2024北京西城初三（上）期末数 学注意事项1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，请将考试材料一并交回．第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 若抛物线23y x x c =++经过点()0,2，则c 的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 2−2. 北京城区的胡同中很多精美的砖雕美化了生活环境，砖雕形状的设计采用了丰富多彩的图案．下列砖雕图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，下列事件中是必然事件的是（ ）A. 3个球都是白球B. 至少有1个黑球C. 3个球都是黑球D. 有1个白球2个黑球4. 下列关于函数21y x =−的结论中，正确的是（ ）A. y 随x 的增大而减小B. 当0x >时，y 随x 的增大而增大C. 当0x <时，y 随x 的增大而增大D. 当0x >时，y 随x 的增大而减小 5. 小云从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的图中角α的度数为（ ）A. 60°B. 70°C. 72°D. 75°6. 某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2020年的5.2吨/平方公里下降至2022年的3.6吨/平方公里月，若设降尘量的年平均下降率为x ，则可列出关于x 的方程为（ ）A. ()3.612 5.2x +=B. ()5.212 3.6x −=C. ()23.61 5.2x +=D. ()25.21 3.6x −= 7. 如图，AB 为O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，BE BC =．若40CAB ∠=︒，则BAD ∠的大小为（ ）A. 45︒B. 50︒C. 55︒D. 65︒8. 如图，抛物线2y ax bx c =++()0a ≠经过点()1,0−．下面有四个结论：①0a >；②20a b +<；③420a b c ++>；④关于x 的不等式()20ax b c x +−>的解集为10x −<<．其中所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②③④第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 在平面直角坐标系中，点()3−2，关于原点的对称点坐标为 ___________． 10. 一元二次方程2250x −=的解为__________．11. 已知O 的半径为6cm ，点P 在O 外，则OP ___6cm （填“>”、“ <”或“=” )12. 若关于x 的一元二次方程260x x k −+=有两个相等的实数根，则k 的值为______．13. 写出一个开口向上，并且经过原点的抛物线的解析式，y =________．14. 如图，四边形ABCD 内接于O ，110A ∠=︒，则C ∠=________°，依据是________．15. 中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），其中的24枚邮票大小相同，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚邮票组成了一个圆环，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，以“大雪”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“上圆弧”的长为l ，“直边长”为d ，“下圆弧”的长为x ，则x =________（用含l ，d 的式子表示）．16. 如图，在三角尺ABC 中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，1AC =．把CB 边放在直尺l 上，让三角尺在桌面上沿直尺l 按顺时针方向无滑动地滚动，直到CB 边再一次落到直尺l 上时停止滚动．三角尺的第一次滚动可看成将三角尺绕点B 顺时针旋转了150︒ ，记为(),150B ︒．有以下三个结论：①第一次滚动的过程中，点C 运动的路径长为2π；②第二次滚动可记为(),120A ︒；③点A ，点B ，点C 在滚动全程中，运动路径最长的是点B ．上述结论中，所有正确结论的序号是________．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17. 解方程：2630x x −+=．18. 已知二次函数2245y x x =−+．