各高校自主招生数学试题
- 格式：docx
- 大小：36.75 KB
- 文档页数：9
自主招生试题特点：试题难度高于高考，有的达到竞赛难度，试题灵活，毫无 规律可寻，但各个学校有自己命题风格。一般说来，各高校对后续性的知识点： 如，函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。
应试策略：1、注重基础：一般说来，自王招生中，基础题目分数比例大约占60-70%
2、 适当拓展知识面，自主招生中，有不少内容是超出教材范围
3、 对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手，并进行分析。
方程的根的问题：
2
1. 已知函数f(x)=ax ，且f(x) = x没有实数根•那么f(f(x))=x是
否有实数根？并证明你的结论. (08交大)
4 3 2 2. 设f (x^ (1 a)x x - (3a 2)x - 4a，试证明对任意实数 a :
(1) 方程f(x) =0总有相同实根；
(2) 存在Xo，恒有f(xo)=O . (07交大)
3. (06 交大)设 k _9,解方程 x3 2kx2 k2x 9k 2^0
4. (05复旦)在实数范围内求方程： 410 x 4^x =3的实数根.
3 2 5. (05交大)x ax bx ^0的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数，
求a,b,c的值.
6.解方程：.求方程 , x 2 x 2\ x 2、：3x (n重根)的解.(09交大)
凸函数问题
1. (2009 复旦)
如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意 x，y都满足
f( x) f ( y )，则称这个函数时下凸函数，下列函数
2
_ 3
(2) f(X)一 X
x,x < 0,
:
2x, x - 0, x 丁 y f (- 2
(1) f (x)
(3) f (x)
(4) f (x) log2x ( x 0 ) )-
中是下凸函数的有 TC
2. （06复旦）设x"（ 0，-），且X1-x2,下列不等式中成立的是:
(1)1 (tanxi+tanx2)>tan 勺 空；(2) 1 (tanxi+tanx2)
(3) (sinxi+sinx?) >sin 1 2 ； (4) (sinx,+sinx2)
A. (1),(3) B. (1),(4) C. (2),(3) D. (2),(4)
柯西不等式
设a1? a2, , an及bp b2, , bn为任意实数，则 佝0 - a2b2亠'亠anbn）2
_（a； • a； • afXb； • b； • b；）,当且仅当色=更二…=如
bl b2 bn
（规定ai =0时，bi =0）时等号成立。
2 2
1. _______________________________________________________________ （03交大）已知x, y € R+ , x+2y= 1，贝U — —的最小值是 _____________________________ .
x y
2. 已知 2x+3y+4z=10 求 x2+y2+z2 的最小值。
3. P ABC内一点，它到三边 BC CA、AB的距离分别为d1.d2.d3 , S ABC的面积，
2 a b c （a b c） ”
求证： .（09南大） d1 d2 d3 2S
4. 给定正整数n和正常数a,对于满足不等式 a 2 a 2乞a的所有等差数列a1,a 2,a 3,…,
1 n 1
2n 1
和式E ai的最大值= ________ . （07复旦）
i =n 1
f 5a / C. (n 1); 2
5. （07复旦）当a和b取遍所有实数时，贝U函数f（a,b） =（a ^3cosb）2 （a-2s in b）2
所能达到的最小值为 ________________ .
A.1; B.2; C.3; D.4.
基础题
x A. (1)(2) B. (2)(3) 53)(4) D.(1)(4)
3. （09，清华） x 0, y 0, x y = 1, n N ,证明: 1 2 2n J
A.4n 1); 2 〒5a D.- 1.求f （x^—的单调区间及极值.（2007年清华） x 2.设正三角形Ti边长为a , Tn 1是Tn的中点三角形，
An为Tn除去Tn 1后剩下三个三角形内切圆面积之和
n
求lim ' A .（2007年清华）
n -k4
3. 圆内接四边形 ABCD中，AB= 1, BC= 2, CD= 3, DA= 4,
求ABCD的外接圆半径.（北大2009）
4. 已知一公差为正整数无穷项等差数列，其中有 3项：13, 25, 41.
