2012年浙江专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题
选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．函数f(x)=在x∈(一∞，+∞)上为( )
A．有界函数
B．奇函数
C．偶函数
D．周期函数
正确答案：A
解析：因为=0，故函数f(x)有界，答案A正确；可验证f(x)非奇非偶函数，所以答案B，C错误，也明显不是周期函数．2．已知f′(x0)=2，当△x→0时，dy为△x的( )
A．同阶无穷小
B．等价无穷小
C．高阶无穷小
D．低阶无穷小
正确答案：A
解析：=f′(x0)=2，所以当△x→0时，dy为△x 的同阶无穷小，即A答案正确．
3．设函数f(x)满足f(0)=1，f(2)=3，f′(2)=5，f″(x)连续，则xf″(x)dx ( )
A．10
B．9
C．8
D．7
正确答案：C
解析：xf″(x)dx=xdf′(x)=xf′(x)f′(x)dx=2f′(2)一f(x)=2f′(2)一f(2)+f(0)=10—3+1=8，选项C正确．
4．由y=，y=1，x=4围成的图形的面积为( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：画图并利用定积分的几何意义，可知所围图形的面积A=dx－3=，因此答案B正确．
5．已知二阶微分方程y″+2y′＋2=e－xsinx，则设其特解y*= ( ) A．e－x(acosx+bsinx)
B．ae－xcosx+bxe－xsinx
C．xe－x(acosx+bsinx)
D．axe－xcosx＋be－xsinx
正确答案：C
解析：二阶微分方程y″+2y′+2=e－xsinx的特征方程为r2+2r+2=0，解得r1＝－1+i，r2＝－1－i，又因λ+ωi＝－1+i是特征方程的根，故取k=1，Rm(x)=1，因此y″+2y′+2=e－xsinx具有的特解形式可设为y*=xe－x(acosx+bsinx)，答案C正确．
填空题
6．－(x+1)]=___________．
正确答案：2
解析：－(x+1)]===2 7．函数y=sin的连续区间为___________．
正确答案：[，1]
解析：该函数在定义域内处处连续，所以解不等式组
，解得定义域为x∈[－，1]．因此所求函数的连续区间为x∈[－，1]
8．已知f′(3)=2，则=___________．
正确答案：一4
解析：由导数定义可得
=－4．9．若函数y=y(x)由方程y=1+xey所确定．则y′=___________．
正确答案：y′=
解析：隐函数方程求导，y′=ey+xey.y′，解得y′=
10．dx=___________．
正确答案：ln｜cscx－cotx｜＋cosx＋C
解析：dx=∫cscxdx－∫sinxdx=ln｜cscx－cotx｜＋cosx＋C
11．极限表示的定积分为___________．
正确答案：dx
解析：利用定积分定义求极限，
=
，此极限为函数f(x)=
在x∈[0，1]上的定积分，即
12．级数的收敛区间为___________．
正确答案：(－1，1)
解析：因为ρ＝＝1，所以幂级数的收敛半径R==1，故收敛区间为(一1，1)．
13．一阶线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的通解为___________．
正确答案：y=e∫－P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]
解析：由一阶线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的通解公式y=e∫－P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]．
14．在xOy平面上与向量a=(4，一3，7)垂直的单位向量是___________．
正确答案：b=
解析：设所求向量b=(x，y，0)，则x2+y2=1 ①；且a.b=0，即4x－3y=0
②由①和②解得，即b=，
0)
15．平面2x+y一z一1=0到平面2x+y一z＋3=0的距离为___________．
正确答案：
解析：可以判断两平面平行，故平面2x+y—z一1=0到平面2x+y—z+3=0的距离可以转换为平面2x+y－z－1=0上任一点到平面2x＋y－z＋3=0的距离，
即d=
解答题解答时应写出推理、演算步骤。
16．设f(x)=在x=0处的连续，求a的值．
正确答案：
==3，
f(x)=a．因为函数f(x)在x=0处连续，所以f(0)=a=3．
17．设f(x)=，求f′(x)
正确答案：当x＞0时，f′(x)=2x当x＜0时，f′(x)=－2e－2x
∴f(x)在x=0处不可导∴f′(x)=
18．设曲线，求其拐点及凹凸区间；
正确答案：据题意，y′=，y″=令y″=0，则可得x=0，x=一2当x＜0时，y″＞0；当0＜x＜2时，y″＜0；当x＞2时，
y″＞0而且当x=0时，y=；当x=2时，y=所以点(0，)和(2，)为拐点凸区间为x∈(0，2)，凹区间为(一∞，0)，(2，+∞)
19．求方程x2=xsinx+cosx根的个数；
正确答案：令函数f(x)=x2一xsinx—cosx，则f(x)在x∈R上处处连续且可导∵f＞0∴在闭区间
上分别应用零点定理可知，分别至少存在一点ξ∈(，0)，