（1）将2245y x x =−+化成()2y a x h k =−+的形式；（2）抛物线2245y x x =−+可以由抛物线22y x =经过平移得到，请写出一种平移方式．19. 两个质地均匀的正方体M 和N ，正方体M 的六个面分别标有数字“0”，“1”，“2”，“3”，“4”，“5；正方体N 的六个面分别标有数字“0”，“1”，“2”，“6”，“7”，“8”．掷小正方体后，观察朝上一面的数字．（1）掷一次正方体M 时，出现奇数的概率是多少；（2）如果先掷一次正方体M ，再掷一次正方体N 得到两个数字，如先后掷到“0”和“1”记为01，可表示某月的01日；先后掷到“5”和“8”记为58，不能表示某月的日期．求先后各掷一次正方体M 和正方体N ，得到的两个数字能组成一月的一个日期的概率．20. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x x c =−+与x 轴的一个交点为()1,0A −．（1）c =________；（2）画出函数22y x x c =−+的图像；（3）当22x −<≤时，结合函数图像直接写出y 的取值范围．21. 已知关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m −+++=．（1）求证：无论m 取何值，方程总有两个实数根；（2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m 的值．22. 如图，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，垂足为D ．120ACB ∠=︒，6AB =，求O 的半径．23. 在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的三个顶点的坐标分别为()2,5A −，()3,0B −，()1,2C ．将ABC 绕原点O 顺时针旋转90°得到A B C '''，点A ，B ，C 的对应点分别为A '，B '，C '．（1）画出旋转后的A B C '''；（2）直接写出点C '的坐标；（3）记线段B C ''与线段BC 的交点为G ，直接写出BGC '∠的大小．24. 如图，AB 是O 的直径，AB BC =，AC 交O 于点D ，点F 在OD 的延长线上且12FAD ABC ∠=∠．（1）求证：AF 是O 的切线；（2）若8AF =，4DF =，求AC 的长．25. 如图，小云在生活中观察到一个拱门，拱门的上方拱线M 和下方拱线N 的最高点均为点C ，拱门的跨径间对称分布有8根立柱．他搜集到两条拱线的相关数据，拱线N 的跨径AB 长为14m ，高HC 为6.125m ．HC 右侧的四根立柱在拱线N 上的端点D ，E ，F ，B 的相关数据如下表所示．根据以上信息，解答下列问题：（1）选取拱线M 上的任意三点，通过尺规作图作出拱线M 所在的圆；（2）建立适当的平面直角坐标系，选取拱线N 上的点，求出拱线N 所在的抛物线对应的函数解析式，并验证拱线N 上的其他已知点都在抛物线上，写出验证过程（不添加新的字母）． 26. 在平面直角坐标系xOy 中，()1,A t y ，()21,B t y +，()33,C t y +三点都在抛物线224y ax ax =−+（0a >）上．（1）这个抛物线的对称轴为直线________．（2）若132y y y >≥，求t 的取值范围；（3）若无论t 取任何实数，点A ，B ，C 中都至少有两个点在x 轴的上方，直接写出a 的取值范围． 27. 在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，CM AB ⊥于点M ．点P 在射线CM 上，连接AP ，作CD AP ⊥于点D ．连接MD ，作CE MD ⊥于点E ，作DF AB 交直线CE 于点F ，连接MF ．（1）当点P 在线段CM 上时，在图1中补全图形，并直接写出ADM ∠的度数；（2）当点P 在线段CM 的延长线上时，利用图2探究线段DF 与AM 之间的数量关系，并证明； （3）取线段MF 的中点K ，连接BK ，若8AC =，直接写出线段BK 的长的最小值．28. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()1,0S −，()1,0T ．对于一个角α（0180α︒<≤︒），将一个图形先绕点S 顺时针旋转α，再绕点T 逆时针旋转α，称为一次“α对称旋转”．（1）点R 在线段ST 上，则在点()1,1A −，()3,2B −，()2,2C −，()0,2D −中，有可能是由点R 经过一次“90︒对称旋转”后得到的点是________；（2）x 轴上的一点P 经过一次“α对称旋转”得到点Q ．①当60α=︒时，PQ =________；②当30α=︒时，若QT x ⊥轴，求点P 的坐标；（3）以点O 为圆心作半径为1的圆．