《随机信号分析》2011试题

填空：1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（x）则F（-∞）=0, F（+∞）=12.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合3.如果随机过程X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称X(t)为广义平稳随机过程4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布,而相位服从均匀分布6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ）=25+4/（1+6τ），则其均值为5或-5,方差为4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。

1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定1.白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。

3.对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。

4.冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________。

5.偶函数的希尔伯特变换是奇函数。

6.窄带随机过程的互相关函数公式为P138。

1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程，离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。

第十章随机过程的基本概念1、利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程出现正面与反面的概率相等。

求：的一维分布函数和，的二维分布函数。

解：以随机变量Y记抛掷硬币的实验结果，则且<1）、当时，若，则；若，则。

于是类似可得<2）、当时，若，则；若，则。

于是2、设随机过程是。

随机变量，概率分布列为求；<1）、一维分布函数和； <2）、二维分布函数。

解：<1）因为，可取值为, ,<将A 代入即得），而,,. 所以因为.只能取0值,故(2>、因为，由所以3、设随机过程，其中与是相互独立的随机变量，均服从标准正态分布。

求的一维和二维分布。

解：因为对任意固定的是正态随机变量，故所以，服从正态分布，从而也是随机过程的一维分布。

其次，对任意固定的，则依维正态随机向量的性质，服从二维正态分布，且所以，二维分布是数学期望向量为<0，0），协方差矩阵为的二维正态分布。

4、设随机过程，其中为常数，是服从标准正态分布的随机变量。

求的一维分布函数和协方差函数。

解：故的一维分布函数为。

协方差函数是随机过程在任意两个时刻和的状态和的二阶中心混合矩其中故其中5、已知随机过程的均值函数和协方差函数是普通函数。

求随机过程的均值函数和协方差函数。

解因为是普通函数，有，故6、设有随机过程和任一实数，定义随机过程证明：和分别是的一维和二维分布函数。

解：设的一维和二维概率密度分别为和，则若考虑到对任意的是离散型随机变量，则有7、随机相位正弦波其中是正常数。

是在内均匀分布的随机变量。

求的概率密度函数、均值函数、方差函数和相关函数。

b5E2RGbCAP解：因为的概率密度函数为所以：1）、依特征函数的定义，有：<1）故由积分的性质，若是周期为的周期函数，则故 <2）比较<1）和<2）式得，的概率密度函数为2）、由定义，得3）、令，则，得8、设有两个随机过程与，其中为常数，为上均匀分布的随机变量。

由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。

给大家造成的不便，敬请谅解随机信号分析 第三章习题答案、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。

求（1）证明X(t)是平稳过程。

（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。

（3）画出该随机过程的一个样本函数。

（1）（2）3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解[][]()[]2()cos 211,cos 5cos 22X E X t E A E t B A B R t t EA τττ=++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立()()()21521()lim2TT T E X t X t X t X t dt AT-→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程()()[]()()4112211222222242'4(1)24()()444(0)41132(1)224414414(2)121tan 13224X X XE X t G d RFG F e R G d d d arc x x ττωωωωωππωωπωωπωπωω∞----∞∞-∞-∞∞--∞∞⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦====+==⎛⎫+ ⎪==⎣⎦=++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一()方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功)2d ω=3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。

证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-[][]:()[()()]{()()}{()(}2()()()()()()()()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j T R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-⇒⇒=+=--+-+-=--=+=-⇔⇔∴=-+-=已知平稳过程的表达式利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳换的延时特性2()2()22()(1cos )j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为216()16X G ωω=+22()16Y G ωωω=+令新的随机过程()()()()()()Z t X t Y t V t X t Y t =+⎧⎨=-⎩ ①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R eE Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。

1. 有四批零件，第一批有2019个零件，其中5%是次品。

第二批有500个零件，其中40%是次品。

第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。

我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。

（1） 问所选零件为次品的概率是多少？（2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？ 解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。

（2）发现次品后，它来自第二批的概率为， 2. 设随机试验X求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。

解：()()()()0.210.520.33f x x x x δδδ=-+-+- 3. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。

解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为4.求：（1）X 与的联合分布函数与密度函数；（2）与的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。

（北P181,T3） 解：（1）（2） X 的分布律为 Y 的分布律为（3）Z XY =的分布律为 （4）因为 则X 与Y 的相关系数0XY ρ=，可见它们无关。

5. 设随机变量()~0,1X N ，()~0,1Y N 且相互独立，U X YV X Y =+⎧⎨=-⎩。

（1） 随机变量(),U V 的联合概率密度(),UV f u v ；（2） 随机变量U 与V 是否相互独立？ 解：（1）随机变量(),X Y 的联合概率密度为由反函数 22u v x u vy +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，1112211222J ==--， （2）由于, 222244414uv u v e π+---⎛⎫⎛⎫=⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎭所以随机变量U 与V 相互独立。

6. 已知对随机变量X 与Y ，有1EX =，3EY =，()4D X =，()16D Y =，0.5XY ρ=，又设3U X Y =+，2V X Y =-，试求EU ，EV ，()D U ，()D V 和(,)Cov U V 。