()()1,0,0,1a b == ，则23a b +=rr （）A ．()2,3-B ．()2,3--C ．()2,3-D ．(2,3)5．命题“2x ,10R x x ∀∈-+>”的否定是（）A ．2x ,10R x x ∀∈-+≤B ．2x ,10R x x ∀∈-+<C ．2000x ,10R x x ∃∈-+≤D ．2000x ,10R x x ∃∈-+<6．从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在497.5g 501.5g ~之间的概率约为（）A ．0.1B ．0.15C ．0.25D ．0.57．已知tan 3α=，则2sin cos sin 2cos αααα+=-（）A ．1B ．3C ．5D ．78．已知b 克糖水中含有a 克糖()0b a >>，再添加m 克糖（0m >）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（）A ．a m ab b+<B ．b m ba a +<C ．a m ab m b+>+D ．b m ba m a+>+9．如图，1C 是函数(01)x y a a =<<的图象，234,,C C C 是由1C 经轴对称变换得到的函数图象，则234,,C C C 对应的函数解析式分别是（）A ．,log ,log xa a y a y x y x-===-B ．log ,,log xa a y x y a y x-===-C ．log ,log ,xa a y x y x y a-==-=D ．log ,,log xa a y x y a y x-=-==10．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为2%，本利和为y （单位：元），存期数为x ，则y 关于x 的函数解析式为（）A ．2009800y x =+B ．20010000y x =+C ．1100001.02x y -=⨯D ．10000 1.02xy =⨯11．若函数()f x 满足“对定义域内任意实数,a b ，都有()()22f a f b a b f ++⎛⎫=⎪⎝⎭”，则()f x 可以是（）A ．()f x x=B ．()2f x x=C ．()2xf x =D ．()ln f x x=12．向盼归同学通过计步器，记录了自己20天每天走的步数，数据整理如下：2107416554675678570565428358859286668722872699861057511558117361212112386124001303916530则这组数据的第50百分位数为（）A ．8720B ．8722C ．8724D ．872613．如图，平行四边形ABCD 中，P 是CD 边上的一点，则（）A ．DA DP PA+= B ．DA AB BP DP++= C ．AB BC CP PA ++= D ．PA PB BA+= 14．若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）满足关系式2012h v t gt =-，其中2010m /s ,g v ≈为初速度.向盼归同学以011m /s v =竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方2m 处及以上的位置最多停留时间为（）A ．1.8sB ．2.8sC ．3.8sD ．4.8s15．习近平总书记在致首届全民阅读大会的贺信中指出：“阅读是人类获取知识､启智增慧､培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书､读好书､善读书的浓厚氛围.”为落实习总书记关于阅读的重要指示，复兴中学开展了“读名著､品经典”活动.现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间t （单位：h ），分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图，据此估计该校学生阅读时间不少于40h 的概率为（）A ．0.150B ．0.400C ．0.450D ．0.850二､选择题（本题共3小题，每小题3分，共9分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）16．已知向量()()1,1,1,1a b ==-，则（）A ．a b= B ．a b= C ．a b ⊥D ．//a b17．已知e 2.71828= 为欧拉常数，π 3.14159= 为圆周率，则（）A ．3πe e <B ．3πe 3>C ．e e3π<D ．e 33π>18．如图，,A B 为正方体的两个顶点，,,M N Q 为所在棱的中点，则直线AB 与平面MNQ 平行的是（）A ．B ．C ．D ．三､填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）19．已知1a b == ，且0a b ⋅=，则a b +=.20．已知事件A 与事件B 相互独立，且()()0.7,0.8P A P B ==，则（1）()P A B ⋂=；（2）()P A B =.21．已知3log 21x=，则24x x +=.22．已知函数()sin cos f x x x m =+的最大值为32，则（1）常数m 的值为；（2）()f x 取最大值时，x 的一个取值为.四､解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）23．《九章算术》是我国古代数学名著中的瑰宝，该书中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.在如图所示的阳马V ABCD -中，VD ⊥底面ABCD ，点E 是VC 的中点，连结,,DE BD BE .(1)证明：,,VD AD CD 两两垂直；(2)设阳马V ABCD -的体积为1V ，四面体E BCD -的体积为2V ，求12V V 的值.24．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S .已知π,3B S ==个条件中选取一个作为已知条件，求ABC V 的周长.①a c +=ab =注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.25．已知函数()ln(,,R 1mf x a b a b m x =++∈+，且0)m ≠.