求证：2009为数列中一项.（2009，北大）
6.已知a b为非负数，M=a4 ・b4,a・b=1，求M的最值.（06,清华）
7. 已知sin二、sin 、cos二为等差数列，sin 、sin :、cos 为等比数列，求
1
cos 2 cos 2 的值.（06,清华） 2
8. 比较log 24 25与log 25 26的大小并说明理由.（04复旦）
75+1
9. 求证：边长为1的正五边形对角线长为. （08北大）• 2
10. 四面体 ABCD 中,AB=CD,AC=BD,AD=BC 。
（1） 求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形。
（2） 设底面为BCD，设另外三个面与面 BCD所形成的二面角为 a 3, Y
求证： cos a +COS3 +COSYo=1
11. (09 清华)(1) x 0, y 0, x y = 1, N ,证明:
a b c
(2)已知x, y, z>0, a, b, c是x, y, z的一个排列。求证： 3。
x y z
12. 求所有3项的公差为8的自然数数列，满足各项均为素数。
13.求所有满足 tan A +tan B + tan C 兰[tan A] +[tan Bp [tan C]
的非直角三角形（这里 x 1表示不超过x的最大整数）
（2009年南京大学自主招生试题 ）
14. 求由正整数组成的集合 S，使S中的元素之和等于元素之积 （06，清华）。
5 1
15. -j5——的整数部分为 A，小数部分为 B。 5. 求最小正整数 1 1
n，使得匕十爲为纯虚数，并求出 I . (06,清华)
/ 、w 丄 / 、，？ X
A(X) f B(x)
使f (x) = 0有一个根为：＜2 ' 3 3 ( 2009清华) 19..通信工程中常用n元数组(64243,……an)表示信息，其中4=0或1, i、n N •设
U=(a1a03 --a- )n , V=(b1,d,b3 .................................... bn), d(u,v)表示u和v中相对应的元素不同的
个数.
(1) u = (0,0,0,0,0)问存在多少个5元数组v使得d(u, v) = 1；
(2) u =(1,1,1,1,1)问存在多少个5元数组v使得d(u,v)=3 ;
(3) 令 w = (0,0,0……0), u - (a1, a2, a3 ................ an) , v = (4, b2, b3 .................. bn),
n个 0
求证：d(u,w) d(v,w) _d(u,v) . (08 交大)
20 .证明：若f (f (x))有唯一不动点，f (x)也有唯一不动点(09交大)
21.已知A(-1,-1) , △ ABC是正三角形，且 B、C在双曲线xy=d(x 0) 一支上.
⑴求证B C关于直线y=x对称； (1 )求 A,B; (2)求 A2 B2 竺;
2
(3)求 lim( B2 B2
n_ic HI Bn)。( 09，清华)
16. (09复旦)•定义全集 X的子集A X的特征函数为
这里，C xA表示A在X中的补集。 C
XA, X
对A, BU X,下列命题中不准确的是 ___________________ . f A(X)= I；" A, 那么,
B. C XA(X)二 1 f A(x)，?x X
c. A -B(x) (x) f B(x)， ?x x
D. (x )
A 一 B ' )
17. ( 09复旦).半径为
是 A(X)+ f B(x)， ?xX
R的球内部装4个有相同半径r的小球，则小球半径 r的最大可能值
A. 「3
2「3 R
中等题
18.给出一个整系数多项式 B. C. —1— R D.
f (x) =anXn a n」xn‘ • III s^x a；, ⑵求△ ABC的周长.(07,清华)
22. 是否存在实数 x,使tanx • 3,cotx •均为有理数？ (09,北大)
2
23. 对于集合M匚R，称M为开集，当且仅当- Po • M , r 0 , 使得｛PER2||PPo| vr｝§M .
判断集合｛(x,y) 4x 2y _5 0｝与｛(x, y) x _0,y 0｝是否
为开集，并证明你的结论.(2007年清华)。
24.｛an｝首项为 a,公差为 b,「bn ?首项为 bi,公比为 a(a,b - N*)且印=a ：：： d =
b ：：： a2 ：：： b2 ：：： a3 ⑴求a的值.(2)若-Jm,n・N*使am - 1 = bn,求b的值.
m
⑶在⑵的条件下，求ai.
i 二
a3 2a
29. (03交大)求证：a 3a 1为最简分式.
30. (04复旦)若存在 M，使任意 “ D ( D为函数f (x)的定义域)，都有f (x) WM ,
1 1 1
则称函数f (x)有界•冋函数f (x) sin 在x (0,—)上是否有界？
x x 2
2
31 •对于集合M匚R，称M为开集，当且仅当- Po • M , r 0 , 25.定义在R上的函数f x xh_
4 +2 Sn 口 n=2,3,…
n
(1)求Sn ； (2)是否存在常数 M>0, -n_2, 1 1 1
有 M . （05复旦）
S2 S3 Sn 1
26 .已知线段 AB长度为3，两端均在抛物线 x 二y2上，试求AB的中点M到y轴的最短
距离和此时M点的坐标.(07交大)
27.有限条抛物线及其内部能否覆盖整个平面？并证明。
(09清华) (抛物线内部指焦点所在的一侧)
28.数列「aj满足 ％ 1 =2a； -1 , a^1 且 aN- 1，其中 N 「2,3,4,|爪
①求证：a1 <1 ;
②求证: a1
