2.2 匀速圆周运动的向心力和向心加速度
一、从动力学角度分析匀速圆周运动
根据牛顿第二定律，物体的加速度方向和大小都由物体所受到的合外力来决定。我们来看一个具体的例子。
细绳拴着一个小球在光滑水平面上做匀速圆周运动。分析小球的受力。
由于竖直方向上小球始终静止，处于平衡状态，因此重力和支持力合力为0。小球受到的合外力就等于绳子的拉力，沿着绳子指向圆心，由牛顿第二定律可知向心加速度的方向也是指向圆心。从这个例子，我们看出做匀速圆运动的物体受到的合外力一定是沿着半径指向圆心的，因此称为向心力。
1、向心力：
做匀速圆周运动的物体受到的合外力又称为向心力。
以前，我们经常是对物体受力分析，得到合外力的方向，进而确定加速度的方向。现在，对于做圆周运动的物体，我们更经常的是反过来。如果已经知道一个物体在做匀速圆周运动，那么，那么它的加速度一定是指向圆心的，因此合外力的方向（对匀速圆周运动来说也就是向心力的方向）也就是指向圆心的。需要注意的是，虽然我们从向心加速度反推物体合外力的方向，但是要清楚：力是产生加速度的原因，力决定了加速度的方向，而不是加速度决定了力的方向。
2、向心力的大小：
根据牛顿第二定律，
3、向心力是效果力
受力分析时不应画在受力图示中。受力图中出现的应该是性质力。
【引入】：小球在光滑的圆锥桶内做匀速圆周运动，分析其受力情况。
【提问】：下图中的受力分析正确吗？
从上面向心力的定义知道，向心力是做匀速圆周运动的物体受到的各个外力的合力，因此在上面受力分析图中不应该与重力、支持力同时画在一起。从另外一个角度看，上面受力
分析图中，重力的施力物体是地球，支持力的施力物体是圆锥桶壁，那么所画的向心力的
施力物体是谁呢？不能明确的说出来。受力分析时，找不出明确的施力物体的那个力，是不存在的，不应该出现在受力分析图中。
其实，像重力、支持力、摩擦力等，是按照力的性质来命名的，称为性质力。像在光滑斜面上的物体，我们所说的下滑力是按照作用效果——使物体沿斜面下滑，来命名的，其实它是重力沿斜面的分力，在受力分析图中不应该单独出现。同样的，向心力也是按照作用效果来命名的，因此在上面的受力分析中不应该出现。正确的受力分析图是下图所示。
【注】受力分析图中，所画的都是性质力；向心力是效果力，不应画在图中。
4、用牛顿定律写出上面两个模型中小球的受力分析方程。
（1）因为小球做在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合外力就等于小球做匀速圆周运动所需要的向心力，即。
又因为，，联立可得：。如果小球的速度大小告诉我们，就可以由此式求出绳子的拉力大小来。
（2）因为小球做在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合外力就等于小球做匀速圆周运动所需要的向心力，即。
为求小球的合外力，建立正交直角坐标系，沿半径指向圆心方向为x轴，竖直向上为y
轴。列出方程组如下：。
注意，其中的半径是小球运动的圆的半径。
5、分析小物块放在圆盘上，随着圆盘一起做匀速圆周运动。
因为小球已经做匀速圆周运动了，所以它受到的合外力一定指向圆心，就是向心力，即
。竖直方向上，重力与支持力平衡，对于提供物块匀速转动所需要的向心力没有直接的贡献，因此向心力一定只能由物块所受到的静摩擦力完全提供（因为没有发生相对滑动，所以是静摩擦力）。从而，小物块受到的静摩擦力的方向是指向圆心的。
从这个角度，我们判断出摩擦力的方向是指向圆心的。
可是有的学生会疑惑，摩擦力的方向应该与物体运动方向相反，因此应该是与物块速度的方向相反才对啊。如何解释呢？
要注意，摩擦力的方向是与物体相对运动的方向或者相对运动趋势方向相反。采用假设法，假设圆盘变光滑了，物块在惯性的作用下沿刚才的速度方向做匀速直线运动，离开原位
置一小段距离，原先与物块相接触的圆盘上的一点，也会转过一小段圆弧。如果考虑很短的一段时间，那么物块现在的位置、原先与物块相接触的圆盘上的那一点以及圆心三点应该在一条直线上。这样看来，物块相对原先圆盘上的那点的运动趋势方向是背离圆心的，因此静摩擦力的方向是指向圆心的。