(1)当0a =时，判断函数()f x 的单调性，并加以证明；(2)对给定的非零常数m ，是否存在实数,a b ，使得()f x 为奇函数？若存在，求出,a b 的值；若不存在，说明理由.1．B【分析】利用补集的定义即可求解.【详解】由{}2,4,6,8U =，{}6,8A =，则{}2,4U A =ð，故选：B.2．A【分析】根据诱导公式求解.【详解】πcos sin 2θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：A 3．A【分析】复数πi 4ππe cos isin 44z ==+，进而得出所求复数.【详解】由题意，复数πi 4ππe cos isin 44z ==+=.故选：A 4．D【分析】运用向量的坐标运算计算即可.【详解】因为向量()()1,0,0,1a b == ，所以()()()2321,030,12,3a b +=+=.故选：D.5．C【分析】根据否定的定义书写命题即可.【详解】全称命题的否定“2000,10x R x x ∃∈-+≤”.故选：C.6．C【分析】找出满足条件的数据，计算出数据在497.5g 501.5g ~之间的频率，用频率估计概率，可得结果.【详解】在所给的数据中，在497.5g 501.5g ~之间的数据有498,501,500,501,499共5个，所以数据在497.5g 501.5g ~之间的频率为：50.2520=.用频率估计概率，则所求概率为0.25.故选：C 7．D【分析】利用三角函数的基本关系化简原式即可直接得答案.【详解】将2sin cos sin 2cos αααα+-分子分母同除以cos α可得：2sin cos 2tan 12317sin 2cos tan 232αααααα++⨯+===---.故选：D.8．C【分析】根据题意建立不等关系即可.【详解】由题意可知糖水原浓度为a b，加糖之后的浓度为a m b m ++，则有a m ab m b+>+.故选：C 9．B【分析】结合指数函数和对数函数的图象，根据函数图象的对称变化逐一求解可得.【详解】由图可知，2C 与1C 关于直线y x =对称，所以2C 的解析是为log a y x =；3C 与1C 关于y 轴对称，所以3C 的解析是为x y a -=；4C 与3C 关于y x =轴对称，所以4C 的解析是为log a y x =-.故选：B 10．D【分析】利用复利计算方式可直接计算得出结果.【详解】根据复利计算利息的方式可知存期数为1时，本利和为()1000012%10000 1.02y =⨯+=⨯，存期数为2时可得本利和为()221000012%100001.02y =⨯+=⨯，⋅⋅⋅⋅⋅⋅所以存期数为x 时，本利和为10000 1.02x y =⨯.故选：D 11．A【分析】根据解析式代入检验判断A ，取特殊值检验判断BC ，根据解析式及基本不等式可判断D.【详解】对A ，22a b a bf ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()22f a f b a b ++=，所以满足条件，故A 正确；对B ，取0,1a b ==，11(0)(1)1,2422f f f +⎛⎫== ⎪⎝⎭，不满足条件，故B 错误；对C ，取0,1a b ==，1(0)(1)1232222f f f ++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，不满足条件，故C 错误；对D ，(),0,a b ∞∈+，ln22a b a b f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()ln ln ln 222f a f b a b ab ++===由2a b +≥知当a b ≠时，2a b+>，故()()22f a f b a b f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故D 错误.故选：A 12．C【分析】将成绩按照从小到大的顺序排列后利用百分位数的定义计算即可得出结果.【详解】根据题意将8位同学的成绩按照从小到大的顺序排列如下：2107,4165,5467,5678,5705,6542,8358,8592,8666,8722,8726,9986,10575,11558,11736,12121,12386,12400,13039,16；又2050%10⨯=，所以数据的第50百分位数为第10个数和第11个数的平均数，即为8722872687242+=.故选：C.13．B【分析】根据向量线性运算化简求解即可.【详解】DA DP PA -= ，故A 错误；DA AB BP DP ++=，故B 正确；AB BC CP AP ++= ，故C 错误；PA PB BA -=，故D 错误.故选：B 14．A【分析】令25112h t t =->，求解t ，求出排球在抛出点上方2m 处及以上的位置最多停留时间.【详解】由题意得：2115h t t =-，令25112h t t =->，即211205t t -+<，解得0.22t <<，所以排球在抛出点上方2m 处及以上的位置最多停留时间为20.2 1.8s -=.故选：A.15．D【分析】根据频率分布直方图中矩形面积的含义即可求得答案.【详解】由频率分布直方图可估计该校学生阅读时间不少于40h 的概率为：()004000300015100850....++⨯=，故选：D 16．BC【分析】根据向量的坐标可判断A ；计算向量的模判断B ；根据向量垂直以及平行的坐标表示可判断CD.【详解】由于()()1,1,1,1a b ==- ，则a b ≠，A 错误；由于2,a b ，B 正确，因为()11110⨯+⨯-=，故a b ⊥，C 正确；因为()11110⨯--⨯≠，故,a b不平行，D 错误；故选：BC 17．AC【分析】利用指数函数的单调性和幂函数的单调性逐项判断即可.【详解】因为函数e x y =是增函数，且3π<，所以3πe e <，故A 正确；因为函数3y x =是增函数，且e 3<，所以33e 3<，又函数3x y =是增函数，且3π<，所以3π33<，所以3πe 3<，故B 错误；因为函数e y x =在0,+∞是增函数，且3π<，所以e e 3π<，故C 正确；因为函数πx y =是增函数，且e 3<，所以e 3ππ<，所以e e 33ππ<<，D 错误.故选：AC 18．BCD【分析】根据线面平行的判定定理逐项进行判断即可.