高二数学选修4-5 数学归纳法与不等式

又 a，b，c 为正实数，∴a＋b＋c>0.
∴ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
利用柯西不等式求最值
[例 3] 设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6 的最大值．
[思路点拨] 本题考查三维柯西不等式的应用，解答本题 需要利用好特定条件，设法去掉根号．
[精解详析] 根据柯西不等式 120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)] ≥(1× 2x＋1＋1× 3y＋4＋1× 5z＋6)2， 故 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6≤2 30.
2．设 a，b，c 为正数，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
证明：∵ab2＋bc2＋ca2(a＋b＋c)
＝
a 2＋ b
b 2＋ c
ca2·[(
b)2＋(
c)2＋(
a)2]
≥
a b·
b＋
b c·
c＋
c a·
a2＝(a＋b＋c)2，
即ab2＋bc2＋ca2(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，
8．已知 x，y，z 均为正实数，且 x＋y＋z＝1，则1x＋4y＋9z的最小值 为________．
解析：利用柯西不等式．
由于(x＋y＋z)1x＋4y＋9z ≥
x·1x＋
y·2y＋
z·3z2＝36，
所以1x＋4y＋9z≥36.
当且仅当 x2＝14y2＝19z2，即 x＝16，y＝13，z＝12时，等号成立．∴
≥a1＋a2＋…＋an，
∴ a12＋a22＋…＋a2n· n≥a1＋a2＋…＋an.
即得
a21＋a22＋n …＋a2n≥a1＋a2＋n …＋an，∴P≥Q.
答案：B
二、填空题 5．设 a，b，c，d，m，n 都是正实数，P＝ ab＋ cd，Q＝

评估验收卷(四)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是( )A．若一个命题当n＝1，2时为真，则此命题为真命题B．若一个命题当n＝k时成立且推得n＝k＋1时也成立，则此命题为真命题C．若一个命题当n＝1，2时为真，则当n＝3时此命题也为真D．若一个命题当n＝1时为真，n＝k时为真能推得n＝k＋1时亦为真，则此命题为真命题解析：由数学归纳法定义可知，只有当n的初始取值成立且由n＝k成立能推得n＝k＋1时也成立时，才可以证明结论正确，二者缺一不可．A，B，C项均不全面．答案：D2．等式12＋22＋32＋…＋n2＝12(5n2－7n＋4)( )A．n为任何正整数时都成立B．仅当n＝1, 2，3时成立C．当n＝4时成立，n＝5时不成立D．仅当n＝4时不成立解析：把n＝1，2，3，4，5代入验证可知B正确．答案：B3．用数学归纳法证明不等式1＋123＋133＋…＋1n 3＜2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋123＜2－12B ．1＋123＋133＜2－13C ．1＋123＜2－13D ．1＋123＋133＜2－14解析：因为n ≥2，所以第一步验证不等式应为n ＝2时1＋123＜2－12. 答案：A4．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N ＋)，则f(n ＋1)－f(n)等于( ) A.13n ＋2B.13n ＋13n ＋1C.13n ＋1＋13n ＋2D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2 解析：因为f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n －1，所以f(n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2，所以f(n ＋1)－f(n)＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.答案：D5．已知f(n)＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( ) A ．f(n)中共有n 项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13B ．f(n)中共有n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13＋14C ．f(n)中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13D ．f(n)中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13＋14解析：本题主要考查数列的概念．由n 到n 2一共有整数n 2－n ＋1个，所以f(n)有n 2－n ＋1项， 当n ＝2时代入得，f(2)＝12＋13＋14. 故本题正确答案为D.答案：D6．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(k ∈N ＋)B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(k ∈N ＋)C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(k ∈N ＋)D ．假设n ≤k(k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k ∈N ＋)。

思考2：若给出a1 ＝1,则数列{an}的通 项公式是什么？若给出a1 ＝2,则数列 {an}的通项公式是什么？如何理解你的 结论？
an = 1 n
an = 2 2n - 1
思考3：已知数列{an}满足a1＝1,an+1＝ 2an＋3,利用上述思想如何证明数列{an} 的通项公式是＝2n+1-3？
探究一：数学归纳法的感性认识
思考1：某人想排队进展览馆参观,不 知自己能否进得去,于是问组织者,答 曰:只要你前一个人能进去,你就能进 去.那么此人能进去参观吗？若每个排 队的人都能进去参观,需要什么条件？
(1)第一个人进去；
(2)若前一个人进去,则后一个人也能 进去.
探究一：数学归纳法的感性认识
思考2：有若干块骨牌 竖直摆放,若将它们全 部推倒,有什么办法？ 一般地,多米诺骨牌游 戏的原理是什么？ (1)推倒第一块骨牌； (2)前一块骨牌倒下时 能碰倒后一块骨牌.
探究一：数学归纳法的感性认识
思考3：某人姓王,其子子孙孙都姓 王吗？某家族所有男人世代都姓王 的条件是什么？ (1)始祖姓王； (第1代姓王)
探究二：数学归纳法的基本原理
思考1：已知数列{an}满足 a
a (n∈N*),假设当n＝k时，
k
n+1
=
an 1 + an
=
1 k
,则当
n＝k＋1时,ak＋1等于什么？若假
设a
k
=
2 2k -
,则ak＋1等于什么？ 1
1
a k+ 1 = 2 2(k + 1) 1
a k+ 1 =
k + 1
探究二：数学归纳法的基本原理
探究二：数学归纳法的基本原理

高二数学选修4-5 几个著名的不等式之一：柯西不等式目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。

这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。

1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。

证明：几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A （b a ,），B （d c ,），那么它们的数量积为bd ac +=•βα， 而22||b a +=α，22||d c +=β，所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

3、定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则： 分析：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设n 为大于1的自然数，ii b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：211212)(∑∑∑===≥ni i i ni in i i b a ba ，其中等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。

证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-=即构造了一个二次函数：∑∑∑===+-=ni i n i i i ni ib x b a x ax f 121212)(2)()(由于对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，则其0≤∆， 即：0))((4)(4121221≤-=∆∑∑∑===ni i n i i ni i i b a b a ，即：))(()(121221∑∑∑===≤ni i ni i n i i i b a b a ，等号当且仅当02211=-==-=-n n b x a b x a b x a ，即等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。