高考数学二轮复习 考前专题七 概率与统计 第2讲 概 率讲学案 理

第2讲 概 率

1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用．

2.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力．

热点一 古典概型和几何概型

1．古典概型的概率

P(A)＝mn＝A中所含的基本事件数基本事件总数.

2．几何概型的概率

P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.

例1 (1)有2个男生和2个女生一起乘车去抗日战争纪念馆参加志愿者服务，他们依次上车，则第二个上车的是女生的概率为( )

A.23 B.12

C.13 D.14

答案 B

解析 设两男两女分别为a1，a2，b1，b2，则基本事件分别是(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，a2)，(b1，a1)，(b1，b2)，(b2，a2)，(b2，a1)，(b2，b1)，基本事件总数n＝12，其中第二个上车的是女生的基本事件数m＝6，所以概率P＝12，故选B.

(2)(2017届江西省重点中学盟校联考)如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，过C，M，D三点的抛物线与CD围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是( )

A.16 B.13

C.12 D.23

答案 D

解析 以M为原点，BA所在直线为y轴，BA的垂线为x轴，建立平面直角坐标系，则过C，

M，D的抛物线方程为y2＝12x，则图中阴影部分面积为2ʃ2012xdx＝2320223x＝83，所以落在阴影部分的概率为P＝834＝23，故选D.

思维升华 (1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．

(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性．

(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．

跟踪演练1 (1)(2017·山东)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )

A.518B.49 C.59D.79

答案 C

解析 方法一 ∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，

∴P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝59×48＝518，

P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝49×58＝518，

∴P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝518＋518＝59.

故选C.

方法二 依题意，得P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝5×4C29＝59.故选C.

(2)RAND(0,1)表示生成一个在(0,1)内的随机数(实数)，若x＝RAND(0,1)，y＝RAND(0,1)，则x2＋y2<1的概率为( )

A.π4 B．1－π4

C.π8 D．1－π8

答案 A

解析 此概率表示几何概型，如图，表示阴影的面积与第一象限正方形

面积的比值，P＝π41＝π4，故选A.

热点二 相互独立事件和独立重复试验

1．条件概率

在A发生的条件下B发生的概率

P(B|A)＝PABPA.

2．相互独立事件同时发生的概率

P(AB)＝P(A)P(B)．

3．独立重复试验、二项分布

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为

Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.

一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cknpkqn－k，其中0

例2 (1)(2017届江西赣州二模)如图，ABCD是以O为圆心、半径为2的圆的内接正方形，EFGH是正方形ABCD的内接正方形，且E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．将一枚针随机掷到圆O内，用M表示事件“针落在正方形ABCD内”，N表示事件“针落在正方形EFGH内”，则P(N|M)等于( )

A.1π B.22

C.12 D.14

答案 C

解析 由题意得，圆O的半径为2，

所以内接正方形ABCD的边长为AB＝22，

则正方形ABCD的面积为S1＝(22)2＝8，

因为E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，

所以EF＝12×2R＝2，

所以正方形EFGH的面积为S2＝22＝4，

所以P(N|M)＝48＝12，故选C.

(2)如图所示，某快递公司送货员从公司A处准备开车送货到某单位B处，有A→C→D→B，A→E→F→B两条路线．若该地各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示(例如A→C→D算作两个路段，路段AC发生堵车事件的概率为16，路段CD发生堵车事件的概率为110)．若使途中发生堵车事件的概率较小，则由A到B应选择的路线是______________．

答案 A→E→F→B

解析 路线A→C→D→B途中发生堵车事件的概率

P1＝1－1－16×1－110×1－25＝1120，

路线A→E→F→B途中发生堵车事件的概率

P2＝1－1－15×1－18×1－15＝1125.

因为1125<1120，所以应选择路线A→E→F→B.

思维升华 求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点

(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，分析复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．

(2)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．

跟踪演练2 (1)(2017届河北省石家庄市二模)现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地一次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为( )

A.310 B.25

C.12 D.35

答案 C

解析 因为5道题中有3道理科题和2道文科题，所以在第一次抽到理科题的前提下，第二次抽到理科题的概率为P＝24＝12.故选C.

(2)(2017届上海市宝山区二模)生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.960 3，则p＝________.

答案 0.03

解析 “不是废品”这一事件，要保证第一次正品，第二次也是正品，所以概率P＝(1－0.01)(1－p)＝0.960 3，解得p＝0.03.

热点三 离散型随机变量的分布列

1．离散型随机变量的分布列的两个性质

(1)pi≥0 (i＝1,2，…，n)；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.

2．期望公式

E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.

3．期望的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；

(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np.

4．方差公式

D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，标准差为DX.

5．方差的性质

(1)D(aX＋b)＝a2D(X)；

(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．

例3 (2017·全国Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高

气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)

天数 2 16 36 25 7

4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的期望达到最大值？

解 (1)由题意知，X所有的可能取值为200,300,500，

由表格数据知，

P(X＝200)＝2＋1630×3＝0.2，

P(X＝300)＝3630×3＝0.4，

P(X＝500)＝25＋7＋430×3＝0.4.

则X的分布列为

X 200 300 500

P 0.2 0.4 0.4

(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.

当300≤n≤500时，

若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；

若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；

若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，

因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.

当200≤n<300时，

若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；

若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，

因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.

所以当n＝300时，Y的期望达到最大值，最大值为520元．

思维升华 求解随机变量分布列问题的两个关键点

(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率．

(2)求随机变量的期望与方差的关键是正确求出随机变量的分布列．若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式法求解．

跟踪演练3 (2017·江苏省苏锡常镇四市调研)已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n局得n分(n∈N*)的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．

(1)求在一局游戏中得3分的概率；

(2)求游戏结束时局数X的分布列和期望E(X)．

解 (1)设在一局游戏中得3分为事件A，

则P(A)＝C12C12C11C35＝25.