【详解】对A ：如图：连接BC ，交MN 于点E ，连接EQ ，则EQ ，AB ⊂平面ABC ，且直线EQ 与直线AB 不平行，所以直线AB 与平面MNQ 相交，故A 错误；对B ：如图：因为////AB CD MQ ，MQ Ì平面MNQ ，AB ⊄平面MNQ ，所以//AB 平面MNQ ，故B 正确；对C ：如图：取AC 中点F ，易证,,,M N Q F 四点共面，且//AB QF ，QF ⊂平面MNQ ，AB ⊄平面MNQ ，所以//AB 平面MNQ ，故C 正确；对D ：如图：连接CD ，则////MN CD AB ，MN ⊂平面MNQ ，AB ⊄平面MNQ ，所以//AB 平面MNQ ，故D 正确.故选：BCD19【分析】根据a b + .【详解】a b +=20．0.560.94【分析】利用独立事件乘法公式计算积事件概率，利用概率的性质计算和事件的概率即可.【详解】()()()0.56P A B P A P B ⋂=⨯=；()()110.30.20.94P A B P A B ⋃=-⋂=-⨯=.故答案为：0.56；0.9421．12【分析】根据指数与对数的运算法则计算．【详解】由3log 21x =得23x =，则24(2)9x x ==，所以243912x x +=+=，故答案为：12.22．1π4（答案不唯一）【分析】根据倍角公式可得()1sin 22f x x m =+，进而结合正弦函数的性质求解即可.【详解】因为()1sin cos sin 22f x x x m x m =+=+，则()max 1322f x m =+=，即1m =.当()f x 取最大值时，sin 21x =，即π22π2x k =+，k ∈Z ，即ππ4x k =+，k ∈Z ，所以x 的一个取值为π4.故答案为：1；π4（答案不唯一）.23．(1)证明见解析(2)4【分析】（1）利用线面垂直的性质可得VD AD ⊥，VD CD ⊥，和“阳马”的定义得AD CD ⊥；（2）取DC 的中点G ，连接EG ，可得EG ⊥底面ABCD ，再利用锥体的体积公式即可求解.【详解】（1）由VD ⊥底面ABCD ，,AD CD ⊂底面ABCD ，则VD AD ⊥，VD CD ⊥，又在阳马V ABCD -中，底面ABCD 为矩形，则AD CD ⊥，因此可得,,VD AD CD 两两垂直.（2）取DC 的中点G ，连接EG ，又点E 是VC 的中点，则//VD EG ，且12EG =，又VD ⊥底面ABCD ，则EG ⊥底面ABCD ，则四面体E BCD -的体积211111113232243V DC BC EG DC BC VD DC BC VD ⎛⎫⎛⎫=⨯⋅⋅=⨯⋅⋅=⨯⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又阳马V ABCD -的体积113V DC BC VD =⋅⋅，则2114V V =，因此可得124V V =.24．3+【分析】若选择①，根据面积公式求ac ，再根据余弦定理求b ，即可求解周长；若选项②，根据面积公式求角C 以及角A ，再结合ab =.【详解】若选择①a c +=1sin 242S ac B ===，得6ac =，()2222222cos 327169b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-=-=，得3b =，所以3a b c ++=+若选择②ab =1sin2S ab C C ===1sin 2C =，因为π3B =，所以π6C =，那么ππ2A B C =--=，sin 2b a B ==，22ab ==a =，3b =，1sin 2c a C a ===所以3a b c ++=+，所以ABC V 的周长为3+25．(1)见解析(2)存在，2m a =-，ln 2m b =-【分析】（1）结合函数的定义域，分区间(),1∞--和()1,∞-+，证明函数的单调性；（2）根据函数的定义域，确定2m a =-，并根据()00f =确定e b a -=，并代入验证函数是奇函数.【详解】（1）当0a =时，()ln1m f x b x =++，设121x x >>-，()()2121211ln ln ln 111x m m f x f x x x x +-=-=+++，因为121x x >>-，所以12110x x +>+>，则211011x x +<<+，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在()1,∞-+上单调递减；设121x x <<-，()()2121211ln ln ln 111x m m f x f x x x x +-=-=+++，因为121x x <<-，所以12110x x +<+<，则211011x x +<<+，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在(),1∞--上单调递增；（2）()()1ln 1a x m f xb x ++=++，因为1x ≠-，若函数是奇函数，则1x ≠，即20a m +=，则2m a =-，所以()()1ln 1a x f xb x -=++，()0ln 0f a b =+=，即e b a -=，所以()1ln e 1b x f x b x -⎛⎫-=⋅+ ⎪+⎝⎭，()11ln e ln e 11b b x x f x b b x x --⎛⎫⎛⎫--+-=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭，()()2ln e 2220b f x f x b b b -+-=+=-+=，所以只要满足2m a =-，e b a -=，即2m a =-，ln 2m b =-时，函数()f x 是奇函数.【点睛】关键点点睛：不管是函数的单调性，和函数的奇偶性，首先考虑函数的定义域，然后考虑奇函数的性质，在原点处有定义时，()00f =.。

