灰色关联分析法
根据因素之间发展趋势的相似或相异程度，亦即“灰色关联度”，来衡量因
素间关联程度。
灰色关联分析法的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。
根据评价目的确定评价指标体系，
为了评价×××我们选取下列评价指标：
收集评价数据（此步骤一般为题目中原数据，便省略）
阶矩阵：m*n n 组数据序列排成将m 个指标的
K??(1)(1)x(1)xx'''n12??'(2)x''K(2)xx(2)??n1'''K2?(X,X,X,)
n12??MMMM????'')(mx'?)(mx K)mx(n?12对指标数据进行无量纲化
为了消除量纲的影响，增强不同量纲的因素之间的可比性，在进行关联度
变换。
无量纲化后的数据序列形...计算之前，我们首先对各要素的原始数据作成如下矩阵：(1)x?0??(2)x K(2)x2)(x x(2)?n1?10K?X,X,),(X
K(1)x?n10n??)(nx K)(nx)(nx??n10M?M M''''?M
确定参考数据列
作为参考数据列，记作...，我们选取为了比较...【评价目的】
T)),x(nX(x(1),x(2),K?0000
*min(*,*,*,*,*,*)(kmin)x(k)xmin???i0)x(kx(k)?，得到绝对差值矩阵计算i0
*max(*,*,*,*,*,*))kx(k)maxmaxx(???i0求两级最小差和两级最大差
mn1i?1?k)x(kxmaxmax(k)??xxminmin(k)?(k)??由关联系数计算公式
ii00?k)(?mn i x(k)?x(k)??maxmaxx(k)?x(k)?ii001?k?i1
求关联系数
，取kiki
ki?＝，分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数，得关联系数0.5如下：)((1) (1)? 1== ???)()( ( )? 1计算关联度
分别计算每个评价对象各指标关联系数的均值，以反映各评价对象与参考
?序列的关联关系，并称其为关联度，记为：。
经过计算得到关联?r(k)? m1
ii0m1k?度：
?????rrr...R?030102
如果各指标在综合评价中所起的作用不同，可对关联系数求加权平均注] [m1?为各指标权重。
（）式中值即W k=1,L)(kW?m,?r??ki0ik m1?k根据关联度矩阵得出综合评价结果
个被评价对象由好到劣*如果不考虑各指标权重（认为各指标同等重要），。
依次为：
如果存在多个参考数据列，则为优度分析问题，类似的得到关联度矩阵如
下：
rrr????131112?rrR?????r????232122????r rr????33 3231
从上述关联度矩阵，可以得到如下几点结论：
=max?，它大的优势ｉ代表的指标】占有最表明，在．．由．中，【1i i。
，．【参考指标】的贡献最大，其次是，，对．．
=max?代表的指标】联系最为紧密的i...【*、由*中，与*表明，在、ij i。
标】代表的指【是...j
见公式、初值化法((见公式(1.1)) [注]常用的无量纲化方法有均值化法
等．或采用内插法使各指标数据取值范围见公式(1.3))(1.2))和标准化变换(（或数量级）相同．'x)k(x?(k)i(1.1)1im'?x(k)i m
x(1.2)?k)(i i'x)k(i
1k?'x)k(
x x?(1.3)s
原始数据[SY1]:Comment GM(1,1)灰色系统预测模型
波动变化而不是指使用条件数增长时，个（大数据、小数据都可精准预
测）4 1.数据量不少于灰色预测适用于原始数据非负的，2.具有较强指数规律的序列。
需要用到二次指数(0)?有：与级比发展系数3. 对于a k(1,1)GM
的可容区间为2)a?2,(平滑法来处理原始0.3a??(1,1) 可以用作中长期预测；时，当【见灰色模数据：0.5??a0.3?(1,1) 可用作短期预测中长期慎用；时，当0.8?0.5??a(1,1) 作短期预测慎用；时，当的平型1) GM (1,1??a?0.8(1,1) 模型；时，用残差修正当
1a??(1,1) 模型。
时，不宜采用当滑改进及其应用】7.3891)(0.1353,)ee,((0)22??的可容区间为=k此处可理解为数[SY2]:Comment值积分中的梯形公式建模步骤∫(1)(1)= ) ( ( )(0)(0)(0)(0)，它们满足2...n?1,?0,xx(1),x(2)......(n)kx(k)1?。
设原有数据序列注意剔除异常数据；如原始数据不是非负时作平移变换，令[(0)(0) )+ ()= ( 。
]+求级比，并作建模可行
性分析1.根据级比公式(0)1)?x(k??(k)(0)(k)x，() ) =((0), (1),…( )=求得2?2(e(k)?0)(+1n?),e1?n 有当对所有的k (1,1) 建模。
时，可用作
][否则对数据再做一定的平移变换使生成数列的级比满足条件。
数据处理2. (1)(0)x(k)x(k)序列，以弱
化原始序列的随机性和对序列做一次累加生成波动性。
k(0)(1)?n),k??x(k)1,2...x(m(1)(0)(1)即。
)?1)-x(kkx，那么有(k)=x(1?m(1)(0))kzx(k)(序列序列做紧邻均值生成对
(1)(1)(1)n?2,3...?1),kk)?)0.5x(k?0.5x((zk。
即(1,1) 灰微分方程模型建立3.(1)(0)(1)(1) )
=( + =)( + () ()，并确定其参数。
(1)(0)???z(2)1?(2)?x????1x(3)(0)(3)?z(1)? ?????BY?a??，则。
M Y=B?????令，MM b
???????(0)1)(nx?)(n?z(1)???