两个途径得到的结果是相同的。
二、向心加速度a n
1．向心加速度的方向
质点做匀速圆周运动时，它在任一点的加速度都是沿着半径指向圆心。
既然向心加速度的方向是沿着半径指向圆心，所以任一时刻，向心加速度与线速度的方向总是相互垂直的，因而质点做匀速圆周运动的过程中，速率保持不变。
2．向心加速度的大小
a n==ω2r==ωv
由于质点做匀速圆周运动的过程中，T是不变的，所以质点的向心加速度的大小是恒定不变的。
那么匀速圆周运动的向心加速度a n是不是恒定不变的呢？
由于质点在某一点的向心加速度的方向总是沿着半径指向圆心，所以运动过程中加速度的方向是不断变化的，因而加速度并不是恒定不变的。所以匀速圆周运动不是匀变速运动，是变加速运动。
3．说明
向心加速度a n=这个公式不但适用于匀速圆周运动，也同样适用于变速圆周运动。
三、变速圆周运动
【引入】：单摆做的是竖直平面内圆周运动的一部分。分析单摆的受力情况，并思考：（1）单摆做的是匀速圆周运动吗？
（2）单摆做圆周运动的向心力是由谁提供的？
图：
解析：（1）将重力分解为沿半径方向的G1和垂直半径方向的G2。可知，G2与速度的方向
相同，改变速度的大小，因此单摆做的不会是一个匀速圆周运动，而实际上是一个变速圆周运动。
（2）由于向心力是指向圆心的，而绳子的拉力和重力的合力不可能指向圆心，因此不能说小球做单摆运动的向心力是由绳子的拉力和重力提供的，而应该叙述为：绳子的拉力和重力沿绳子方向的分力G1提供了小球做变速圆周运动的向心力。
【总结】：做变速圆周运动的物体，合外力不指向圆心。向心加速度是其受到各个外力的合力沿着半径指向圆心的分量。
那么，在半径这个方向上，牛顿向心力的表达式仍然成立，因此有方程：，r就是绳长。
四、离心运动
汽车转弯时，如果速度增大，仍从这个弯道转弯通过，所需要的向心力就变大。当静摩擦力不足以提供汽车以这个速度从这个半径做圆周运动时，汽车就会偏离圆轨道，远离圆心，称为离心运动。
1、离心运动：
做圆周运动的物体，当速度增大时，维持这个半径做圆周运动所需要的向心力也增大。当外力不足以提供物体以这个半径做圆周运动所需要的向心力时，物体将做远离圆周的离心运动。
2、向心运动：
做圆周运动的物体，当速度减小时，维持这个半径做圆周运动所需要的向心力也减小。当外力大于物体以这个半径做圆周运动所需要的向心力时，物体将做靠近圆周的向心运动。
3、实际生活，应用离心现象的实例：
（1）生物实验室中，血清血浆的分离，使用的离心机就是离心现象的一种实际应用。
（2）洗衣机给衣服脱水也是利用了离心现象。
（3）原子弹制造中很重要的一步就是浓缩铀，也是利用了离心现象。
（4）一种名叫“离心浇铸”的先进技术，也得益于这种现代分离术。当模具绕一固定轴旋转，达到500转每分时，将融化了的液态金属倒入其中，它将以巨大的惯性离心力向模具壁紧压，同时夹杂在液态金属里的气体和熔渣，由于其密度远小于液态的金属，因此它们必将从金属里被分离出来跑向模具的空处。按此法浇铸出的金属零件密实、均匀，而且不含气泡和裂痕，从而大大提高了使用寿命。
（5）啤酒何以清澈透亮？也与离心分离密切相关。因为，在麦汁中含有一种极不稳定的冷凝固物，应尽量减少其含量才能保证成品啤酒不致出现冷混浊现象。然而，这种冷凝固物的粒子极为微小，直径仅有0.1到0.5微米，很难除净。但若采用高速离心机进行分离处理，就比较容易实现净化。因为，这种粒子虽然微小，但由于与液体之间存在密度差，所以一旦进入强大的离心力场后，二者立即“分道扬镳”，从而可以很容易把冷凝固粒子剔除。
（6）从葵花籽中提取植物油，首先必须剥壳，这也不能不求助于离心国，因为壳与仁的密度不相同，因此它们来到离心国后就必然闹分家。20世纪80年代初问世的国产“多层离心式葵花籽剥壳机”，其甩盘直径虽只有0.5米，但一天足可脱壳100吨，相当于100000个“巧嘴媳妇”。