2024—2025学年度上学期普通高中高三第四次联合教学质量检测高三数学试卷满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}12A x x =<<，{}B x x a =<，若A B A = ，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥ B ．2a ≥ C ．1a ≤D ．2a ≤2．在ABC 中，点D 是边BC 上一点，若AD xAB y AC =+ ，则22(1)23x y ++的最小值为（ ） A ．56B ．45C ．43D ．1 3．正项递增等比数列{}n a ，前n 项的和为n S ，若2430a a +=，1581a a =，则6S =（ ） A ．121 B ．364 C ．728 D ．10934．英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（ ） A ．881B ．1681C ．2481D ．32815．函数()sin cos f x a x b x =+图象的一条对称轴为直线π6x =，则ab =（ ）AB ．CD ．6．已知点1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x yB a b a b+=>>的左、右焦点，点M 为椭圆B 上一点，点1F 关于12F MF ∠的角平分线的对称点N 也在椭圆B 上，若127cos 9F MF ∠=，则椭圆B 的离心率为（ ）A B C D 7．已知函数()f x 定义域为()0,∞+，1x ∀，()20,x ∈+∞，()()1221120x f x x f x x x −<−，且()36f =，()22224f a a a a +>+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),20,−∞−∪+∞B ．()(),31,−∞−+∞C ．()3,1−D ．()()320,1−− ,8．在△ABC 中，AD 为BAC ∠的角平分线（D 在线段BC 上），1,2CD AD ==，当AB AC +取最小值时，BD =（ ）.A ．12B C 1 D 1+ 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知12,z z 是关于x 的方程()220x x m m −+=∈R 的两根，则（ ）A ．122z z +=B ．12=z zC ．若1m >，则12z z =D ．若1m >，则22122z z +< 10．如图，圆锥SO 的底面直径和母线长均为SAB △，C 为底面半圆弧AB 上一点，且2AC CB=，SM SC λ= ，(01,01)SN SB =<<<<µλµ，则（ ）A ．存在()0,1λ∈，使得BC AM ⊥B ．当23µ=时，存在()0,1λ∈，使得//AM 平面ONCC ．当13λ=，23µ=时，四面体SAMN D ．当AN SC ⊥时，57µ=11．已知圆221:(1)1Q x y −+=和圆222:(1)(2)5Q x y ++−=的交点为,A B ，则（ ） A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y −=B ．线段AB 的中垂线方程为10x y +−=C ．公共弦AB 的长为D ．P 为圆1Q 上一动点，则P 到直线AB 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．随机变量X 服从正态分布2~(8,)X N σ，(10)P x m >=，(68)P x n ≤≤=，则21m n+的最小值为 . 13．在数列{}n a 中，111,34n n a a a +==+，若对于任意的()*,235n n k a n ∈+≥−N 恒成立，则实数k 的最小值为 .14．已知点()5,4P ，点F 为抛物线2:8C y x =的焦点．若以点P ，F 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为 ．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，sin cos c B C ⋅，b =． (1)求角B ；(2)若2a c +=，求边AC 上的角平分线BD 长； (3)若ABC 为锐角三角形，求边AC 上的中线BE 的取值范围．16.（本小题15分）已知函数2()e (1)mx f xx mx =−−． (1)当1m =时，曲线()y f x =在点(,())k f k （1,2,3k =）处的切线记为k l ． ①求1l 的方程；②设k l 的交点构成ABC ，试判断ABC 的形状（锐角、钝角或直角三角形）并加以证明．(2)讨论()f x 的极值．17.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，平面PDC ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥，AB DC ，112ABCD AD ===，M 为棱PC 的中点.(1)证明：//BM 平面PAD ； (2)若PC =，1PD =，（i ）求二面角P DM B −−的余弦值；（ii ）在线段PA 上是否存在点Q ，使得点Q 到平面BDM PQ 的值；若不存在，说明理由.18.（本小题17分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()2,1P ，不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于不同的A ，B 两点，与直线OP 交于点Q ，且2AB QB =，直线l 与x 轴，y 轴分别交于点M ，N .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当APB △的面积取最大值时，求MON △的面积.19.（本小题17分） 函数()()1ln 1a x f x x x −=−+. (1)3a =时，讨论()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有两个极值点1x 、2x ，曲线()y f x =上两点()()11,x f x 、()()22,x f x 连线斜率记为k ，求证：21ak a −>−. (3)盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p ，求证：21e p <.2024—2025学年度上学期普通高中高三第四次联合教学质量检测高三数学试卷解析版满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}12A x x =<<，{}B x x a =<，若A B A = ，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥ B ．2a ≥ C ．1a ≤ D ．2a ≤【答案】B【详解】由A B A = 知A B ⊆，又{}|12Ax x =<<，{|B x x a =<，所以2a ≥， 故选：B.2．在ABC 中，点D 是边BC 上一点，若AD xAB y AC =+ ，则22(1)23x y ++的最小值为（ ） A ．56B ．45C ．43D ．