若在O 上存在点M ，使得点M 经过一次“α对称旋转”后得到的点在x 轴上，直接写出α的取值范围．参考答案第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】A【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟记二次函数一般式的常数项c 就是抛物线23y x x c =++与y 轴的交点()0,2，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：抛物线23y x x c =++经过点()0,2，∴c 的值为2，故选：A ．2. 【答案】A【分析】本题考查轴对称图形及中心对称图形的定义与判断，根据中心对称图形定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；轴对称图形定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐项验证即可得到答案．熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的定义是解决问题的关键．【详解】解：A 、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；B 、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C 、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D 、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；故选：A ．3. 【答案】B【分析】本题考查必然事件，涉及事件的分类与概念，熟记事件分类及相应概念是解决问题的关键．【详解】解：不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，则A 、“3个球都是白球”是不可能事件，不符合题意；B 、“至少有1个黑球”是必然事件，符合题意；C 、“3个球都是黑球”是随机事件，不符合题意；D 、“有1个白球2个黑球”是随机事件，不符合题意；故选：B ．4. 【答案】B【分析】本题主要考查二次函数的图象的性质，要牢记解析式中的系数和图象性质的关系．根据二次项的系数确定开口方向，再根据对称轴确定增减性．【详解】解：由题意得，图象开口向上，对称轴为y 轴，∴当0x <时，y 随x 增大而减小，A 、C 选项说法错误，当0x >时，y 随x 增大而增大，B 选项说法正确，D 选项说法错误，故选：B ．5. 【答案】C【分析】本题考查圆的性质，涉及周角为360︒，由将圆五等分得到的图中角α，列式即可得到答案，读懂题意，掌握周角为360︒是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可得360725α︒==︒， 故答案为：C ．6. 【答案】D【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题的解法，读懂题意，找到等量关系列出方程是解决问题的关键．【详解】解：设降尘量的年平均下降率为x ，则 ()25.21 3.6x −=，故选：D ．7. 【答案】D【分析】由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形两锐角互余得到50B ∠=︒，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到65ECB CEB ∠=∠=︒，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：AB 为O90ACB ∴∠=︒，40CAB ∠=︒，904050B ∴∠=︒−︒=︒，BE BC =，18050652ECB CEB ︒−︒∴∠=∠==︒， BD BD =， 65BAD BCE ∴∠=∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．8. 【答案】D【分析】本题主要考查二次函数的性质以及与一次函数的解集，根据图像开口可得①错误；根据对称轴可判断②正确；由2x =时，0y >，即可判断③正确；利用二次函数与一次函数1y cx c =+的图像位置关系可判断④正确．【详解】解：①∵抛物线开口向下，∴a<0，则①错误．②∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，且与x 轴的交点一个为1,−另外一个在2到3之间， ∴12b a−<， ∵a<0∴2b a <−，∴20a b +<，则②正确．③由图象可知，当2x =时，0y >，∴420a b c ++>，则③正确．