2018年太原市初中数学竞赛(含答案)

2018年太原市初中数学竞赛

一、选择题:（每小题7分，共42分） 1、若01,21a b <<-<<-，则

1212a b a b

a b a b

-++-+-++的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、－2 D 、－3

2、设,αβ是方程22320x x --=的两个实数根，则

αβαβ

+的值是（ ）

A 、－1

B 、1

C 、23-

D 、23

3、如图1，在ABC 中，60,80,A C C ∠=︒∠=︒∠的平分线与A ∠的外角平分线交于点D ，连结BD ，则tan BDC ∠的值是（ ） A 、1 B 、

12 C

、3

B

(1)

D

C

A

B

(2)

D

C

A

4、如图是一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，则白皮的块数是（

） A 、22 B 、20 C 、18 D 、16

5、如图2，已知ABC 中，90,5,C AC BC ∠=︒==以C 为圆心、BC 为半径作圆交BA 的延长线于点D 。则AD 的长为（ ） A 、

37 B 、57 C 、73

D 、5

3

6=，则此方程的正整数解的组数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 二、填空题:（每小题7分，共42分）

1、如图3，圆中两条相交线将圆内区域分为4个部分，请在圆中再画三条线，将圆内区域

分为15个部分。

(3)

(4)

B

(5)

C

A

M

2、已知k 为整数。若关于x 的二次方程2(23)10kx k x +++=有有理根，则k 的值是 .

3、已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，AOD ∆和AOB ∆的面积分别为9和12。则梯形ABCD 的面积是 .

4、设二次函数2

2

2(0)2

a y x ax a =++<的图像顶点为A ，与x 轴交点为B 、C 。当ABC ∆为等边三角形时，a 的值为 .

5、连结正方形两组对边上的对应三等分点，得图4，则由图中所有线段构成的矩形共有_____________个.

6、如图5，一抛物线弧的最大高度为15，跨度为60，则距离中点M 为12的地方，弧的高度是 .

三、（16分）已知n 为正整数，一次函数1

1n y x n n

+=++的图像与坐标轴围成的三角形外接圆面积为25

4

π。求此一次函数的解析式.

四、（16分）设四位数abcd 是一个完全平方数，且21ab cd =+，求这四位数.

五、（17分）如图，已知ABC 内接于⊙O ，AD 、BD 为⊙O 的切线，作DE ∥BC ，交AC 于E ，连结EO 并延长交BC 于F ，求证：BF=FC.

六、（17分）已知当10x -<<时，二次函数243y x mx =-+的值恒大于1，求m 的取值

范围。

参考答案

1.解：∵a-1＜0，b+2＞0，a+b＜0,

∴原式=-1-1-1=-3.∴选(D).

2.解：原方程即2|x|2-3|x|-2=0，即(2|x|+1)(|x|-2)=0，

∵2|x|+1＞0，|x|-2=0，

∴x=±2.

∴==-1.

∴选(A).

3.解：∵D在∠C的平分线上，

∴D到CB，CA的距离相等，

又∵D在∠A的外角平分线上，

∴D到CA，AB的距离相等，

∴D到AB，CB的距离相等，

∴D在∠B的外角平分线上.

∵∠ABC=40°，∴∠DBA=70°，

∴∠DBC=110°，

又∵∠BCD=40°，∠BDC=30°，

∴tan∠BDC=.

∴选(D).

4.解：设白皮有x块，则黑皮有32-x块，

∵黑皮为正五边形，

∴黑皮共有边数为5(32-x)条，

又∵每块白皮有三条边和黑皮连在一起，

∴黑皮共有边数还可表为3x条，由此得方程

5(32-x)=3x，解之得白皮有x=20(块).

∴选(B).

5.解：延长AC与圆相交于E、F，则AF=5+，

AE=5-，

又知AB=6，由相交弦定理AD·AB=AE·AF得

AD===.

∴选(C).

6.解：∵=10，x，y为正整数，

∴、化为最简根式后应与为同类根式，只能有以下三种情况：

+3=+9=4+6=7+3=10，

∴共有三组解，选(C).

7.解：圆中五条弦两两相交，且任何三条弦不交于一点，最多可将圆内区域分为16个部分，

∴欲将圆内区域分为15个部分，只需有两条弦交于圆周上或交于圆外，或者有三条弦在圆内交于一点，如图示.

8.解：∵方程有有理根，∴判别式△1=(2k+3)2-4k为完全平方数.

设(2k+3)2-4k=m2(m为正整数)，即4k2+8k+9-m2=0①

将①式看作关于k的二次方程，由题设知有整数根，故①式的判别式

△2=64-16(9-m2)=16(m2-5)应为完全平方数.而16是完全平方数,

令m2-5=n2(n为正整数，且m＞n)，则有(m+n)(m-n)=5，

∴解得

将m=3代入①式得k=-2或k=0(舍去)，

∴k=-2.

说明：本题也可由△1=4(k+1)2+5为完全平方数直接求得k=-2.

9.解：如图∵S△AOD:S△AOB=OD:OB=OA:OC=S△AOB:S△BOC，

∴S2△AOB=S△AOD·S△BOC，

∴S△BOC==16，

又∵S△COD=S△AOB=12，

∴梯形ABCD的面积S=9+16+12+12=49.

10.解：二次函数y=x2+2ax+(a＜0)的图像如右图，顶点A(-a,-)，图像与x轴的交点为B(x1,0)，C(x2,0)，对称轴与x轴交点为D，则|BC|=|x1-x2|=

===-.

又∵△ABC为等边三角形，