1 【答案】B【详解】在ABC 中，点D 是边BC 上一点，由AD xAB y AC =+，得1x y +=，即1y x =−， 则222222(1)115444[32(2)](588)()23666555x y x x x x x ++=+−=−+=−+≥，当且仅当45x =时取等号， 所以所求的最小值为45.故选：B3．正项递增等比数列{}n a ，前n 项的和为n S ，若2430a a +=，1581a a =，则6S =（ ） A ．121 B ．364 C ．728 D ．1093【答案】B【详解】在正项递增等比数列{}n a 中1581a a =，所以241581a a a a ==， 又2430a a +=，所以24327a a = = 或24273a a = = （舍去），设数列{}n a 的公比为()0q q >，则131327a q a q = = ，所以131q a = = ，所以661336413S −==−.故选：B.4．英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（ ）A ．881B ．1681C ．2481D ．3281【答案】A【详解】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍. 所以向左下落的概率为23，向右下落的概率为13，则下落的过程中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置，故此时概率为：1314218C 3381=. 故选：A5．函数()sin cos f x a x b x =+图象的一条对称轴为直线π6x =，则ab =（ ）AB．CD．【答案】C【详解】由题意可得0a ≠，0b ≠，()()sin cos f x a x b x x ϕ=++，其中tan baϕ=，[)0,2πϕ∈， 由函数()f x 图象的一条对称轴为直线π6x =， 即有()ππ2π62k k ϕ+=+∈Z ，即()π2π3k k ϕ=+∈Z ， 又[)0,2πϕ∈，故π3ϕ=，故1πtan 3a b ==故选：C.6．已知点1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x yB a b a b+=>>的左、右焦点，点M 为椭圆B 上一点，点1F 关于12F MF ∠的角平分线的对称点N 也在椭圆B 上，若127cos 9F MF ∠=，则椭圆B 的离心率为（ ）ABCD【答案】B【详解】点1F 关于12F MF ∠的角平分线的对称点N 必在2MF 上，因此2,,M F N 共线，1MF MN =，122MF MF a +=，设1MF m =22MF a m =−，MN m =，2222NF MN MF m a =−=−， 又122NF NF a +=，∴142F N a m =−， 1MF N 中，由余弦定理得：222111122cos F N MF MN MF MN F MF =+−∠，∴22227(42)29a m m m m −=+−×，化简得32m a =，∴132MF a =，212MF a =，12MF F △中，122F F c =，由余弦定理得22231317(2)()()222229c a a a a =+−×××，解得c e a==故选：B ．7．已知函数()f x 定义域为()0,∞+，1x ∀，()20,x ∈+∞，()()1221120x f x x f x x x −<−，且()36f =，()22224f a a a a +>+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),20,−∞−∪+∞B ．()(),31,−∞−+∞C ．()3,1−D ．()()320,1−− ,【答案】B【详解】由条件得1x ∀，()20,x ∈+∞，()()2121210f x f x x x x x −>−，()f x x∴在()0,∞+上递增. 由()22224f a a a a +>+得()()2223223f a a f a a+>=+，则2220323a a a a a +>⇒<− +> 或1a >． 故选：B ．8．在△ABC 中，AD 为BAC ∠的角平分线（D 在线段BC 上），1,2CD AD ==，当AB AC +取最小值时，BD =（ ）.A ．12BC 1D 1+ 【答案】C【详解】设,BD x ADC α=∠=，DAC ∠θ=，则()0,πα∈，则在ADC △中由余弦定理可得2222cos AC AD CD AD CD α=+−⋅⋅， 即2414cos AC α=+−，所以AC =，由角平分线定理可得AB BDAC CD=，所以AB =又ABD ADC ABC S S S +=， 故111sin sin sin 2222AB AD AD AC AB AC θθθ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，化简得1cos x θ+=①，而在△ADC 中由余弦定理cos θ=代入①得11cos x α=−.又因为()0,πα∈，所以()cos 1,1α∈−，所以1,2x ∞∈+，故1,2AB AC x ∞==∈+ . 所以()f x AB AC =+=所以()f x ′令()1012f x x =⇒=−>′或10x <（舍去），所以当112x∈−时，ff ′(xx )<0，则()f x单调递减，当)1,x ∞∈−+时，ff ′(xx )>0，则()fx 单调递增，所以1x=时，()f x 取得最小值，即AB AC +取得最小值.所以ABAC +取得最小值时，1BD =.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知12,z z 是关于x 的方程()220x x m m −+=∈R 的两根，则（ ）A ．122z z +=B ．12=z zC ．若1m >，则12z z =D ．若1m >，则22122z z +<【答案】ACD【详解】关于x 的二次方程220,44x x m m −+=∆=−．当1m ≤时，0∆≥，所以1212,,2z z z z ∈+=R ，12z z m =，但12=z z 不一定成立． 当1m >时，0∆<，12,z z 是方程的两个复数根，12122,z z z z m +==仍成立，此时12=z z ，故A 正确，B 错误．若1m >，方程220x x m −+=的两根为1x =，所以12,z z 互为共轭复数，C 正确．若1m >，由于12122,z z z z m +==，所以()2221212122422z z z z z z m +=+−=−<，D 正确．