④()20ax b c x +−>，可变式为2ax bx c cx c ++>+， 令1y cx c =+，∵一次函数1y cx c =+，过点()0,c 和()1,0−，则一次函数1y cx c =+与抛物线2y ax bx c =++图象如图，2ax bx c cx c ++>+的解集为10x −<<．则④正确．故选：D ．第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】()2,3−【分析】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．【详解】解：点()3−2，关于原点的对称点坐标为()2,3−， 故答案为：()2,3−．10. 【答案】125,5x x =−=【分析】先将常数项25移项到方程的右边，再利用直接开平方法解题即可．【详解】2250x −=2=25x ∴5x ∴=±故答案为：125,5x x =−=．【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 11. 【答案】>【分析】根据点与圆的三种关系即可判断得到答案．【详解】解：O 的半径为6cm ， 点P 在O 外，6cm OP ∴>．故答案为：>．【点睛】本题考查点与圆的关系，解题关键是熟知点与圆的三种关系．12. 【答案】9【分析】根据一元二次方程根的判别式，Δ0=，构建方程求解．【详解】解：∵260x x k −+=有两个相等的实数根，2(6)413640k k ∆=−−⨯⨯=−=，∴9k =．故答案为：9【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式定理是解题的关键．13. 【答案】22x x +（答案不唯一）【分析】由开口方向可确定a 的符号，由过原点可确定常数项，则可求得答案．【详解】解：设抛物线解析式为2y ax bx c =++(0)a ≠，∵抛物线开口向上，∴0a >，故可取1a =，∵抛物线过原点，∴0c ，∵对称轴没有限制，∴可取2b =，∴一个开口向上，并且经过原点的抛物线的解析式可为22y x x =+．故答案为：22x x +．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的开口方向由a 的符号决定是解题的关键．14. 【答案】 ①. 70 ②. 圆内接四边形对角互补【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补．熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形对角互补求解作答即可． 【详解】解：∵四边形ABCD 内接于O ，∴18070C A ∠=︒−∠=︒， 依据是圆内接四边形对角互补，故答案为：70，圆内接四边形对角互补． 15. 【答案】π12l d −【分析】本题考查弧长公式，根据题意，作出图形，数形结合，利用弧长公式表示出l ，d ，找到两者之间的关系即可得到答案，熟记弧长公式是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示：3601524BOC ︒∴∠==︒， 15π2π36012l OC OC ∴=⨯⨯=；()()15π2π36012x OC d OC d =⨯⨯−=−， ∴πππ121212x OC d l d =−=−， 故答案为：π12l d −． 16. 【答案】②③【分析】由勾股定理及含30︒直角三角形性质得到相应边及角度的大小，再利用弧长公式即可验证①错误；读懂题意，理解(),150B ︒的含义即可验证②错误；利用旋转性质及弧长公式可求出点A ，点B ，点C 在滚动全程中，运动的路径长，再由实数大小的比较即可确定③正确；从而得到答案． 【详解】解：如图所示：在三角尺ABC 中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，1AC =，2,AB BC ∴===∴第一次滚动的过程中，点C 运动的路径长为1502ππ2π360BC ⨯⨯=≠，①错误；根据三角尺的第一次滚动可看成将三角尺绕点B 顺时针旋转了150︒，记为(),150B ︒可知(),150B ︒的横坐标是旋转中心，纵坐标是旋转角度，∴三角尺的第二次滚动可看成将三角尺绕点C 顺时针旋转了120︒，记为(),120C ︒，如图所示：∴第二次滚动可记为(),120A ︒，②正确；∴在滚动全程中，点A 运动的路径长为15090132π2ππ3603606BA AC ⨯⨯+⨯⨯=；∴在滚动全程中，点B 运动的路径长为120902π2π360360AB BC ⨯⨯+⨯⨯=；∴在滚动全程中，点C 运动的路径长为15012042π2ππ3603606BC AC ⨯⨯+⨯⨯=；()13850−+=−=<，136∴<； ()()4840−+==<，4866∴<； 综上所述，点A ，点B ，点C 在滚动全程中，运动路径最长的是点B ，③正确； 故答案为：②③．