TT-1T。
B)B用MATLAB 最小二乘法求解参数Y=(a,b), P=(B
(1)(0)+ )= (( )。
接下来求解上面得到的基本模型
建立白化形式的近似微分方程：4.(1)dx(1)=b+ax为灰色作用量b a ，其中为发展系数，dt
根据其时间响应函数
bb(1)(1)?at??)ex(t)?(x(1)aa
解得时间响应序列为：??bb(0)ak(1)??。
?(1)?)e x(k?1)?(x???a a(0)(1)(0)(1)的预测值???(k)(k?1)?x，得原始数据序列(k?1)-x由累减生成x
（模型还原值）为
(0)(0)(0)(0))()= )(1), ((2),…, =( 。
：5.残差检验
相对误差残差原始值预测值时间（年序号/月/...）
1 2
n)(a(k)q(k)的定义如下：残差、相对误差p 、平均相对误差与精度
?q?x(k)(k)x(k)?(k)?100%100%???(0) (0)(0)?(k)?x?x(k)q(k)(0)(0)
?|(k)|??(avg)?1n?2k?
(0)(k)(k)xx n1
?100%(avg))?(1?p?
(k)时，模型精度较高，可进行预报和预测。
当，=****<10%p=****>90%
Verhulst模型道路交通系统是一[SY3]:Comment个动态的时变系统，道路交通事故形过程，常用于Verhulst 模型主要用来描述具有饱和状态的过程，即S作为道路系统的行为特征量，具有人口预测、生物生长、繁殖预测及产品经济寿命预测等。
一定的随机波动性，它的发展呈现数据处理1.某种变化趋势的非平稳随机过程，(1)(0))k(k)x(x序列，以弱化原始序列的随机性和对序列做一次累加生成因此可建立交通
?
事故灰色马尔可夫波动性。
预测模型，以提高预测精度。
但灰k色马尔可夫预测模型的应用难点是(0)(1)
nk?1,k)?2...(xm),x(如何进行状态划分，故对于非单调(1)(1)(0)。
(即，那么有x(k)=x k?1)-x(k)1?m的摆动发展序列或具有饱和状态的(1)(0))(kzx(k)序列序列做紧邻均值生成对模型，形序列，VerhulstS (x)(k?0.5(k)?0.5xnk?1),k?2,3...z即。
(1)(1)(1)模型等更适用。
GM(2,1)2(1)0((1))+近年来中
??故国道路交通事故表现为具) =(，并确定其参数。
(1,1)模型2.建立Verhulst??
可采形过程，有饱和状态的S(1)(2)?z(2)z2(1)模型对其进行预测。
Verhulst用??(0)?(2)?x ???2??(3)?(1)(1)z?(0)3)(?z(3)x????B a???Y??。
，则Y=B?
???，M令MM????b????(0)?)n(x???(1)??(1)2(n)z z?n()? ?
TTT-1。
Y=(a,b)P=(BB)MATLAB用最小二乘法求解参数B,
建立白化形式的近似微分方程：4.(0)(1)(1)2 ) (+ =为灰色作用量b a 为发展系数，，其中
根据其时间响应函数(0)(1)a x(1)(t)x at(0)?e b)?(a?bx(1)?
(1)解得时间响应序列为：1)?x(k?ak?bx(1)?(a?b)e。
(0)(1)x a???(0)(0)(1)(1)(0)的预
测值，得原始数据序列(k)?1)-x由累减生成x(k?1)?x(k(0)(0)(0)(0)))( )(= = (1), (2),…,(。
（模型还原值）为
：残差检验5.相对误差）/月/...预测值原始值残差时间（年序号12
n?q(k)(k)(a)的定义如下：、相对误差、平均相对误差残差与精度p(0)(0)(k)x?(k)x?(k)q
??100%100%???(k)
(0)(0)xq(k)(k)x(k)??
(0)(0)(k)(k)xx
?|(k)|???(avg)1?n2?k?100%?(avg))?p?(1
n1
(k)时，模型精度较高，可进行预报和预测。
=****<10%当，p=****>90%。