故选：ACD10．如图，圆锥SO 的底面直径和母线长均为SAB △，C 为底面半圆弧AB 上一点，且2AC CB=，SM SC λ= ，(01,01)SN SB =<<<<µλµ，则（ ）A ．存在()0,1λ∈，使得BC AM ⊥B ．当23µ=时，存在()0,1λ∈，使得//AM 平面ONCC ．当13λ=，23µ=时，四面体SAMN D ．当AN SC ⊥时，57µ= 【答案】BCD【详解】对于A ，BC AC ⊥，则BC 与AM 不可能垂直，若BC AM ⊥，则⊥BC 面SAC ，则BC SA ⊥，则⊥BC 面SAB 矛盾，A 错．对于B ，取SN 中点P ，则//AP ON ，过P 作//PM CN 交SC 于点M ，此时M 为SC 中点，则面//APM 平面ONC ，∴//AM 平面ONC ，B 对．对于D ，如图建系，()0,A −，()0,B ，()0,0,6S ，()0,,66N µ− ()0,6AN µ=+−，()C ，6)SC =− ，，0AN SC ⋅=∴6636360+−+=µµ，∴57µ=，D 对．对于C,23µ=时，23ASN SAB S S =△△，13λ=时，M 到平面SAB 的距离是C 到平面SAB 距离的13.11213333M SAN SAN SAB V S h S h −=′=⋅⋅△△，其中h ′表示M 到平面SAB 的距离，h 是C 到平面SAB 距离，22122113627939932M SAN ABS SAB S ABC V S h S h V −−==⋅==××××=△△C 对， 故选：BCD ．11．已知圆221:(1)1Q x y −+=和圆222:(1)(2)5Q x y ++−=的交点为,A B ，则（ ） A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y −=B ．线段AB 的中垂线方程为10x y −=C ．公共弦AB 的长为D ．P 为圆1Q 上一动点，则P 到直线AB 【答案】AB【详解】对于A ，因为圆221:(1)1Q x y −+=和圆222:(1)(2)5Q x y ++−=，圆心距11<<+,两圆相交，将两式作差可得公共弦AAAA 所在直线的方程为440x y −=，即0x y −=，故选项A 正确；对于B ，因为圆221:(1)1Q x y −+=的圆心为()1,0，1AB k =，则线段AAAA 中垂线的斜率为1−，即线段AAAA 中垂线方程为()01y x −=−−，整理可得10x y +−=，故选项B 正确；对于C ，圆心()11,0Q 到直线0x y −=的距离为d 1Q 的半径rr =1，所以AB =C 错误；对于D ，点P 为圆1Q 上一动点，圆心()11,0Q 到直线0x y −=的距离为d =1Q 的半径rr =1，所以点P 到直线AAAA 1，故选项D 错误． 故选：AB ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．随机变量X 服从正态分布2~(8,)X N σ，(10)P x m >=，(68)P x n ≤≤=，则21m n+的最小值为 .【答案】6+6【详解】 随机变量X 服从正态分布2~(8,)X N σ，1(8)2P X ∴≥=，由(10)P x m >=，(68)(810)P x P x n ≤≤=≤≤=，12m n ∴+=，且0,0m n >>，则()21212223236n m m n m n m n m n+=++=++≥+=+当且仅当2n m m n =，即m n=所以21m n+的最小值为6+．故答案为：6+.13．在数列{}n a 中，111,34n n a a a +==+，若对于任意的()*,235n n k a n ∈+≥−N 恒成立，则实数k 的最小值为 . 【答案】427【详解】由134n n a a +=+，得()1232n n a a ++=+，又12123a +=+=， 故数列{}2n a +为首项为3，公比为3的等比数列， 所以12333n n n a −+=×=，则不等式()235n k a n +≥−可化为353n n k −≥，令()()*353nn f n n −=∈N ， 当1n =时，()0f n <；当2n ≥时，()0f n >； 又()()1132351361333n n n n n nf n f n ++−−−+−=−=，则当2n =时，()()32f f >，当3n ≥时，()()1f n f n +<，所以()()333543327f n f ×−≤==，则427k ≥，即实数k 的最小值为427. 故答案为：427. 14．已知点()5,4P ，点F 为抛物线2:8C y x =的焦点．若以点P ，F 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为 ． 【答案】57【详解】由抛物线方程得()2,0F ，准线方程为2x =−，又点()5,4P ，则25c PF ==， 在抛物线上取点H ，过H 作HG 垂直直线2x =−，交直线2x =−于点G ， 过P 作PM 垂直直线2x =−，交直线2x =−于点M ，由椭圆和抛物线定义得()2527a HF HP HG HP PM =+=+≥=−−=，故椭圆离心率2527c e a =≤．故答案为：57.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，sin cos c B C ⋅，b =． (1)求角B ；(2)若2a c +=，求边AC 上的角平分线BD 长； (3)若ABC 为锐角三角形，求边AC 上的中线BE 的取值范围． 【答案】(1)π3(3)32【详解】（1）在ABC中，由正弦定理及sin cos c B C ，得sin sin cos B C B C A)cos sin B C B C B C +=，即sin sin sin B C B C =，而(0,π)C ∈，sin 0C ≠，解得tan B =(0,π)B ∈，所以π3B =. （2）由π3B =及b =()22233c a ac c a ac =+−=+−， 又2a c +=，解得13ac =， 由ABC ABD BDCS S S =+ 得111sin sin sin 22222B Bac B c BD a BD =⋅⋅+⋅⋅， 即ππsin ()sin 36ac BD c a =⋅+，则11232BD ××，所以BD =（3）因为E 是AC 的中点，所以()12BE BA BC =+ ， 则()()2222211322444acBE BA BA BC BC c a ac +=+⋅+=++= ，由正弦定理得，2πsin 4sin sin 4sin sin sin 3b ac A C A C A A B ===−即2πcos 2sincos212sin 216ac A A A A A A=+=−+=−+，ABC 为锐角三角形， π022ππ032A A<< <−<，所以ππ,62A ∈ ，所以ππ5π2,666A −∈ ，所以π1sin 2,162A −∈ ，所以(]π2sin 212,36ac A=−+∈， 所以23279,444ac BE + =∈，所以32BE ∈ ，即边AC 上的中线BE的取值范围为32 ． 