【点睛】本题考查旋转，涉及圆的性质、旋转性质、勾股定理、含30︒直角三角形性质、弧长公式和实数比较大小等知识，掌握旋转性质及弧长公式是解决问题的关键．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17.【答案】13x =，23x = 【分析】根据公式法解方程即可．【详解】解：∵()2641324∆=−−⨯⨯=，∴632x ±===±，∴13x =，23x =∴此方程的解为：13x =+，23x =【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程． 18.【答案】（1）()2213y x =−+（2）先向右平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度或先向上平移3个单位长度、再向右平移1个单位长度（任选一个即可）【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及将一般式化为顶点式、函数图像平移等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．（1）利用配方法即可将二次函数一般式化为顶点式；（2）根据函数图像平移法则：左加右减、上加下减，结合函数表达式，数形结合即可得到答案． 【小问1详解】 解：2245y x x =−+()2225x x =−+ ()222115x x =−+−+()222125x x ⎡⎤=−+−+⎣⎦()2213x =−+，∴将2245y x x =−+化成()2y a x h k =−+的形式为()2213y x =−+；【小问2详解】解：由（1）中抛物线2245y x x =−+可化为()2213y x =−+，∴抛物线22y x =经过平移得到()2213y x =−+可以是：①先向右平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度；②先向上平移3个单位长度、再向右平移1个单位长度；（任选一个即可）． 19. 【答案】（1）12 （2）1936【分析】本题考查了简单的概率计算，列举法求概率．熟练掌握简单的概率计算，正确的列表格是解题的关键．（1）由题意知，掷一次正方体M 时共有6种等可能的结果，出现奇数有3种等可能的结果，然后求概率即可；（2）根据题意列表格，然后求概率即可． 【小问1详解】解：由题意知，掷一次正方体M 时共有6种等可能的结果，出现奇数有3种等可能的结果， ∵3162=， ∴掷一次正方体M 时，出现奇数的概率是12； 【小问2详解】 解：由题意列表如下：∴得到的两个数字能组成一月的一个日期的概率为1936． 20. 【答案】（1）3−（2）作图见解析 （3）45y −≤<【分析】（1）根据题意，将()1,0A −代入表达式解方程即可得到答案；（2）由（1）可知2=23y x x −−，利用描点法作出图形即可得到答案；（3）由（2）中图像，作出图形，利用图像即可得到当22x −<≤时，y 的取值范围． 【小问1详解】解：抛物线22y x x c =−+与x 轴的一个交点为()1,0A −，()()20121c ∴=−−⨯−+，解得3c =−，故答案为：3−； 【小问2详解】解：由（1）知2=23y x x −−， 列表：描点、连线，画函数2y x x c =−+图像，如图所示：；【小问3详解】解：题中给出22x −<≤，过()2,0−作2x =−，过()2,0作2x =，如图所示：2=23y x x −−的开口向上，对称轴为1x =，在图像上，当21x −≤≤时，图像是下降的，即y 随x 增大而减小，当1x =时，4y =−；当2x =−时，5y =；在图像上，当12x ≤≤时，图像是上升的，即y 随x 增大而增大，当1x =时，4y =−；当2x =时，=3y −；∴当22x −<≤时，结合函数图像，再由上述计算可知：当1x =时，min 4y =−；当2x =−时，max 5y =；∴当22x −<≤时，结合函数图像得到y 的取值范围是45y −≤<．【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、描点法作二次函数图像和利用二次函数图形与性质求y 的取值范围，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 21. 【答案】（1）见详解 （2）12−或1 【分析】（1）根据24b ac ∆=−即可证明；（2）根据公式法即可得()()122222m m x x ++==，再根据方程的一个实数根是另一个实数根的两倍即可求解； 【小问1详解】解：根据题意，()()222Δ42410b ac m m m ⎡⎤=−=−+−+=≥⎣⎦，∴无论m 取何值，方程总有两个实数根. 