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导数各种题型方法总结
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令0)('
=x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；
例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，
4323()1262
x mx x f x =--
（1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；
（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.
解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32
()332
x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=--
（1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”，
则 2
()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <
(0)030
2(3)09330
g m g m <-<⎧⎧⇒⇒>⎨⎨<--<⎩⎩
解法二：分离变量法：
∵ 当0x =时, 2
()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2()30g x x mx =--<恒成立
等价于233
x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3
()h x x x
=-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h ==
2m ∴>
(2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2
()30g x x mx =--< 恒成立 变更主元法
再等价于2
()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）
2
2
(2)0230
11(2)0230F x x x F x x ⎧->--+>⎧⎪⇒⇒⇒-<<⎨⎨>-+>⎪⎩⎩
2b a ∴-=
.
例2：设函数),10(323
1)(223
R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-
= （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围. （二次函数区间最值的例子）
解：（Ⅰ）()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=---
01a <令,0)(>
'x f 得)(x f 令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞）
∴当x=a 时，)(x f 极小值=;4
33
b a +-
当x=3a 时，)(x f 极大值=b.
（Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得：对任意的],2,1[++∈a a x 2
2
43a x ax a a -≤-+≤恒成立①
则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x a g x a
≤⎧⎨
≥-⎩ 22
()43g x x ax a =-+的对称轴2x a =
01,a <+=（放缩法）
即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
22()43[1,2]g x x ax a a a =-+++在上是增函数.
max min ()(2)2 1.
()(1)4 4.
g x g a a g x g a a =+=-+=+=-+
∴
于是，对任意]2,1[++∈a a x ，不等式①恒成立，等价于
(2)44,4
1.(1)215g a a a a g a a a
+=-+≤⎧≤≤⎨
+=-+≥-⎩解得 又,10<.15
4
<≤a 点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
第三种：构造函数求最值
题型特征：)()(x g x f >恒成立0)()()(>-=⇔x g x f x h 恒成立；从而转化为第一、二种题型
2x a =
[]1,
2a a ++
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例3；已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-，
32
6()(1)3(0)2
t g x x x t x t -=+
-++> （Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；
（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 解：（Ⅰ）/
2
()32f x x ax =+∴/(1)31f b a
⎧=-⎨=+⎩， 解得3
2a b =-⎧⎨=-⎩
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减 又(1)4,(0)0,(2)4,(4)16f f f f -=-==-= ∴()f x 的值域是[4,16]-
（Ⅲ）令2
()()()(1)3[1,4]2
t h x f x g x x t x x =-=-++-∈
思路1：要使()()f x g x ≤恒成立，只需()0h x ≤，即2
(2)26t x x x -≥-分离变量
思路2：二次函数区间最值
二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为0)(0)('
'
≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
做题时一定要看清楚“在（m,n ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集
例4：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(2
1121)(2
3++++=
． （Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．
解：)14()1(4
1)(2
++++=
'a x a x x f . （Ⅰ）∵ ()f x '是偶函数，∴ 1-=a . 此时x x x f 3121)(3-=，34
1
)(2-='x x f ，
令0)(='x f ，解得：32±=x .
可知：()f x 的极大值为34)32(=-f ， ()f x 的极小值为34)32(-=f . （Ⅱ）∵函数)(x f 是),
(∞+-∞上的单调函数，