16.（本小题15分）已知函数2()e (1)mx f xx mx =−−． (1)当1m =时，曲线()y f x =在点(,())k f k （1,2,3k =）处的切线记为k l ．①求1l 的方程；②设k l 的交点构成ABC ，试判断ABC 的形状（锐角、钝角或直角三角形）并加以证明． (2)讨论()f x 的极值．【答案】(1)①e 0+=y ；②ABC 为钝角三角形，证明见解析； (2)答案见解析.【详解】（1）当1m =时，2()e (1)x f x x x =−−，则2()e (2)x f x x x ′=+−， ①因为2(1)e(112)0f ′=+−=，2(1)e(111)e f =−−=−，所以1l 的方程为e 0+=y . ②ABC 为钝角三角形，证明如下:由①知1l 的方程为e 0+=y ， 又222(2)e (222)4ef ′=+−=，222(2)e (221)e f =−−=， 所以2l 的方程为22e 4e (2)y x −=−，即224e 7e y x =−， 又233(3)e (332)10ef ′=+−=，323(3)e (331)5e f =−−=， 所以3l 的方程为335e 10e (3)y x −=−，即3310e 25e y x −， 由224e 7e e y x y =− =− ，得到7e 14e x −=，所以7e 1,e 4e A −−， 由3310e 25e e y x y =− =− ，得到2225e 110e x −=，所以2225e 1,e 10e B −− ， 由332210e 25e 4e 7e y x y x =− =−，得到325e 730e ,10e 410e 4x y −=−−，所以325e 730e ,10e 410e 4C − −−，得到22227e 125e 115e 5e 2,0,04e 10e 20e BA−−−−+=−= ， ()33233225e 725e e 30e 30e 10e 430e ,e ,e 10e 410e 10e 410e 10e 410e 4BC−−+−=−+=+−−−−， 则()222215e 5e 230e 10e 420e 10e 10e 4BC BA −−++−⋅=×− ， 注意到2215e 5e 20,30e 10e 40,10e 40−−+<+−>−>，所以cos 0BC BA BC BA B ⋅=⋅<，得到cos 0B <， 又AA ∈(0,π)，所以π,π2B∈，即ABC 为钝角三角形.（2）因为2()e (1)mx f xx mx =−−，则22()e [(2)2]e (2)()mx mx f x mx m x m mx x m ′=−−−=+−， 当0m =时，()2f x x ′=，由()0f x ′=，得到0x =，当0x >时，()0f x ′>，0x <时，()0f x ′<， 此时0x =是()f x 的极小值点，极小值为(0)1f =−，无极大值， 当0m ≠时，由()0f x ′=，得到2x m=−或x m =，又e 0mx >， 若0m >，当2(,)(,)x m m ∈−∞−+∞ 时，()0f x ′>，2,x m m∈−时，()0f x ′<， 此时，2x m=−是()f x 的极大值点，极大值为222()e (41)f m m −=+−，x m =是()f x 的极小值点，极小值为2()e m f m =−，若0m <，当2(,)(,)x m m ∈−∞−+∞ 时，()0f x ′<，2,x m m∈−时，()0f x ′>，此时，2x m=−是()f x 的极大值点，极大值为222()e (41)f m m −=+−，x m =是()f x 的极小值点，极小值为2()e m f m =−.综上，当0m =时，极小值为(0)1f =−，无极大值，当0m ≠时，极大值为22()e 1)f m −=+−，极小值为2()e m f m =−. 17.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，平面PDC ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥，AB DC ，112ABCD AD ===，M 为棱PC 的中点.(1)证明：//BM 平面PAD ； (2)若PC =，1PD =，（i ）求二面角P DM B −−的余弦值；（ii ）在线段PA 上是否存在点Q ，使得点Q 到平面BDM PQ 的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（ii）存在，PQ 【详解】（1）取PD 的中点N ，连接AN ，MN ，如图所示：M 为棱PC 的中点，MN CD ∴ ，12MN CD =， AB CD ，12AB CD =，AB MN ∴∥，AB MN =，∴四边形ABMN 是平行四边形，BM AN ∴ ，又BM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ， //BM ∴平面PAD .（2）PC = 1PD =，2CD =，222PC PD CD ∴=+，PD DC ∴⊥，平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC 平面ABCD DC =，PD ⊂平面PDC ，PD ∴⊥平面ABCD ，又AD ，CD ⊂平面ABCD ，PD AD ∴⊥，PD CD ⊥，又AD DC ⊥，∴以点D 为坐标原点，DA ，DC DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图：则()0,0,1P ，()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,2,0C ，M 为棱PC 的中点，10,1,2M∴ ，()1,1,0B（i ）10,1,2DM =，()1,1,0DB = ， 设平面BDM 的一个法向量为(),,n x y z =，则1020n DM y z n DB x y ⋅=+= ⋅=+=，令2z =，则1y =−，1x =，()1,1,2n ∴=−，平面PDM 的一个法向量为()1,0,0DA =，cos ,n DA n DA n DA ⋅∴==根据图形得二面角P DM B −−为钝角， 则二面角P DM B −−的余弦值为 （ii ）假设在线段PA 上存在点Q ，使得点Q 到平面BDM设PQ PA λ=，01λ≤≤，则(),0,1Q λλ−，()1,1,1BQ λλ−−−，由（2）知平面BDM 的一个法向量为()1,1,2n=− ，()11212BQ n λλλ⋅=−++−=−，∴点Q 到平面BDM 的距离是BQ n n ⋅=, 12λ∴=PQ ∴18.