【小问2详解】由题意，根据公式法得，()22m x +±==，∴()()122222m m xx +++==，∴()()22222m m +++=⋅，解得：12112m m =−=，．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键．22. 【答案】【分析】连接OA OB 、，在优弧AB 上取一点E ，连接AE BE 、，如图所示，根据圆内接四边形性质及圆周角定理得到120AOB ∠=︒，再由垂径定理、含30︒的直角三角形性质及勾股定理得到O 的半径．【详解】解：连接OA OB 、，在优弧AB 上取一点E ，连接AE BE 、，如图所示：∴四边形AEBC 是圆的内接四边形，120ACB ∠=︒，60E ∴∠=︒，AB AB =，2120AOB E ∴∠=∠=︒，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，垂足为D ，6AB =，∴由垂径定理可知3AD BD ==，1602∠=∠=︒AOD AOB ，90ADO ∠=︒， 在Rt AOD 中，30OAD ∠=︒，设OD x =，则2OA x =，由勾股定理可知3AD ===，解得x =∴O 的半径为．【点睛】本题考查求圆的半径，涉及圆内接四边形性质、圆周角定理、垂径定理、含30︒的直角三角形性质和勾股定理，熟练掌握圆的性质及定理是解决问题的关键． 23. 【答案】（1）作图见解析 （2）()2,1C '− （3）90BGC '∠=︒【分析】本题考查旋转作图、由图形写坐标和求角度，涉及旋转性质、图形与坐标、三角形全等的判定与性质、对顶角相等和三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转性质及图形与坐标是解决问题的关键． （1）根据旋转的性质作出ABC 三个顶点绕点O 顺时针旋转90°的对应点，连线即可得到A B C '''； （2）由（1）中作出的A B C '''即可得到答案；（3）过C 作CD x ⊥轴于D 、过C '作C D y ''⊥轴于D ，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到()HL BDC B D C '''≌，进而DBC D B C '''∠=∠，再由对顶角相等、等量代换及三角形内角和定理即可得到答案． 【小问1详解】 解：作图如下：∴A B C '''即为所求；【小问2详解】解：由（1）中图形，如图所示：()2,1C ∴'−；【小问3详解】解：在（1）的图形中，过C 作CD x ⊥轴于D 、过C '作C D y ''⊥轴于D ，如图所示：,,90BC B C CD C D BDC B D C '''''''==∠=∠=︒，()HL BDC B D C ''∴'≌，DBC D B C '''∴∠=∠， BEO B EG '∠=∠，在Rt BEO △中，90BEO DBC ∠+∠=︒，则90B EG D B C ''''∠+∠=︒， 在B EG '中，由三角形内角和定理可知90EGB '∠=︒，90BGC '∴∠=︒．24. 【答案】（1）详见解析；（2 【分析】（1）根据等腰三角形性质及三角形的内角和定理可得1902BAC ABC ∠=︒−∠，再由已知及切线的判定定理可得结论；（2）由（1）知90OAF ∠=︒，由勾股定理得出圆的半径为6，利用等腰三角形的性质可得出D 为AC 的中点，利用中位线定理可得出OD BC ，可证出AOF ABC ∠=∠，得出AOF EBA ∽，利用相似比得出7.2,9.6BE AE ==，最后利用勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 ∵AB BC =， ∴1902BAC C ABC ∠=∠=︒−∠， ∵12FAD ABC ∠=∠， ∴11909022BAF BAC FAD ABC ABC ∠=∠+∠=∠+∠∠=︒， ∵AB 为O 直径， ∴AF 是O 的切线；【小问2详解】 由（1）知，AF 是O 的切线，∴AF AB ⊥， ∴90OAF ∠=︒， ∴222AF OA OF += 设O 的半径为r ，∵8,4AF DF ==， ∴()22284r r +=+， ∴6r =，∴612,10OA OB OD AB BC OF ======，， 连接AE BD ，，∵AB 为O 的直径，∴,90BD AC AEB ⊥∠=︒， ∵AB BC =， ∴D 为AC 中点， ∴OD BC ， ∴AOF ABC ∠=∠， ∵90AEB OAF ∠=∠=︒， ∴AOF EBA ∽， ∴AO AF OFBE AE AB==， ∴681012BE AE ==， ∴7.2,9.6BE AE ==，∴127.2 4.8CE BC BE =−=−=，∴在Rt AEC 中，AC ===【点睛】本题属于主要考查了等腰三角形性质，圆切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，中位线定理等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． 25. 【答案】（1）尺规作图见解析 （2）()()1778y x x =−−+，其他已知点都在抛物线上，验证过程见解析 【分析】本题考查圆与二次函数综合，涉及圆的性质、尺规作图-中垂线、待定系数法确定函数关系式、验证点是否在函数图像上等知识，熟练掌握中垂线的尺规作图及待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键．（1）选取拱线M 上的任意三点，连线构成圆的弦，作两条弦的垂直平分线交于点O ，以O 为圆心，OC 为半径作圆即可得到答案；（2）以H 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，以HC 所在的直线为y 轴，如图所示，利用交点式，待定系数法确定函数关系式即可得到拱线N 所在的抛物线对应的函数解析式为()()1778y x x =−−+，再将D ，E ，F ，B 的横坐标代入表达式验证纵坐标是否与y 值相等即可得到答案．【小问1详解】解：如图所示：O ∴即为所求；【小问2详解】解：以H 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，以HC 所在的直线为y 轴，如图所示：拱线N 的跨径AB 长为14m ，高为6.125m ，()7,0A ∴−、()7,0B 、()0,6.125C ，设拱线N 的表达式为()()77y a x x =−+，∴将()0,6.125C 代入表达式得6.12549a =−，解得18a =−，∴拱线N 所在的抛物线对应的函数解析式为()()1778y x x =−−+，∴将4x =代入()()778y x x =−−+得()()4747 4.1258y =−⨯−⨯+=，故点D 在拱线N 所在的抛物线上；将5x =代入()()1778y x x =−−+得()()1575738y =−⨯−⨯+=，故点E 在拱线N 所在的抛物线上； 将6x =代入()()1778y x x =−−+得()()16767 1.6258y =−⨯−⨯+=，故点F 在拱线N 所在的抛物线上；将7x =代入()()1778y x x =−−+得()()1777708y =−⨯−⨯+=，故点B 在拱线N 所在的抛物线上． 26. 【答案】（1）1x =（2）112t −≤<−（3）1603a << 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：掌握二次函数的性质，掌握二次函数图像与系数的关系是解题的关键．（1）直接根据对称轴公式可得对称轴直线方程；（2）先根据已知条件判断出A ，B ，C 所在的位置，然后根据距离对称轴的大小得到取值求解即可；（3）有两种情况满足题意，①当抛物线与x 轴有一个交点或者没有交点时，函数图像与x 轴有交点，且两个交点的距离小于1时，w 分类讨论求解即可；【小问1详解】 解：对称轴为212a x a −=−=， 故答案为：1x =；【小问2详解】解：∵()1,A t y ，()21,B t y +，()33,C t y +三点都在抛物线224y ax ax =−+（0a >）上，且132y y y >≥，又∵13t t t <+<+，抛物线的对称轴为1x =，∴A ，B 两点位于对称轴左侧，点C 位于对称轴右侧，且点A 到对称轴的距离大于点C 到对称轴的距离，点C 到对称轴的距离大于等于点B 到对称轴的距离，即()3111131t t t t ⎧+−≥−+⎨−>+−⎩，解得112t −≤<−； 【小问3详解】解：无论t 取任何实数，点A ，B ，C 中都至少有两个点在x 轴的上方，有两种情况满足题意，①当抛物线与x 轴有一个交点或者没有交点时，满足题意，即Δ0≤，∴()22440a a −−⨯⨯≤，化简得()440a a −≤，∵0a >，∴40a −≤，解得4a ≤，∴此时04a <≤；②函数图像与x 轴有交点，且两个交点的距离小于1时满足题意，此时三点中，距离最近的A 和B 不能同时在x 轴下方，临界情况A 、B 两点分别是这两个交点，得0.5=t ，此时t =0.5.带入224y ax ax =−+，解得163a =， ∴此时163a <； 综上所述，1603a <<27. 