（本小题17分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()2,1P，不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于不同的A ，B 两点，与直线OP 交于点Q ，且2AB QB = ，直线l 与x 轴，y 轴分别交于点M ，N .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当APB △的面积取最大值时，求MON △的面积.【答案】(1)2214x y +=【详解】（1）由已知椭圆左顶点为(),0a −，到点()2,1P解得2a =，又椭圆离心率c e a = 解得1b =，所以椭圆方程为：2214x y +=；（2）如图所示，设(),A A A x y ，(),B B B x y ，由于A 和B 为椭圆C 上两点，22221414A AB Bx y x y += ∴ += 两式相减，得()222204A B A B x x y y −+−=，整理得41A B A B A B A B y y y y x x x x +−×=−+−， 设(),Q Q Q x y ，由2AB QB =得Q 为线段AB 的中点，2A BQ x x x +∴=，2A B Q y y y +=，由Q 在线段OP 所在直线上，且P 坐标为(2,1)，则有12OQ OPk k ==， 即12Q A B OQQ A B y y y k x x x +===+， 所以1124A B A B y y x x −×=−−，故12A B AB A By y k x x −==−−， 设直线1:2l y x m =−+，0m ≠，联立直线l 与椭圆C 的方程， 得221412x y y x m +==−+，整理得()222210x mx m −+−=， 则()()22Δ2810m m =−−−>，得m <<且0m ≠， 且2A B x x m +=，()221A Bx x m =−，BAB x∴=−=点P到直线l的距离为d122APBS AB d∴==−m<<且0m≠，记()()()2222f m m m=−−，()()()2421f m m m m′=−−−，令()0f m′=，及m<<得m=，所以()()()2222f m m m=−−在m∈时单调递增，在上单调递减，所以当m=APBS取最大值，此时直线l方程为12y x=−与坐标轴交点为()1M，N12MONS OM ON∴=⋅=.19.（本小题17分）函数()()1ln1a xf x xx−=−+.(1)3a=时，讨论()f x的单调性；(2)若函数()f x有两个极值点1x、2x，曲线()y f x=上两点()()11,x f x、()()22,x f x连线斜率记为k，求证：21aka−>−.(3)盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：21ep<.【答案】(1)增区间为(0,2、()2+∞，减区间为(22(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）当3a =时，()()31ln 1x f x x x −=−+，该函数的定义域为(0,+∞)， ()()()()()22222161641111x x x x f x x x x x x x +−−+=−=+++′=， 由ff ′(xx )<0可得22x <<+ff ′(xx )02x<<2， 所以，函数()f x 的增区间为(0,2、()2∞+，减区间为(22+. （2）因为()f x 定义域为(0,+∞)，()()()()()()22211221111a x a x x a x f x x x x x +−−+−+=−=+′+， 对于方程()22210x a x +−+=，()()22Δ22442a a a =−−=−， 因为函数()f x 有两个极值点1x 、2x ，则方程()22210x a x +−+=在(0,+∞)上有两个不等的实根， 所以，()221212Δ22448010220a a a x x x x a =−−=−> => +−> ，解得2a >, 则()()()()12121212121211ln ln 11a x ax x x x x f x f x k x x x x −−−−− −+− =−− ()()()121212122ln 11a x x x x x x x x −−++=−12121212ln ln ln 211221x x x x a x x a x x −=−=−−+−+−， 所以要证21a k a −>−，即证1212ln ln 1111x x x x a −−>−−−，即证121212ln ln 2x x x x x x −>−+， 也即证()112211121222212ln ln 01x x x x x x x x x x x x − − −=−<++（*）成立． 设()120,1x t x =∈，函数()()21ln 1t h t t t −=−+，则()()()()222114011t h t t t t t −=−=+′≥+， 所以，函数()h t 在(0,+∞)上单增，且ℎ(1)=0， 所以()0,1t ∈时，()0h t <，所以（*）成立，原不等式得证.（3）由题可得201002020A 100998281100100p ××⋅⋅⋅××==， 因为222998190990×−<，222988290890×−<，…，222918990190×=−<， 所以19910p < ， 又由（2）知()1,t ∞∈+，()()21ln 01t h t t t −=−>+，取109t =，有1021101029ln ln 010991919−−=−>+， 即1910ln 29 > ，即19210e 9 > ， 所以1929110e p << ．。