【答案】（1）45ADM ∠=︒（2）DF AM =，证明见解析；（3）2BK =−【分析】（1）先补全图形，如图所示：取AC 的中点T ，连接DT ，MT ，证明A ，C ，D ，M 四点共圆，可得45ADM ACM ∠=∠=︒；（2）由（1）同理可得：A ，C ，D ，M 四点共圆，可得45CDM CAM ∠=∠=︒，证明CE DE =，再证明DEF CEM ≌，可得DF CM =，即可得到结论；（3）如图，取BC 的中点R ，连接RM ，RF ，RK ，取MR 的中点Q ，连接QK ，由（2）同理可得：ME FE =，而CE ME ⊥，可得45CEF CBA ∠=∠=︒，连接BF ，证明90CFB ∠=︒，可得K 在以Q 为圆心，半径为2的弧上运动，当B ，K ，Q 三点共线时，BK 最小，从而可得答案．【小问1详解】解：补全图形，如图所示：∵CM AB ⊥，CD AP ⊥，∴90CDP CMA ∠=∠=︒，取AC 的中点T ，连接DT ，MT ， ∴12DT AC MT ==，∴A ，C ，D ，M 四点共圆，∴ADM ACM ∠=∠，∵AC BC =，90ACB ∠=︒，CM AB ⊥，∴45ACM ∠=︒，∴45ADM ∠=︒；【小问2详解】DF AM =，理由如下：如图所示：∵AC BC =，90ACB ∠=︒，CM AB ⊥，∴45CAB CBA ∠=∠=︒，CM AM BM ==，由（1）同理可得：A ，C ，D ，M 四点共圆，∴45CDM CAM ∠=∠=︒，∵CE DM ⊥，∴45DCE CDE ∠=∠=︒，∴CE DE =，∵DF AB ，∴DF CM ⊥，∴90DGM CEM ∠=∠=︒，∵CME DMG ∠=∠，∴FDE MCE ∠=∠，而90CEM DEF ∠=∠=︒，∴DEF CEM ≌，∴DF CM =，∴DF AM =；【小问3详解】如图，取BC 的中点R ，连接RM ，RF ，RK ，取MR 的中点Q ，连接QK ，由（2）同理可得：ME FE =，而CE ME ⊥，∴45CFM CBA ∠=∠=︒，连接BF ，∵BGM CGF ∠=∠，∴BMF BCF ∠=∠，∴MGB CGF ∽， ∴MG BG CG FG=，而CGM FGB ∠=∠， ∴CGM FGB ∽，∴CMG CBF ∠=∠，∴90FCB CBF FMB CMF ∠+∠=∠+∠=︒，∴90CFB ∠=︒， ∴142RM RF BM BC ====，而K 为MF 中点，Q 为MR 中点， ∴122QK MR ==， ∴K 在以Q 为圆心，半径为2的弧上运动，∴当B ，K ，Q 三点共线时，BK 最小，在Rt BQR 中，4,2BR QR ==此时BQ ==∴2BK =．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，圆的确定及基本性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 28. 【答案】（1）()3,2B −、()2,2C −（2）①2；②)1,0P （3）030α<≤︒或150180α︒≤≤︒【分析】（1）由一次“α对称旋转”定义，将()1,1A −，()3,2B −，()2,2C −，()0,2D −先绕点S 顺时针旋转90︒，再绕点T 逆时针旋转90︒，即可验证；（2）①作出图形，数形结合，分类讨论，由等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质即可得到答案；②作出图形，由含30︒的直角三角形的性质，求出三角形边长即可得到点P 的坐标；（3）设点M 经过一次“α对称旋转”后得到的点为点M '，则点M '先绕点T 顺时针旋转α，再绕点S 逆时针旋转α得到点M ，进行分类讨论：①当090α<≤︒时，令1l 和O 相交于G ，连接SG ，过点S 作2l 的垂线，垂足为点H ，易得2sin SG SH α==，根据点M 再O 上，则2l 与O 有公共点，得出01SH <≤，即02sin 1α<≤，即可求解；②当90180α︒<≤︒时，用相同的方法，即可解答．【小问1详解】解：由一次“α对称旋转”定义，将()1,1A −先绕点T 顺时针旋转90︒，再绕点S 逆时针旋转90︒，如图所示：()1,1A ∴−不是由点R 经过一次“90︒对称旋转”后得到的点；同理可得()3,2B −是由点()1,0R 经过一次“90︒对称旋转”后得到的点；()2,2C −是由点()0,0R 经过一次“90︒对称旋转”后得到的点；()0,2D −不是由点R 经过一次“90︒对称旋转”后得到的点； 故答案为：()3,2B −、()2,2C −；【小问2详解】解∶①令点P 绕点S 顺时针旋转α得到点P '，连接,,,,AP TP PP P Q PQ ''''，∵P 经过一次“60︒对称旋转”得到Q 时，∴,60,,60SP SP PSP TP TQ P TQ ''''=∠=︒=∠=︒，∴,SPP P TQ ''是等边三角形，∴60SP P TP Q ''∠=∠=︒，,SP PP P T PQ '''==，∴SP P TP P TP Q TP P ''''∠−∠=∠−∠，即SP T PP Q ''∠=∠，∵,,SP PP SP T PP Q P T PQ '''''=∠=∠=，∴SP T PP Q ''≌，∴2ST PQ ==；。
